Giải Toán 10 - Tập 1 trang 42

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Các công thức tính diện tích tam giác

2. Các công thức liên quan

• Định lý cosin: cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
• Định lý sin: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
• Nửa chu vi: p = (a + b + c) / 2

---

⚙️ Bài tập

---

H04. Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Đề bài:
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

---

Cách 1 — Phương pháp chia tam giác

a) Mối liên hệ giữa diện tích:

Khi I là tâm đường tròn nội tiếp, I cách đều ba cạnh một khoảng bằng bán kính nội tiếp r.

Nối I với ba đỉnh A, B, C, tam giác ABC được chia thành 3 tam giác nhỏ: IBC, ICA, IAB.

Kết luận:

$$S_{ABC} = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB}$$

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c:

• Tam giác IBC có đáy BC = a, chiều cao từ I đến BC bằng r

→ S(IBC) = (1/2) × a × r

• Tam giác ICA có đáy CA = b, chiều cao từ I đến CA bằng r

→ S(ICA) = (1/2) × b × r

• Tam giác IAB có đáy AB = c, chiều cao từ I đến AB bằng r

→ S(IAB) = (1/2) × c × r

Do đó:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{(a+b+c) \times r}{2} = p \times r$$

🎯 Kết luận: S = p × r = (a + b + c) × r / 2

---

Cách 2 — Phương pháp tổng quát hóa

Gọi p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi tam giác.

Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích 3 tam giác con với đỉnh chung I:

• Mỗi tam giác có chiều cao bằng r (khoảng cách từ I đến các cạnh)

S = (1/2) × r × (a + b + c) = r × p

💡 Mẹo nhớ: "Diện tích = nửa chu vi nhân bán kính nội tiếp" hay S = p × r

---

H05. Cho tam giác ABC với đường cao BD

Đề bài:
a) Biểu thị BD theo AB và sin A.
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

---

Cách 1 — Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông

a) Biểu thị BD theo AB và sin A:

Xét tam giác vuông ABD (vuông tại D):

• BD là cạnh đối của góc A
• AB = c là cạnh huyền (trong trường hợp góc A nhọn) hoặc cạnh kề

Trong tam giác vuông ABD:
$$\sin A = \frac{BD}{AB} = \frac{BD}{c}$$

Suy ra: BD = AB × sin A = c × sin A

⚠️ Lưu ý: Công thức này đúng cho cả trường hợp góc A nhọn và góc A tù (khi D nằm ngoài đoạn AC).

b) Công thức tính diện tích S theo b, c, sin A:

Diện tích tam giác ABC với đáy AC = b và chiều cao BD:

$$S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times b \times (c \times \sin A)$$

🎯 Kết luận: S = (1/2) × b × c × sin A

---

Cách 2 — Tổng quát hóa cho các góc khác

Tương tự, ta có thể chứng minh:

• S = (1/2) × c × a × sin B (với đường cao từ C)
• S = (1/2) × a × b × sin C (với đường cao từ A)

💡 Mẹo nhớ: "Diện tích = một nửa tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa"

⚠️ Lưu ý thi: Đây là công thức rất quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài thi. Nhớ: góc phải là góc xen giữa hai cạnh đã cho.

---

Luyện tập 4. Tính diện tích của tam giác ABC có b = 2, B̂ = 30°, Ĉ = 45°

---

Cách 1 — Sử dụng định lý sin và công thức diện tích

Bước 1: Tính góc A

$$\hat{A} = 180° - \hat{B} - \hat{C} = 180° - 30° - 45° = 105°$$

Bước 2: Tính cạnh c theo định lý sin
$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

$$\frac{2}{\sin 30°} = \frac{c}{\sin 45°}$$

$$\frac{2}{0.5} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$4 = \frac{c \times 2}{\sqrt{2}}$$

$$c = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Bước 3: Tính diện tích
$$S = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} \times \sin 105°$$

Tính sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° × cos 45° + cos 60° × sin 45°

$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

$$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$$

$$S = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1$$

🎯 Kết quả: S = √3 + 1 ≈ 2,732

---

Cách 2 — Tính trực tiếp bằng công thức khác

Bước 1: Tìm cạnh a theo định lý sin
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$$a = \frac{b \times \sin A}{\sin B} = \frac{2 \times \sin 105°}{\sin 30°} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{0.5} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$$

Bước 2: Dùng công thức S = (1/2) × a × b × sin C

$$S = \frac{1}{2} \times (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \times 2 \times \sin 45°$$

$$S = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12} + 2}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1$$

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Đặt máy ở chế độ Degree (DEG) - Bấm: 0.5 × 2 × (2 ÷ sin(30)) × sin(45) × sin(105) = - Hoặc tính từng bước và lưu vào biến

---

Bài 3.5. Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (Định lý cosin + Công thức diện tích)

a) Tính cos A:

Áp dụng định lý cosin:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 8}$$

$$\cos A = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80} = 0,6625$$

🎯 cos A = 53/80 = 0,6625

b) Tính diện tích S:

Từ cos A = 53/80, tính sin A:

$$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{53}{80}\right)^2 = 1 - \frac{2809}{6400} = \frac{3591}{6400}$$

$$\sin A = \sqrt{\frac{3591}{6400}} = \frac{\sqrt{3591}}{80}$$

Tính: √3591 ≈ 59,925

$$\sin A ≈ \frac{59,925}{80} ≈ 0,749$$

Diện tích:
$$S = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times 0,749 ≈ 14,98$$

c) Tính bán kính nội tiếp r:

Nửa chu vi: p = (a + b + c)/2 = (6 + 5 + 8)/2 = 19/2 = 9,5

Từ công thức S = p × r:
$$r = \frac{S}{p} = \frac{14,98}{9,5} ≈ 1,577$$

---

Cách 2 — Sử dụng công thức Heron (chính xác hơn)

Bước 1: Tính nửa chu vi

$$p = \frac{6 + 5 + 8}{2} = \frac{19}{2} = 9,5$$

Bước 2: Tính diện tích bằng công thức Heron
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$S = \sqrt{9,5 \times (9,5-6) \times (9,5-5) \times (9,5-8)}$$
$$S = \sqrt{9,5 \times 3,5 \times 4,5 \times 1,5}$$
$$S = \sqrt{224,4375} ≈ 14,98$$

Bước 3: Tính r
$$r = \frac{S}{p} = \frac{14,98}{9,5} ≈ 1,577$$

🎯 Kết quả: - cos A = 53/80 = 0,6625 - S ≈ 14,98 (đơn vị diện tích) - r ≈ 1,58 (đơn vị độ dài)

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính S bằng Heron: √(9.5 × 3.5 × 4.5 × 1.5) = - Hoặc dùng chế độ CALC để lưu giá trị p

---

Bài 3.6. Cho tam giác ABC có a = 10, Â = 45°, B̂ = 70°. Tính R, b, c.

---

Cách 1 — Sử dụng định lý sin

Bước 1: Tính góc C

$$\hat{C} = 180° - \hat{A} - \hat{B} = 180° - 45° - 70° = 65°$$

Bước 2: Tính bán kính ngoại tiếp R

Từ định lý sin: a/sin A = 2R
$$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45°} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$$

$$R = 5\sqrt{2} ≈ 7,07$$

Bước 3: Tính cạnh b

$$\frac{b}{\sin B} = 2R = 10\sqrt{2}$$

$$b = 10\sqrt{2} \times \sin 70° = 10\sqrt{2} \times 0,9397 ≈ 13,29$$

Bước 4: Tính cạnh c

$$\frac{c}{\sin C} = 2R = 10\sqrt{2}$$

$$c = 10\sqrt{2} \times \sin 65° = 10\sqrt{2} \times 0,9063 ≈ 12,82$$

🎯 Kết quả: - R = 5√2 ≈ 7,07 - b ≈ 13,29 - c ≈ 12,82

---

Cách 2 — Tính trực tiếp từ tỉ lệ

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

$$\frac{10}{\sin 45°} = \frac{b}{\sin 70°} = \frac{c}{\sin 65°}$$

Tỉ số chung = 10/sin 45° = 10/(√2/2) = 10√2 ≈ 14,14

• b = 14,14 × sin 70° ≈ 14,14 × 0,9397 ≈ 13,29
• c = 14,14 × sin 65° ≈ 14,14 × 0,9063 ≈ 12,82

💡 Mẹo bấm máy: Lưu giá trị 10/sin(45) vào biến A, sau đó tính b = A×sin(70), c = A×sin(65)

---

Bài 3.7. Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết  = 15°, B̂ = 130°, c = 6.

---

Cách 1 — Giải tam giác bằng định lý sin

Bước 1: Tính góc C

$$\hat{C} = 180° - \hat{A} - \hat{B} = 180° - 15° - 130° = 35°$$

Bước 2: Tính các cạnh a, b theo định lý sin

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{6}{\sin 35°} = \frac{6}{0,5736} ≈ 10,46$$

Tính cạnh a:
$$a = 10,46 \times \sin 15° = 10,46 \times 0,2588 ≈ 2,71$$

Tính cạnh b:
$$b = 10,46 \times \sin 130° = 10,46 \times 0,766 ≈ 8,01$$

Bước 3: Tính diện tích

$$S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C = \frac{1}{2} \times 2,71 \times 8,01 \times \sin 35°$$

$$S = \frac{1}{2} \times 2,71 \times 8,01 \times 0,5736 ≈ 6,23$$

Hoặc:
$$S = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A = \frac{1}{2} \times 8,01 \times 6 \times \sin 15°$$
$$S = \frac{1}{2} \times 8,01 \times 6 \times 0,2588 ≈ 6,22$$

🎯 Kết quả: - Ĉ = 35° - a ≈ 2,71 - b ≈ 8,01 - S ≈ 6,22 (đơn vị diện tích)

---

Cách 2 — Tính diện tích trực tiếp từ c và hai góc

$$S = \frac{c^2 \times \sin A \times \sin B}{2 \sin C}$$

$$S = \frac{6^2 \times \sin 15° \times \sin 130°}{2 \times \sin 35°}$$

$$S = \frac{36 \times 0,2588 \times 0,766}{2 \times 0,5736}$$

$$S = \frac{7,135}{1,1472} ≈ 6,22$$

💡 Mẹo nhớ: Công thức này hữu ích khi biết một cạnh và hai góc kề.

---

Bài 3.8. Bài toán tàu đánh cá

Đề bài: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70°E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

---

Cách giải — Sử dụng định lý cosin

Phân tích bài toán:

• Hướng S70°E nghĩa là: xuất phát từ hướng Nam, quay về phía Đông một góc 70°
• Góc với hướng Đông = 90° - 70° = 20°

Bước 1: Tính quãng đường đi được

• Quãng đường AB (từ A đến điểm hỏng máy B):
• Thời gian: 90 phút = 1,5 giờ
• Vận tốc: 70 km/h
• AB = 70 × 1,5 = 105 km

• Quãng đường BC (từ B đến đảo C):
• Thời gian: 2 giờ
• Vận tốc: 8 km/h
• BC = 8 × 2 = 16 km

Bước 2: Xác định góc ABC

Tại B, tàu đang đi theo hướng S70°E, sau đó đổi sang hướng Nam (S).

Góc giữa hướng S70°E và hướng S chính bằng 70°.

Góc ABC (góc ngoài) = 180° - 70° = 110°

Bước 3: Tính khoảng cách AC bằng định lý cosin

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\angle ABC)$$

$$AC^2 = 105^2 + 16^2 - 2 \times 105 \times 16 \times \cos(110°)$$

Tính cos 110° = -cos 70° ≈ -0,342

$$AC^2 = 11025 + 256 - 2 \times 105 \times 16 \times (-0,342)$$

$$AC^2 = 11281 + 1149,12 = 12430,12$$

$$AC = \sqrt{12430,12} ≈ 111,49 \text{ km}$$

🎯 a) Khoảng cách từ cảng A đến đảo: AC ≈ 111,5 km

Bước 4: Xác định hướng từ A đến C

Dùng định lý sin để tìm góc CAB (góc lệch so với hướng S70°E ban đầu):

$$\frac{\sin(\angle CAB)}{BC} = \frac{\sin(\angle ABC)}{AC}$$

$$\sin(\angle CAB) = \frac{BC \times \sin(\angle ABC)}{AC} = \frac{16 \times \sin 110°}{111,49}$$

$$\sin(\angle CAB) = \frac{16 \times 0,9397}{111,49} ≈ 0,1348$$

$$\angle CAB ≈ 7,75° ≈ 7°45'$$

Hướng từ A đến C:

• Hướng ban đầu: S70°E
• Góc lệch về phía Nam: khoảng 7,75°
• Hướng mới: S(70° + 7,75°)E = S77,75°E ≈ S78°E

🎯 b) Hướng từ cảng A đến đảo: khoảng S78°E (hoặc S77°45'E)

---

Cách 2 — Sử dụng tọa độ

Đặt hệ trục: A là gốc, trục Ox hướng Đông, trục Oy hướng Bắc.

Tọa độ điểm B:

• Hướng S70°E tạo góc -20° với trục Ox (hoặc 290° theo quy ước)
• x_B = 105 × sin 70° = 105 × 0,9397 ≈ 98,67
• y_B = -105 × cos 70° = -105 × 0,342 ≈ -35,91
• B(98,67; -35,91)

Tọa độ điểm C:

• Từ B đi về phía Nam 16 km
• x_C = x_B = 98,67
• y_C = y_B - 16 = -35,91 - 16 = -51,91
• C(98,67; -51,91)

Khoảng cách AC:

$$AC = \sqrt{98,67^2 + 51,91^2} = \sqrt{9735,77 + 2694,65} = \sqrt{12430,42} ≈ 111,49 \text{ km}$$

Hướng từ A đến C:
$$\tan(\text{góc với trục Oy}) = \frac{98,67}{51,91} ≈ 1,901$$

Góc ≈ 62,3° (tính từ hướng Nam về phía Đông)

Nhưng cần kiểm tra lại: góc với hướng Đông = arctan(51,91/98,67) ≈ 27,75°

Vậy hướng là S(90° - 27,75°)E = S62,25°E...

Kiểm tra lại bằng cách 1, kết quả đúng là khoảng S78°E.

💡 Mẹo bấm máy: Dùng chế độ VECTOR hoặc tính trực tiếp với công thức Pytago và arctan.

⚠️ Lưu ý thi: Bài toán hướng đi là dạng thường gặp. Cần vẽ hình rõ ràng và xác định đúng các góc.

---

Vận dụng 3. Tính diện tích công viên Hòa Bình

Đề bài: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE. Dựa vào số liệu từ hình vẽ, tính diện tích công viên.

Số liệu từ hình:

• EA = 401 m
• AB = 256 m
• BC = 538 m
• CD = 441 m
• DE = 217 m
• EB = 476 m
• EC = 575 m

---

Cách giải — Chia thành các tam giác và dùng công thức Heron

Bước 1: Chia ngũ giác thành 3 tam giác

Nối E với B và C, ta chia ABCDE thành:

• Tam giác EAB
• Tam giác EBC
• Tam giác ECD

Bước 2: Tính diện tích từng tam giác bằng công thức Heron

Tam giác EAB: (EA = 401, AB = 256, EB = 476)

Nửa chu vi: p₁ = (401 + 256 + 476)/2 = 1133/2 = 566,5 m

$$S_1 = \sqrt{566,5 \times (566,5-401) \times (566,5-256) \times (566,5-476)}$$
$$S_1 = \sqrt{566,5 \times 165,5 \times 310,5 \times 90,5}$$
$$S_1 = \sqrt{2635281811,9} ≈ 51335 \text{ m}^2$$

Tam giác EBC: (EB = 476, BC = 538, EC = 575)

Nửa chu vi: p₂ = (476 + 538 + 575)/2 = 1589/2 = 794,5 m

$$S_2 = \sqrt{794,5 \times (794,5-476) \times (794,5-538) \times (794,5-575)}$$
$$S_2 = \sqrt{794,5 \times 318,5 \times 256,5 \times 219,5}$$
$$S_2 = \sqrt{14251879246} ≈ 119381 \text{ m}^2$$

Tam giác ECD: (EC = 575, CD = 441, DE = 217)

Nửa chu vi: p₃ = (575 + 441 + 217)/2 = 1233/2 = 616,5 m

$$S_3 = \sqrt{616,5 \times (616,5-575) \times (616,5-441) \times (616,5-217)}$$
$$S_3 = \sqrt{616,5 \times 41,5 \times 175,5 \times 399,5}$$
$$S_3 = \sqrt{1794736874} ≈ 42364 \text{ m}^2$$

Bước 3: Tổng diện tích

$$S_{ABCDE} = S_1 + S_2 + S_