Giải Toán 10 - Tập 2 trang 96

Đây là phần Bài tập ôn tập cuối năm. Mình giải lần lượt cả phần trắc nghiệm và tự luận nhé.

A – Trắc nghiệm

Câu 1: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Đề: Hệ $\begin{cases} x+y>2 \\ x-y\le 1\end{cases}$. Điểm nào thuộc miền nghiệm?

Thử từng điểm:

Đáp án C.

Câu 2: Số điểm M thỏa hệ thức vectơ

Đề: Tam giác $ABC$. Có bao nhiêu điểm $M$ thỏa $\left|\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}\right|=3$?

Gọi $G$ là trọng tâm: $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG}$.

Suy ra $|3\vec{MG}|=3 \Rightarrow MG=1$.

Vậy $M$ nằm trên đường tròn tâm $G$ bán kính $1$ → có vô số điểm.

Đáp án A.

Câu 3: Parabol có đỉnh cho trước

Đề: Parabol $y=x^2+bx+c$ có đỉnh $I(1;4)$. Tính $b+c$.

• Hoành độ đỉnh: $-\dfrac{b}{2}=1 \Rightarrow b=-2$.
• Đỉnh thuộc parabol: $1-2+c=4 \Rightarrow c=5$.

$b+c=-2+5=3$.

Đáp án C.

Câu 4: Tìm mệnh đề sai về đường thẳng

Đề: $\Delta: x+2y-5=0$. Tìm mệnh đề sai.

• A: $\vec{n}=(1;2)$ là VTPT ✓ (đúng hệ số).
• B: $\vec{u}=(2;-1)$, ta có $\vec{u}\cdot\vec{n}=2-2=0$ → là VTCP ✓.
• C: $d$ có VTCP $(-2;1)$ cùng phương $(2;-1)$, và điểm $(1;1)$ của $d$ không thuộc $\Delta$ → song song ✓.
• D: Từ $x+2y-5=0 \Rightarrow y=-\tfrac12 x+\tfrac52$, hệ số góc $k=-\tfrac12 \ne 2$ → sai.

Đáp án D.

Câu 5: Hệ số trong khai triển Newton

Đề: Trong khai triển $(2+3x)^4$, hệ số của $x^2$ là?

Số hạng tổng quát: $C_4^k\,2^{4-k}(3x)^k$. Ứng với $x^2$ thì $k=2$:

$$C_4^2\cdot 2^2\cdot 3^2 = 36\,C_4^2 \;(=216).$$

Đáp án D.

Câu 6: Xác suất ít nhất một nữ

Đề: Tổ 7 nam, 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Xác suất có ít nhất một nữ?

• Tổng số cách: $C_{10}^2=45$.
• Biến cố đối (không có nữ): $C_7^2=21$.

$$P=1-\frac{21}{45}=1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}.$$

Đáp án B.

B – Tự luận

Câu 7: Mệnh đề về tam giác vuông

Đề: $P$: "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$"; $Q$: "$AB^2+AC^2=BC^2$".

a) Phát biểu và xét đúng/sai:

• $P\Rightarrow Q$: "Nếu tam giác $ABC$ vuông tại $A$ thì $AB^2+AC^2=BC^2$" → đúng (định lý Pytago).
• $Q\Rightarrow P$: "Nếu $AB^2+AC^2=BC^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$" → đúng (Pytago đảo).
• $P\Leftrightarrow Q$: → đúng (cả hai chiều đều đúng).
• $\overline{P}\Rightarrow\overline{Q}$: "Nếu tam giác không vuông tại $A$ thì $AB^2+AC^2\ne BC^2$" → đúng (là mệnh đề phản đảo của $Q\Rightarrow P$).

b) Diễn đạt $P\Rightarrow Q$:

• "Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là điều kiện đủ để $AB^2+AC^2=BC^2$".
• "$AB^2+AC^2=BC^2$ là điều kiện cần để tam giác $ABC$ vuông tại $A$".

c) Trung tuyến $AM=\tfrac12 BC$ là dấu hiệu nhận biết tam giác vuông tại $A$ (vuông tại $A$ ⟺ $AM=\tfrac12BC$). Do đó hai tập hợp bằng nhau: $X=Y$.

Câu 8: Miền nghiệm và GTLN, GTNN

Đề: a) Biểu diễn miền nghiệm $D$ của $\begin{cases}x+y\le 6\\2x-y\le 2\\x\ge0\\y\ge0\end{cases}$. b) Tìm GTLN, GTNN của $F=2x+3y$ trên $D$.

a) Miền $D$ là đa giác (giới hạn bởi 4 đường), nằm trong góc phần tư thứ nhất. Các đỉnh:

• $O(0;0)$, $(1;0)$ (giao $y=0$ với $2x-y=2$), $(0;6)$ (giao $x=0$ với $x+y=6$).
• Giao của $x+y=6$ và $2x-y=2$: cộng vế → $3x=8\Rightarrow x=\tfrac83,\ y=\tfrac{10}{3}$, tức $\left(\tfrac83;\tfrac{10}{3}\right)$.

b) GTLN/GTNN của hàm bậc nhất đạt tại đỉnh:

Vậy $\boxed{F_{\max}=18}$ tại $(0;6)$ và $\boxed{F_{\min}=0}$ tại $(0;0)$.

Câu 9: Xác định parabol

Đề: $y=f(x)=ax^2+bx+c$ có đỉnh $I\left(\tfrac52;-\tfrac14\right)$, qua $A(1;2)$.

a) Dạng đỉnh: $y=a\left(x-\tfrac52\right)^2-\tfrac14$.

Thay $A(1;2)$: $2=a\left(1-\tfrac52\right)^2-\tfrac14 = a\cdot\tfrac94-\tfrac14$.

$\Rightarrow \tfrac94 = \tfrac{9a}{4} \Rightarrow a=1$.

$$y=\left(x-\tfrac52\right)^2-\tfrac14 = x^2-5x+6.$$

Parabol bề lõm hướng lên, đỉnh $\left(\tfrac52;-\tfrac14\right)$, cắt $Ox$ tại $x=2$ và $x=3$, cắt $Oy$ tại $(0;6)$.

b) Vì $a=1>0$:

• Nghịch biến trên $\left(-\infty;\tfrac52\right)$.
• Đồng biến trên $\left(\tfrac52;+\infty\right)$.

c) $f(x)\ge0 \Leftrightarrow x^2-5x+6\ge0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)\ge0$.

Nghiệm: $x\le 2$ hoặc $x\ge 3$.

Câu 10: Phương trình chứa căn

a) $\sqrt{2x^2-6x+3}=\sqrt{x^2-3x+1}$.

Bình phương: $2x^2-6x+3=x^2-3x+1 \Rightarrow x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1$ hoặc $x=2$.

Thử lại điều kiện $x^2-3x+1\ge0$:

• $x=1$: $1-3+1=-1<0$ → loại.
• $x=2$: $4-6+1=-1<0$ → loại.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $\sqrt{x^2+18x-9}=2x-3$.

Điều kiện: $2x-3\ge0 \Leftrightarrow x\ge\tfrac32$.

Bình phương: $x^2+18x-9=4x^2-12x+9 \Rightarrow 3x^2-30x+18=0 \Rightarrow x^2-10x+6=0$.

$x=5\pm\sqrt{19}$. Vì $5-\sqrt{19}\approx0{,}64<\tfrac32$ → loại.

Vậy $\boxed{x=5+\sqrt{19}}$.

Câu 11: Đếm số tự nhiên chia hết cho 5

Đề: Từ các chữ số $0;1;2;\dots;9$, lập được bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $1000$, chia hết cho $5$, các chữ số khác nhau?

Số chia hết cho $5$ có chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$. Xét theo số chữ số:

Số có 1 chữ số: chỉ có $5$ → $1$ số.

Số có 2 chữ số $\overline{ab}$ ($a\ne0$):

• $b=0$: $a$ có $9$ cách → $9$ số.
• $b=5$: $a\in\{1,\dots,9\}\setminus\{5\}$ → $8$ số.

→ $17$ số.

Số có 3 chữ số $\overline{abc}$ ($a\ne0$):

• $c=0$: $a$ có $9$ cách, $b$ có $8$ cách → $72$ số.
• $c=5$: $a$ có $8$ cách, $b$ có $8$ cách → $64$ số.

→ $136$ số.

Tổng: $1+17+136=\boxed{154}$ số.

(Nếu tính cả số $0$ thì được $155$.)

Câu 12: Khai triển nhị thức Newton

Đề: Khai triển $(2x-1)^n$ biết $A_n^2+24C_n^1=140$.

$A_n^2=n(n-1),\ C_n^1=n$:

$$n(n-1)+24n=140 \Rightarrow n^2+23n-140=0 \Rightarrow n=5\ (\text{loại } n=-28).$$

Khai triển $(2x-1)^5$:

$$\begin{aligned}
(2x-1)^5 &= (2x)^5 -5(2x)^4+10(2x)^3-10(2x)^2+5(2x)-1\\
&= 32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1.
\end{aligned}$$

Câu 13: Chứng minh công thức bán kính đường tròn nội tiếp

Đặt $s=\dfrac{a+b+c}{2}$. Ta có $S=rs \Rightarrow r=\dfrac{S}{s}$, với $S$ là diện tích.

Theo công thức Heron:
$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s-a=\tfrac{b+c-a}{2},\ s-b=\tfrac{c+a-b}{2},\ s-c=\tfrac{a+b-c}{2}.$$

$$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{4}.$$

Do đó:
$$r=\frac{S}{s}=\frac{\dfrac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{4}}{\dfrac{a+b+c}{2}}
=\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2(a+b+c)}.$$

Tách $\sqrt{a+b+c}$ ở tử và rút gọn với $(a+b+c)$ ở mẫu:
$$r=\frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}.\qquad \blacksquare$$

Câu 14: Tích vô hướng trong hình vuông

Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$; $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $BC$.

a) Phân tích theo $\vec{AB},\vec{AD}$ (lưu ý $\vec{BC}=\vec{AD}$):

$$\vec{DM}=\vec{AM}-\vec{AD}=\tfrac12\vec{AB}-\vec{AD},$$
$$\vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}=\vec{AB}+\tfrac12\vec{AD}.$$

b) Với $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0$ và $|\vec{AB}|=|\vec{AD}|=a$:

$$\vec{DM}\cdot\vec{AN}=\left(\tfrac12\vec{AB}-\vec{AD}\right)\!\cdot\!\left(\vec{AB}+\tfrac12\vec{AD}\right)
=\tfrac12 a^2-\tfrac12 a^2=0.$$

Vậy $\vec{DM}\cdot\vec{AN}=0$ → góc giữa hai đường thẳng $DM$ và $AN$ bằng $\boxed{90^\circ}$.

Câu 15: Tam giác trong mặt phẳng tọa độ

$A(-1;3),\ B(1;2),\ C(4;-2)$.

a) $\vec{BC}=(3;-4)$ → VTPT $(4;3)$. Qua $B(1;2)$:
$$4(x-1)+3(y-2)=0 \Leftrightarrow 4x+3y-10=0.$$

b) Khoảng cách từ $A$ tới $BC$:
$$d(A,BC)=\frac{|4(-1)+3\cdot3-10|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|-5|}{5}=1.$$
$BC=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$. Diện tích:
$$S=\tfrac12\cdot BC\cdot d=\tfrac12\cdot5\cdot1=\frac{5}{2}.$$

c) Đường tròn tâm $A$ tiếp xúc $BC$ có $R=d(A,BC)=1$:
$$(x+1)^2+(y-3)^2=1.$$

Câu 16: Hai vật thể có gặp nhau không?

$A(1;1)$ với $\vec{v_A}=(1;2)$; $B(-1;21)$ với $\vec{v_B}=(1;-4)$.

Tại thời điểm $t$:

• Vật từ $A$: $\big(1+t;\ 1+2t\big)$.
• Vật từ $B$: $\big(-1+t;\ 21-4t\big)$.

Để gặp nhau, hoành độ phải bằng:
$$1+t=-1+t \Leftrightarrow 1=-1\ (\text{vô lí}).$$

Hoành độ hai vật luôn lệch nhau $2$ đơn vị nên không bao giờ trùng. Vậy hai vật thể không gặp nhau.

---

Mình đã giải trọn vẹn 16 bài (6 trắc nghiệm + 10 tự luận) của phần ôn tập cuối năm. Có chỗ nào em muốn xem kỹ thêm bước biến đổi hay hình vẽ minh họa thì nói nhé.