Giải Toán 10 - Tập 1 trang 48

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm vectơ

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
• Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là AB (đọc là vectơ AB).
• Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là |AB| hoặc |a|.

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

• Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ.
• Hai vectơ cùng phương: Nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
• Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ bằng nhau (a = b): Nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
• Vectơ-không: Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, có độ dài bằng 0, kí hiệu là 0.

---

⚙️ Bài tập

---

HĐ1 (Hoạt động 1)

Đề bài: Một con tàu khởi hành từ đảo A, đi thẳng về hướng đông 10 km rồi đi thẳng tiếp 10 km về hướng nam thì tới đảo B (H.4.2). Nếu từ đảo A, tàu đi thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, thì phải đi theo hướng nào và quãng đường phải đi dài bao nhiêu kilômét?

Cách 1 — Phương pháp hình học (Định lý Pythagore)

Phân tích:

• Từ đảo A đi về hướng đông 10 km → điểm trung gian
• Từ điểm trung gian đi về hướng nam 10 km → đảo B
• Đường đi tạo thành một tam giác vuông

Lời giải:

Gọi C là điểm trung gian (sau khi đi 10 km về hướng đông từ A).

Ta có:

• AC = 10 km (hướng đông)
• CB = 10 km (hướng nam)
• Góc ACB = 90° (vì hướng đông vuông góc với hướng nam)

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACB:

• AB² = AC² + CB²
• AB² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200
• AB = √200 = √(100 × 2) = 10√2 ≈ 14,14 km

Xác định hướng đi:

• Từ A đi thẳng đến B theo hướng Đông Nam (góc 45° so với hướng đông, hoặc 45° so với hướng nam).

Kết luận: Nếu tàu đi thẳng từ A đến B thì phải đi theo hướng Đông Nam với quãng đường 10√2 ≈ 14,14 km.

Cách 2 — Phương pháp tọa độ

Lời giải:

Đặt hệ trục tọa độ với gốc O tại đảo A:

• Trục Ox hướng đông
• Trục Oy hướng bắc

Tọa độ các điểm:

• A(0; 0)
• B(10; -10) (10 km về hướng đông, 10 km về hướng nam tức là -10 theo trục Oy)

Khoảng cách AB:

• AB = √[(10 - 0)² + (-10 - 0)²] = √(100 + 100) = √200 = 10√2 ≈ 14,14 km

💡 Mẹo nhớ: Khi đường đi tạo thành hai cạnh vuông góc bằng nhau (a = a), thì đường chéo luôn bằng a√2.

---

Luyện tập 1

Đề bài: Cho tam giác đều ABC với cạnh có độ dài bằng a. Hãy chỉ ra các vectơ có độ dài bằng a và có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác ABC.

Cách 1 — Liệt kê trực tiếp

Phân tích:

• Tam giác đều ABC có 3 đỉnh: A, B, C
• Tất cả các cạnh đều có độ dài bằng a
• Cần liệt kê tất cả các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh

Lời giải:

Trong tam giác đều ABC, các cạnh đều có độ dài bằng a:

• AB = BC = CA = a

Các vectơ có độ dài bằng a với điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của tam giác:

Kết luận: Có 6 vectơ có độ dài bằng a: AB, BA, BC, CB, CA, AC.

Cách 2 — Phương pháp đếm tổ hợp

Lời giải:

• Số cách chọn điểm đầu: 3 cách (A, B, hoặc C)
• Số cách chọn điểm cuối (khác điểm đầu): 2 cách

Tổng số vectơ có thể tạo: 3 × 2 = 6 vectơ

Vì tam giác đều nên tất cả các cạnh đều bằng a, do đó cả 6 vectơ đều có độ dài bằng a.

⚠️ Lưu ý thi: - Vectơ AB và vectơ BA là hai vectơ khác nhau (cùng độ dài nhưng ngược hướng). - Trong tam giác đều, ta không xét vectơ từ một điểm đến chính nó (như AA, BB, CC) vì đó là vectơ-không có độ dài bằng 0.

---

HĐ2 (Hoạt động 2)

Đề bài: Quan sát các làn đường trong Hình 4.5 và cho biết những nhận xét nào sau đây là đúng:
a) Các làn đường song song với nhau.
b) Các xe chạy theo cùng một hướng.
c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

Lời giải chi tiết

Phân tích hình 4.5:

• Hình vẽ cho thấy một con đường có nhiều làn xe
• Các xe di chuyển trên các làn đường song song
• Có các xe đi cùng chiều và có các xe đi ngược chiều

Xét từng nhận xét:

a) Các làn đường song song với nhau.

✅ ĐÚNG

Giải thích: Quan sát hình 4.5, các làn đường được thiết kế song song với nhau (không cắt nhau), điều này đảm bảo an toàn giao thông.

b) Các xe chạy theo cùng một hướng.

❌ SAI

Giải thích: Trong hình 4.5, có các xe chạy theo hai hướng ngược nhau (một số xe đi lên, một số xe đi xuống). Không phải tất cả các xe đều chạy cùng một hướng.

c) Hai xe bất kì đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau.

✅ ĐÚNG

Giải thích: Vì các làn đường song song với nhau, nên hai xe bất kì chỉ có thể:

• Chạy cùng hướng (nếu cùng chiều di chuyển)
• Chạy ngược hướng (nếu ngược chiều di chuyển)

Không có trường hợp hai xe chạy theo hai hướng tạo với nhau một góc khác 0° và 180°.

Kết luận: Các nhận xét a) và c) là đúng.

💡 Mẹo nhớ: Hai vectơ cùng phương (có giá song song hoặc trùng nhau) thì chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng, không có trường hợp nào khác.

---

HĐ3 (Hoạt động 3)

Đề bài: Xét các vectơ cùng phương trong Hình 4.7. Hai vectơ a và AB được gọi là cùng hướng, còn hai vectơ a và x được gọi là ngược hướng. Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với vectơ a và các vectơ ngược hướng với vectơ a.

Cách 1 — Quan sát trực tiếp hình vẽ

Phân tích hình 4.7:

• Các vectơ trong hình: a, AB, x, y, b
• Vectơ a và AB cùng hướng (đã cho)
• Vectơ a và x ngược hướng (đã cho)

Lời giải:

Quan sát hình 4.7, ta xác định hướng của từng vectơ:

Các vectơ cùng hướng với vectơ a:

• Vectơ AB (đã cho trong đề bài)
• Vectơ y (có cùng hướng với a)

Các vectơ ngược hướng với vectơ a:

• Vectơ x (đã cho trong đề bài)
• Vectơ b (có hướng ngược với a)

Cách 2 — Phân tích theo định nghĩa

Lời giải:

Để xác định hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng:

• Cùng hướng: Nếu mũi tên của chúng chỉ về cùng một phía trên đường thẳng song song
• Ngược hướng: Nếu mũi tên của chúng chỉ về hai phía đối nhau

Từ hình 4.7:

• Vectơ a hướng từ trái sang phải (theo chiều dương)
• Vectơ AB, y cũng hướng từ trái sang phải → cùng hướng với a
• Vectơ x, b hướng từ phải sang trái → ngược hướng với a

Kết luận:

• Các vectơ cùng hướng với vectơ a: AB, y
• Các vectơ ngược hướng với vectơ a: x, b

⚠️ Lưu ý thi: Chỉ khi hai vectơ cùng phương ta mới nói tới chúng cùng hướng hay ngược hướng. Nếu hai vectơ không cùng phương thì không đặt vấn đề cùng hướng hay ngược hướng.

---

🎯 Ghi nhớ

1. Vectơ = đoạn thẳng có hướng (có điểm đầu, điểm cuối xác định)

1. Độ dài vectơ AB = khoảng cách từ A đến B, kí hiệu |AB|

1. Hai vectơ cùng phương ⟺ giá của chúng song song hoặc trùng nhau

1. Hai vectơ bằng nhau ⟺ cùng hướng VÀ cùng độ dài

1. Phân biệt: Vectơ AB ≠ Vectơ BA (cùng độ dài nhưng ngược hướng)

1. Công thức đường chéo hình vuông cạnh a: d = a√2