Giải Toán 10 - Tập 1 trang 40

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 40–41

🔍 Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin

Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² − 2bc·cosA
b² = c² + a² − 2ca·cosB
c² = a² + b² − 2ab·cosC

Định lí sin

Trong tam giác ABC:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

(Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)

💡 Mẹo nhớ: - Định lí côsin: "Cạnh bình phương = tổng hai cạnh kia bình phương − 2 lần tích hai cạnh nhân cos góc xen giữa" - Định lí sin: "Cạnh chia sin góc đối = 2R"

⚙️ Bài tập

Câu hỏi: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin hay không?

Đề bài: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của Định lí côsin hay không?

Cách 1 — Phân tích trực tiếp

Trả lời: Có, định lí Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí côsin.

Giải thích:

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có góc A = 90°
Áp dụng định lí côsin: a² = b² + c² − 2bc·cosA
Thay cosA = cos90° = 0 vào công thức:

a² = b² + c² − 2bc·0 = b² + c²

Đây chính là định lí Pythagore: "Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông"

Cách 2 — Tổng quát hóa

Định lí Pythagore chỉ áp dụng cho tam giác vuông, trong khi định lí côsin áp dụng cho mọi tam giác. Khi góc xen giữa là 90°, cos của góc đó bằng 0, làm triệt tiêu số hạng chứa cos, cho ta định lí Pythagore.

🎯 Ghi nhớ: Định lí côsin là dạng tổng quát của định lí Pythagore cho mọi tam giác!

Khám phá: Viết công thức tính cosA, cosB, cosC

Đề bài: Từ Định lí côsin, hãy viết các công thức tính cosA, cosB, cosC theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Cách 1 — Biến đổi từ định lí côsin

Từ định lí côsin, ta biến đổi để suy ra cos của mỗi góc:

Từ: a² = b² + c² − 2bc·cosA

Suy ra: 2bc·cosA = b² + c² − a²

Vậy: cosA = (b² + c² − a²)/(2bc)

Tương tự:

cosB = (c² + a² − b²)/(2ca)
cosC = (a² + b² − c²)/(2ab)

Cách 2 — Quy tắc nhớ nhanh

Công thức có dạng: cos(góc) = [tổng bình phương 2 cạnh kề − bình phương cạnh đối] / [2 × tích 2 cạnh kề]

💡 Mẹo nhớ: "Hai cạnh kề bình phương cộng lại, trừ cạnh đối bình phương, chia 2 lần tích hai cạnh kề"

Luyện tập 1

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và góc A = 45°. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Cách 1 — Sử dụng định lí côsin rồi định lí sin

Bước 1: Tính cạnh BC (cạnh a)

Áp dụng định lí côsin:

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cosA
BC² = 5² + 8² − 2·5·8·cos45°
BC² = 25 + 64 − 80·(√2/2)
BC² = 89 − 40√2
BC² = 89 − 40 × 1,414... ≈ 89 − 56,57 ≈ 32,43

Vậy BC ≈ √32,43 ≈ 5,69

Bước 2: Tính góc B

Áp dụng định lí côsin:

cosB = (AB² + BC² − AC²)/(2·AB·BC)
cosB = (25 + 32,43 − 64)/(2·5·5,69)
cosB = (−6,57)/(56,9) ≈ −0,115

Vậy góc B ≈ 96,6° (hoặc khoảng 96°38')

Bước 3: Tính góc C

Góc C = 180° − góc A − góc B
Góc C = 180° − 45° − 96,6° ≈ 38,4°

Cách 2 — Dùng định lí sin sau khi có BC

Sau khi tính được BC ≈ 5,69, ta dùng định lí sin:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

BC/sinA = AC/sinB
5,69/sin45° = 8/sinB
sinB = 8·sin45°/5,69 = 8·(√2/2)/5,69 ≈ 5,66/5,69 ≈ 0,995

Vậy góc B ≈ 83,4° hoặc góc B ≈ 96,6° (góc tù)

Kiểm tra: Vì AC > AB nên góc B > góc C. Do đó góc B ≈ 96,6° là nghiệm phù hợp.

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính BC²: Nhập 25 + 64 - 80 × cos(45) = 32,43... - Tính BC: Nhập √Ans ≈ 5,69 - Tính góc B: Nhập cos⁻¹(-6,57 ÷ 56,9) ≈ 96,6°

⚠️ Lưu ý thi: Khi dùng định lí sin để tìm góc, cần kiểm tra xem góc là nhọn hay tù (vì sinα = sin(180° − α))

Vận dụng 1

Đề bài: Dùng Định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

(Lưu ý: HĐ1b đề cập đến bài toán tình huống mở đầu về đo khoảng cách từ bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa)

Cách giải

Giả sử theo HĐ1b, ta có tam giác ABC với:

Hai điểm A, B trên bờ hồ
C là vị trí Tháp Rùa
Biết AB, góc A và góc B (hoặc các yếu tố tương đương)

Phương pháp tổng quát:

Nếu biết hai cạnh và góc xen giữa, áp dụng định lí côsin:

c² = a² + b² − 2ab·cosC

Từ đó tính được cạnh còn lại (khoảng cách cần tìm).

💡 Ghi nhớ: Định lí côsin dùng khi biết 2 cạnh và góc xen giữa, hoặc biết 3 cạnh cần tìm góc.

HĐ3: Tính R theo a và sinA

Đề bài: Trong mỗi hình dưới đây (Hình 3.10a và 3.10b), hãy tính R theo a và sinA.

Cách 1 — Phân tích hình học

Hình a) Góc A nhọn:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R
BC = a là cạnh đối diện góc A
Góc nội tiếp A chắn cung BC
Góc tâm BOC = 2A (góc tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Trong tam giác cân OBC: BC = 2R·sinA

Suy ra: a = 2R·sinA → R = a/(2sinA)

Hình b) Góc A tù:

Tương tự, góc nội tiếp A chắn cung lớn BC
Ta vẫn có: a = 2R·sinA

Suy ra: R = a/(2sinA)

Cách 2 — Sử dụng công thức định lí sin

Từ định lí sin: a/sinA = 2R

Suy ra: R = a/(2sinA)

🎯 Ghi nhớ: R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)

Luyện tập 2

Đề bài: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và góc B = 80°. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

Cách 1 — Dùng định lí sin

Bước 1: Tính góc C

Áp dụng định lí sin:

b/sinB = c/sinC
8/sin80° = 5/sinC
sinC = 5·sin80°/8 = 5·0,9848/8 ≈ 0,6155

Góc C ≈ 38,0° (góc nhọn vì sinC < 1 và c < b nên C < B)

Bước 2: Tính góc A

Góc A = 180° − góc B − góc C
Góc A = 180° − 80° − 38° = 62°

Bước 3: Tính bán kính R

R = b/(2sinB) = 8/(2sin80°) = 8/(2·0,9848) ≈ 8/1,9696 ≈ 4,06

Bước 4: Tính cạnh a

a/sinA = 2R
a = 2R·sinA = 2·4,06·sin62° ≈ 8,12·0,8829 ≈ 7,17

Cách 2 — Tính trực tiếp bằng tỉ lệ

Từ b/sinB = c/sinC = a/sinA:

8/sin80° ≈ 8,12 (đây là 2R)
sinC = 5/8,12 ≈ 0,616 → C ≈ 38°
A = 180° − 80° − 38° = 62°
a = 8,12·sin62° ≈ 7,17

💡 Mẹo bấm máy: - Tính sinC: 5 × sin(80) ÷ 8 = 0,6155... - Tính góc C: sin⁻¹(Ans) ≈ 38° - Tính R: 8 ÷ (2 × sin(80)) ≈ 4,06

Luyện tập 3

Đề bài: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, góc A = 87°.

Cách 1 — Dùng định lí côsin rồi định lí sin

Bước 1: Tính cạnh a

Áp dụng định lí côsin:

a² = b² + c² − 2bc·cosA
a² = 32² + 45² − 2·32·45·cos87°
a² = 1024 + 2025 − 2880·0,0523
a² = 3049 − 150,6 ≈ 2898,4

a ≈ √2898,4 ≈ 53,84

Bước 2: Tính góc B

Áp dụng định lí sin:

a/sinA = b/sinB
sinB = b·sinA/a = 32·sin87°/53,84
sinB = 32·0,9986/53,84 ≈ 0,5936

Góc B ≈ 36,4°

Bước 3: Tính góc C

Góc C = 180° − góc A − góc B
Góc C = 180° − 87° − 36,4° ≈ 56,6°

Cách 2 — Kiểm tra bằng định lí côsin cho góc B

cosB = (a² + c² − b²)/(2ac)
cosB = (2898,4 + 2025 − 1024)/(2·53,84·45)
cosB = 3899,4/4845,6 ≈ 0,8048

Góc B ≈ 36,4° ✓ (khớp với cách 1)

💡 Mẹo bấm máy: - Tính a²: 32² + 45² - 2×32×45×cos(87) ≈ 2898,4 - Tính a: √Ans ≈ 53,84 - Tính góc B: sin⁻¹(32×sin(87)÷53.84) ≈ 36,4°

Kết quả: a ≈ 53,84; góc B ≈ 36,4°; góc C ≈ 56,6°

Vận dụng 2

Đề bài: Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

Cách giải — Phương pháp đo gián tiếp

Bước 1: Chọn hai vị trí quan sát A và B trên mặt đất sao cho có thể nhìn thấy cả hai đỉnh núi. Đo khoảng cách AB.

Bước 2: Tại vị trí A, dùng máy đo góc (theodolite) để đo:

Góc tạo bởi hướng AB và hướng đến đỉnh núi thứ nhất (M)
Góc tạo bởi hướng AB và hướng đến đỉnh núi thứ hai (N)

Bước 3: Tại vị trí B, đo tương tự:

Góc tạo bởi hướng BA và hướng đến đỉnh núi M
Góc tạo bởi hướng BA và hướng đến đỉnh núi N

Bước 4: Sử dụng định lí sin cho tam giác ABM để tính AM và BM:

Biết AB và các góc trong tam giác ABM
Tính được khoảng cách AM

Bước 5: Tương tự, tính khoảng cách AN từ tam giác ABN.

Bước 6: Đo góc MAN (góc nhìn từ A đến hai đỉnh núi).

Bước 7: Áp dụng định lí côsin cho tam giác AMN:

MN² = AM² + AN² − 2·AM·AN·cos(góc MAN)

Kết quả: Tính được khoảng cách MN giữa hai đỉnh núi.

💡 Mẹo thực tế: Phương pháp này được gọi là phương pháp "tam giác đạc" (triangulation), thường dùng trong trắc địa và đo đạc.

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài ứng dụng thực tế thường yêu cầu: 1. Xác định các yếu tố đã biết 2. Vẽ hình và ký hiệu 3. Chọn định lí phù hợp (côsin khi biết 2 cạnh + góc xen giữa; sin khi biết cạnh + góc đối)

🎯 Ghi nhớ tổng kết: - Định lí côsin: Dùng khi biết 2 cạnh và góc xen giữa, hoặc biết 3 cạnh - Định lí sin: Dùng khi biết 1 cạnh và góc đối diện + 1 yếu tố khác - Giải tam giác: Tìm tất cả các cạnh và góc khi biết đủ 3 yếu tố (trong đó có ít nhất 1 cạnh)

Chế độ đọc sách →