Giải Toán 10 - Tập 1 trang 46
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 46–47
Trang 45 (phần đầu, gồm bài 3.18 và 3.19)
Bài 3.18: Bài toán tàu A đuổi kịp tàu B
Đề bài:
Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ là 53 km về hướng N34°E. Tàu $B$ chuyển động thẳng đều với vận tốc 30 km/h về hướng đông, tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc 50 km/h để đuổi kịp tàu $B$.
a) Hỏi tàu $A$ cần chuyển động theo hướng nào?
b) Với hướng đó, sau bao lâu tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?
Phân tích hình:
Giả sử sau thời gian $t$ (giờ), hai tàu gặp nhau tại $C$. Khi đó:
- $AB = 53$ km
- $BC = 30t$ (quãng đường tàu B đi về hướng đông)
- $AC = 50t$ (quãng đường tàu A đi)
Góc trong tam giác tại $B$:
Vì $B$ ở hướng N34°E so với $A$ nên hướng từ $B$ về $A$ là S34°W. Tàu $B$ đi về hướng đông, nên góc giữa $BA$ và $BC$ là:
$$\widehat{ABC} = 90^\circ + 34^\circ = 124^\circ$$
(đúng như góc 124° ghi trên Hình 3.20).
a) Tìm hướng chuyển động của tàu A
Gọi $\alpha = \widehat{BAC}$ là góc giữa $AB$ và $AC$. Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{BC}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin\widehat{ABC}}$$
$$\sin\alpha = \frac{BC \cdot \sin 124^\circ}{AC} = \frac{30t \cdot \sin 124^\circ}{50t} = \frac{30}{50}\sin124^\circ = 0,6 \times 0,829 \approx 0,497$$
$$\Rightarrow \alpha \approx 29,8^\circ$$
Vì $C$ lệch về phía đông so với hướng $AB$, nên tàu $A$ phải đi theo hướng lệch khỏi $AB$ (hướng N34°E) một góc khoảng $29,8^\circ$ về phía đông:
$$\boxed{\text{Hướng } N(34^\circ + 29,8^\circ)E \approx N63,8^\circ E}$$
b) Tìm thời gian đuổi kịp
Góc còn lại:
$$\widehat{ACB} = 180^\circ - 124^\circ - 29,8^\circ = 26,2^\circ$$
Áp dụng định lí sin để tìm $AC$:
$$\frac{AC}{\sin\widehat{ABC}} = \frac{AB}{\sin\widehat{ACB}}$$
$$AC = \frac{AB \cdot \sin124^\circ}{\sin 26,2^\circ} = \frac{53 \times 0,829}{0,441} \approx 99,6 \text{ km}$$
Mà $AC = 50t$ nên:
$$t = \frac{99,6}{50} \approx 1,99 \approx 2 \text{ (giờ)}$$
Kết luận: Tàu $A$ đi theo hướng khoảng N63,8°E và sau khoảng 2 giờ thì đuổi kịp tàu $B$.
Bài 3.19: Bài toán sân bóng chày
Đề bài:
Bốn gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 là bốn đỉnh của một hình vuông cạnh dài 27,4 m. Vị trí ném bóng nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, cách gôn Nhà 18,44 m. Tính khoảng cách từ vị trí ném bóng tới gôn 1 và gôn 3.
Thiết lập:
Gọi:
- $H$: gôn Nhà
- $P$: vị trí ném bóng, nằm trên đường chéo $H \to$ gôn 2, với $HP = 18,44$ m
- Các cạnh hình vuông $= 27,4$ m
Vì đường nối gôn Nhà với gôn 2 là đường chéo hình vuông, nó chia góc vuông tại gôn Nhà thành hai góc $45^\circ$. Do đó góc giữa $HP$ và cạnh nối gôn Nhà với gôn 1 (cũng như với gôn 3) đều bằng $45^\circ$.
Tính khoảng cách từ P tới gôn 1:
Xét tam giác có $HP = 18,44$, $H\text{(gôn 1)} = 27,4$, góc xen giữa $= 45^\circ$. Áp dụng định lí cosin:
$$P_1^2 = HP^2 + 27,4^2 - 2 \cdot HP \cdot 27,4 \cdot \cos45^\circ$$
$$P_1^2 = 18,44^2 + 27,4^2 - 2 \times 18,44 \times 27,4 \times \cos45^\circ$$
$$P_1^2 = 340,03 + 750,76 - 714,54 \approx 376,25$$
$$P_1 \approx 19,4 \text{ (m)}$$
Khoảng cách tới gôn 3:
Do gôn 1 và gôn 3 đối xứng nhau qua đường chéo $H \to$ gôn 2 (cùng cạnh 27,4 m và cùng tạo góc $45^\circ$ với $HP$), nên khoảng cách từ vị trí ném bóng tới gôn 3 bằng tới gôn 1:
$$P_3 \approx 19,4 \text{ (m)}$$
Kết luận: Khoảng cách từ vị trí ném bóng tới gôn 1 và gôn 3 đều xấp xỉ 19,4 m.
Trang 46: CHƯƠNG IV – VECTƠ (Bài 7: Các khái niệm mở đầu)
Trang này là phần mở đầu của chương, chưa có bài tập. Mình tóm tắt nội dung định hướng:
Vì sao cần vectơ:
- Một số đại lượng như lực, vận tốc không chỉ có độ lớn mà còn có hướng. Ví dụ trong bản tin thời tiết: nhiệt độ chỉ có độ lớn (30°C), còn gió thì có cả hướng và độ lớn (đông nam, 18 km/h).
- Để biểu diễn các đại lượng "vừa có độ lớn vừa có hướng", người ta dùng một đối tượng toán học gọi là vectơ.
- Hình 4.1 minh họa: ga An Cựu cách Hoàng cung Huế 3,01 km về hướng đông nam — hai thông tin khoảng cách và hướng giúp xác định chính xác vị trí, đúng tinh thần của vectơ.
Các thuật ngữ sẽ học trong bài:
- Vectơ, vectơ-không
- Độ dài của vectơ
- Hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng hướng
- Hai vectơ bằng nhau
Yêu cầu cần đạt (kiến thức, kĩ năng):
- Nhận biết khái niệm vectơ, hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau và vectơ-không.
- Biểu thị một số đại lượng như lực, vận tốc bằng vectơ.
Đây là phần dẫn nhập, em chỉ cần nắm ý tưởng: vectơ là công cụ để mô tả đại lượng có hướng. Các bài tập cụ thể sẽ xuất hiện ở những trang sau.