Giải Toán 10 - Tập 2 trang 98

Lưu ý: Trang 98 là Bảng tra cứu thuật ngữ (không có bài tập). Các bài tập nằm ở trang 97.

---

⚙️ Bài tập

---

Câu 17

Đề bài: Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí B. Giả sử vận tốc âm thanh là 1236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

🔍 Kiến thức cần nhớ

• Hypebol là quỹ tích các điểm M sao cho |MA - MB| = 2a (với 2a < AB)
• Phương trình chính tắc hypebol: x²/a² - y²/b² = 1, với c² = a² + b²
• Âm thanh truyền đến hai trạm với hiệu khoảng cách không đổi → vị trí nguồn âm nằm trên một nhánh hypebol

Cách 1 — Phương pháp hypebol (SGK)

Bước 1: Xác định các thông số

• Khoảng cách giữa hai trạm: AB = 16 km → 2c = 16 → c = 8 km
• Hiệu thời gian nhận tín hiệu: Δt = 6 giây = 6/3600 giờ = 1/600 giờ
• Vận tốc âm thanh: v = 1236 km/h

Bước 2: Tính hiệu khoảng cách

Hiệu khoảng cách từ nguồn âm đến hai trạm:

• Δd = v × Δt = 1236 × (1/600) = 1236/600 = 2,06 km

Vì trạm A nhận sớm hơn → nguồn âm gần A hơn → MB - MA = 2,06 km

Bước 3: Xác định tham số hypebol

• 2a = 2,06 → a = 1,03 km
• c = 8 km
• b² = c² - a² = 64 - 1,0609 = 62,9391
• b ≈ 7,93 km

Bước 4: Kết luận

Đặt hệ trục tọa độ với gốc O là trung điểm AB, trục Ox nằm trên AB.

Phương trình hypebol: x²/1,0609 - y²/62,9391 = 1

Phạm vi tìm kiếm: Vị trí phát ra âm thanh nằm trên nhánh hypebol phía gần trạm A (nhánh bên trái nếu A ở bên trái), tức là nhánh có x ≤ -1,03 km.

Cách 2 — Phương pháp tính trực tiếp

Gọi M là vị trí phát ra âm thanh.

Ta có: MA - MB = -2,06 km (vì MA < MB, A nhận sớm hơn)

Hay: |MA - MB| = 2,06 km < 16 km = AB

→ Quỹ tích điểm M là hypebol với tiêu điểm A, B.

Với a = 1,03 km, c = 8 km, nguồn âm nằm trên nhánh gần A.

Kết luận: Phạm vi tìm kiếm là nhánh hypebol gần trạm A, cách trung điểm AB ít nhất 1,03 km về phía A.

💡 Mẹo nhớ: Bài toán định vị nguồn âm/sóng luôn liên quan đến hypebol khi có hiệu khoảng cách không đổi.

---

Câu 18

Đề bài: Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số 22/7 để xấp xỉ cho π.

a) Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.

b) Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết 3,1415 < π < 3,1416.

🔍 Kiến thức cần nhớ

• Số đúng (a): giá trị chính xác của đại lượng
• Số gần đúng (ā): giá trị xấp xỉ của số đúng
• Sai số tuyệt đối: Δa = |ā - a|
• Sai số tương đối: δa = Δa/|ā| × 100%

Cách giải

a) Xác định số đúng và số gần đúng:

• Số đúng: π (giá trị chính xác của tỉ số chu vi và đường kính đường tròn)
• Số gần đúng: 22/7 (giá trị được dùng để xấp xỉ π)

b) Đánh giá sai số:

Bước 1: Tính giá trị của 22/7

22/7 = 3,142857142857... ≈ 3,1429

Bước 2: Tính sai số tuyệt đối

Vì 3,1415 < π < 3,1416, ta xét hai trường hợp biên:

• Nếu π ≈ 3,1415: Δa = |3,1429 - 3,1415| = 0,0014
• Nếu π ≈ 3,1416: Δa = |3,1429 - 3,1416| = 0,0013

Sai số tuyệt đối: Δa ≈ 0,0013 đến 0,0014

Lấy Δa ≈ 0,0013 (sai số tuyệt đối lớn nhất trong phạm vi cho phép)

Bước 3: Tính sai số tương đối

δa = Δa/|ā| × 100% = 0,0013/3,1429 × 100% ≈ 0,04%

Kết luận:

• Sai số tuyệt đối: Δa ≈ 0,0013
• Sai số tương đối: δa ≈ 0,04%

💡 Mẹo bấm máy Casio fx-580VN X: - Nhập: 22 ÷ 7 = để được 3,142857... - Tính sai số: |3,142857 - 3,1416| = 0,001257...

⚠️ Lưu ý thi: Phân số 22/7 là xấp xỉ thô của π. Giá trị chính xác hơn là 355/113 ≈ 3,14159292...

---

Câu 19

Đề bài: Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng.

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.

b) Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.

🔍 Kiến thức cần nhớ

• Số trung bình: x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n
• Phương sai: s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²]/n
• Độ lệch chuẩn: s = √(s²)

Cách 1 — Tính tay theo công thức

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn:

Năm 2010:

Bước 1: Tính số trung bình

x̄₂₀₁₀ = (5,3 + 10,4 + 7,0 + 10,8 + 6,5 + 11,1 + 10,7 + 12,0 + 10,0 + 12,2)/10
x̄₂₀₁₀ = 96/10 = 9,6%

Bước 2: Tính phương sai

Tổng (xᵢ - x̄)² = 53,08

s²₂₀₁₀ = 53,08/10 = 5,308

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
s₂₀₁₀ = √5,308 ≈ 2,30%

---

Năm 2016:

Bước 1: Tính số trung bình

x̄₂₀₁₆ = (1,3 + 2,9 + 1,6 + 2,3 + 2,1 + 2,6 + 3,7 + 4,4 + 3,0 + 4,3)/10
x̄₂₀₁₆ = 28,2/10 = 2,82%

Bước 2: Tính phương sai

Tổng (xᵢ - x̄)² = 10,136

s²₂₀₁₆ = 10,136/10 = 1,0136

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn
s₂₀₁₆ = √1,0136 ≈ 1,01%

---

Tóm tắt kết quả:

---

b) Nhận xét:

1. Về số trung bình:

• Tỉ lệ hộ nghèo trung bình năm 2016 (2,82%) giảm đáng kể so với năm 2010 (9,6%)
• Mức giảm: 9,6 - 2,82 = 6,78 điểm phần trăm (giảm khoảng 70,6%)
• Kết luận: Công tác xóa đói giảm nghèo đạt hiệu quả cao

1. Về độ phân tán:

• Độ lệch chuẩn năm 2016 (1,01%) nhỏ hơn năm 2010 (2,30%)
• Kết luận: Tỉ lệ hộ nghèo giữa các tỉnh/thành phố năm 2016 đồng đều hơn, ít chênh lệch hơn so với năm 2010

Cách 2 — Dùng máy tính Casio fx-580VN X

💡 Mẹo bấm máy:

Bước 1: Vào chế độ STAT: MENU → 6 (Statistics) → 1 (1-Variable)

Bước 2: Nhập dữ liệu năm 2010:
5.3 = 10.4 = 7.0 = 10.8 = 6.5 = 11.1 = 10.7 = 12.0 = 10.0 = 12.2 =

Bước 3: Xem kết quả: OPTN → 2 (Var)

• x̄ (trung bình): chọn x̄ → = → 9.6
• σx (độ lệch chuẩn): chọn σx → = → 2.304...

Bước 4: Xóa dữ liệu, nhập lại cho năm 2016 và tính tương tự.

🎯 Ghi nhớ: Độ lệch chuẩn càng nhỏ → dữ liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình → độ phân tán càng thấp.

---

Câu 20

Đề bài: Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn.

🔍 Kiến thức cần nhớ

• 23 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, ..., 23
• Số chẵn: 2, 4, 6, ..., 22 → có 11 số chẵn
• Số lẻ: 1, 3, 5, ..., 23 → có 12 số lẻ
• Tổng ba số là số chẵn khi: (3 số chẵn) hoặc (1 chẵn + 2 lẻ)
• Công thức tổ hợp: C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)

Cách 1 — Liệt kê trường hợp thuận lợi

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Số cách chọn 3 số từ 23 số:
n(Ω) = C(23,3) = 23!/(3! × 20!) = (23 × 22 × 21)/(3 × 2 × 1) = 10626/6 = 1771

Bước 2: Xác định biến cố A "tổng ba số là số chẵn"

Quy tắc cộng số chẵn/lẻ:

• Chẵn + Chẵn + Chẵn = Chẵn ✓
• Chẵn + Chẵn + Lẻ = Lẻ ✗
• Chẵn + Lẻ + Lẻ = Chẵn ✓
• Lẻ + Lẻ + Lẻ = Lẻ ✗

→ Tổng ba số chẵn khi: 3 chẵn hoặc 1 chẵn + 2 lẻ

Bước 3: Đếm số trường hợp thuận lợi

Trường hợp 1: Chọn 3 số chẵn từ 11 số chẵn

• Số cách: C(11,3) = (11 × 10 × 9)/(3 × 2 × 1) = 990/6 = 165

Trường hợp 2: Chọn 1 số chẵn từ 11 số chẵn VÀ 2 số lẻ từ 12 số lẻ

• Số cách: C(11,1) × C(12,2) = 11 × (12 × 11)/(2 × 1) = 11 × 66 = 726

Tổng số trường hợp thuận lợi:

n(A) = 165 + 726 = 891

Bước 4: Tính xác suất

P(A) = n(A)/n(Ω) = 891/1771 = 81/161

Cách 2 — Tính xác suất bù

Bước 1: Tính xác suất tổng là số lẻ (biến cố đối)

Tổng ba số lẻ khi: 3 lẻ hoặc 2 chẵn + 1 lẻ

Trường hợp 1: Chọn 3 số lẻ từ 12 số lẻ

• Số cách: C(12,3) = (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1) = 1320/6 = 220

Trường hợp 2: Chọn 2 số chẵn từ 11 số chẵn VÀ 1 số lẻ từ 12 số lẻ

• Số cách: C(11,2) × C(12,1) = (11 × 10)/2 × 12 = 55 × 12 = 660

Số trường hợp tổng lẻ: 220 + 660 = 880

Bước 2: Kiểm tra

• Tổng chẵn: 891
• Tổng lẻ: 880
• Tổng: 891 + 880 = 1771 ✓

Bước 3: Tính xác suất

P(A) = 891/1771 = 81/161 ≈ 0,503

💡 Mẹo bấm máy Casio fx-580VN X: - Tính tổ hợp: nCr → Nhập 23 SHIFT ÷ 3 = → được 1771 - Tính C(11,3): 11 SHIFT ÷ 3 = → được 165

⚠️ Lưu ý thi: - Nhớ quy tắc: Chẵn = Chẵn + Chẵn + Chẵn hoặc Chẵn + Lẻ + Lẻ - Kiểm tra bằng cách cộng: số TH thuận lợi + số TH không thuận lợi = tổng số cách chọn

🎯 Ghi nhớ: Xác suất tổng chẵn (81/161 ≈ 50,3%) gần bằng xác suất tổng lẻ (80/161 ≈ 49,7%) vì số lượng số chẵn và lẻ gần bằng nhau.

---

Trang 98 — Bảng tra cứu thuật ngữ

Trang này không có bài tập.

Đây là bảng tra cứu thuật ngữ (Index) của sách, liệt kê các khái niệm toán học theo thứ tự ABC và số trang tương ứng, bao gồm:

• Bất phương trình, Biến cố, Biến số
• Chỉnh hợp, Công thức tính khoảng cách, góc
• Đường conic, Elip, Hypebol, Parabol
• Hàm số các loại
• Hoán vị, Tổ hợp
• Phương trình đường thẳng, đường tròn
• Quy tắc cộng, nhân
• Xác suất...