Giải Toán 10 - Tập 1 trang 68
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 68–69
🔍 Kiến thức cần nhớ
Tích vô hướng của hai vectơ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là u⃗ · v⃗, được xác định bởi công thức:
u⃗ · v⃗ = |u⃗| · |v⃗| · cos(u⃗, v⃗)
Các tính chất quan trọng:
- u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ u⃗ · v⃗ = 0
- u⃗ · u⃗ = |u⃗|² (bình phương vô hướng)
- Với u⃗ = (x; y) và v⃗ = (x'; y'): u⃗ · v⃗ = xx' + yy'
- Bình phương vô hướng: u⃗² = x² + y²
- Công thức tính góc: cos(u⃗, v⃗) = (xx' + yy') / (√(x² + y²) · √(x'² + y'²))
⚙️ Bài tập
Luyện tập 2
Đề bài: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính AB⃗ · AC⃗ theo a, b, c.
Cách 1 — Sử dụng định lý cosin
Bước 1: Nhắc lại định lý cosin trong tam giác ABC:
BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(∠BAC)
Hay: a² = c² + b² − 2bc·cos A
Bước 2: Áp dụng công thức tích vô hướng:
AB⃗ · AC⃗ = |AB⃗| · |AC⃗| · cos(AB⃗, AC⃗)
Góc giữa hai vectơ AB⃗ và AC⃗ chính là góc ∠BAC (góc A).
Do đó: AB⃗ · AC⃗ = AB · AC · cos A = c · b · cos A = bc · cos A
Bước 3: Từ định lý cosin, ta có:
cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)
Bước 4: Thay vào công thức:
AB⃗ · AC⃗ = bc · (b² + c² − a²) / (2bc) = (b² + c² − a²) / 2
Cách 2 — Sử dụng quy tắc vectơ
Bước 1: Ta có: BC⃗ = AC⃗ − AB⃗
Bước 2: Tính |BC⃗|²:
|BC⃗|² = |AC⃗ − AB⃗|² = |AC⃗|² − 2·AC⃗·AB⃗ + |AB⃗|²
Bước 3: Thay các giá trị:
- |BC⃗|² = a²
- |AC⃗|² = b²
- |AB⃗|² = c²
Ta được: a² = b² − 2·AB⃗·AC⃗ + c²
Bước 4: Giải ra:
2·AB⃗·AC⃗ = b² + c² − a²
AB⃗ · AC⃗ = (b² + c² − a²) / 2
🎯 Kết quả: AB⃗ · AC⃗ = (b² + c² − a²) / 2
💡 Mẹo nhớ: Công thức này chính là biến đổi từ định lý cosin. Nhớ rằng cạnh đối diện với góc A là a (cạnh BC).
⚠️ Lưu ý thi: Đây là công thức rất quan trọng, thường xuất hiện trong các bài toán về tích vô hướng trong tam giác.
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Cho hai vectơ cùng phương u⃗ = (x; y) và v⃗ = (kx; ky). Hãy kiểm tra công thức u⃗ · v⃗ = k(x² + y²) theo từng trường hợp sau:
a) u⃗ = 0⃗
b) u⃗ ≠ 0⃗ và k ≥ 0
c) u⃗ ≠ 0⃗ và k < 0
Cách 1 — Sử dụng công thức tọa độ
Câu a) Trường hợp u⃗ = 0⃗
Khi u⃗ = 0⃗, ta có x = 0 và y = 0.
- Vế trái: u⃗ · v⃗ = x·(kx) + y·(ky) = 0·0 + 0·0 = 0
- Vế phải: k(x² + y²) = k(0 + 0) = 0
Kết luận: Vế trái = Vế phải = 0. Công thức đúng ✓
Câu b) Trường hợp u⃗ ≠ 0⃗ và k ≥ 0
Khi u⃗ ≠ 0⃗, ta có x² + y² > 0.
- Vế trái: u⃗ · v⃗ = x·(kx) + y·(ky) = kx² + ky² = k(x² + y²)
- Vế phải: k(x² + y²)
Kết luận: Vế trái = Vế phải. Công thức đúng ✓
Câu c) Trường hợp u⃗ ≠ 0⃗ và k < 0
Khi u⃗ ≠ 0⃗, ta có x² + y² > 0.
- Vế trái: u⃗ · v⃗ = x·(kx) + y·(ky) = kx² + ky² = k(x² + y²)
- Vế phải: k(x² + y²)
Kết luận: Vế trái = Vế phải. Công thức đúng ✓
Cách 2 — Sử dụng định nghĩa tích vô hướng
Với u⃗ · v⃗ = |u⃗| · |v⃗| · cos(u⃗, v⃗):
- |u⃗| = √(x² + y²)
- |v⃗| = √(k²x² + k²y²) = |k|·√(x² + y²)
Trường hợp k ≥ 0: Hai vectơ cùng hướng, góc = 0°, cos 0° = 1
- u⃗ · v⃗ = √(x² + y²) · k·√(x² + y²) · 1 = k(x² + y²) ✓
Trường hợp k < 0: Hai vectơ ngược hướng, góc = 180°, cos 180° = −1
- u⃗ · v⃗ = √(x² + y²) · |k|·√(x² + y²) · (−1) = −|k|(x² + y²) = k(x² + y²) ✓
🎯 Kết luận: Công thức u⃗ · v⃗ = k(x² + y²) đúng trong mọi trường hợp.
HĐ3 (Hoạt động 3)
Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương u⃗ = (x; y) và v⃗ = (x'; y').
a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho OA⃗ = u⃗, OB⃗ = v⃗.
b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.
c) Tính OA⃗ · OB⃗ theo tọa độ của A, B.
Câu a) Xác định tọa độ điểm A và B
Lời giải:
- Với OA⃗ = u⃗ = (x; y), điểm A có tọa độ xuất phát từ gốc O(0; 0), nên A(x; y)
- Với OB⃗ = v⃗ = (x'; y'), điểm B có tọa độ xuất phát từ gốc O(0; 0), nên B(x'; y')
🎯 Kết quả: A(x; y) và B(x'; y')
Câu b) Tính AB², OA², OB²
Lời giải:
Tính OA²:
OA² = |OA⃗|² = x² + y²
Tính OB²:
OB² = |OB⃗|² = x'² + y'²
Tính AB²:
AB⃗ = (x' − x; y' − y)
AB² = |AB⃗|² = (x' − x)² + (y' − y)²
Khai triển: AB² = x'² − 2xx' + x² + y'² − 2yy' + y²
AB² = (x² + y²) + (x'² + y'²) − 2(xx' + yy')
Hay: AB² = OA² + OB² − 2(xx' + yy')
Câu c) Tính OA⃗ · OB⃗
Lời giải:
Từ kết quả câu b, ta có:
AB² = OA² + OB² − 2(xx' + yy')
Suy ra: 2(xx' + yy') = OA² + OB² − AB²
Do đó: xx' + yy' = (OA² + OB² − AB²) / 2
Mặt khác, theo định lý cosin trong tam giác OAB:
OA⃗ · OB⃗ = |OA⃗| · |OB⃗| · cos(∠AOB) = (OA² + OB² − AB²) / 2
Kết luận: OA⃗ · OB⃗ = xx' + yy'
🎯 Kết quả: Đây chính là công thức tính tích vô hướng theo tọa độ!
💡 Mẹo nhớ: Tích vô hướng = "tích tung tọa độ cùng vị trí rồi cộng lại": u⃗ · v⃗ = xx' + yy'
Luyện tập 3
Đề bài: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ u⃗ = (0; −5) và v⃗ = (√3; 1).
Cách 1 — Tính trực tiếp theo công thức tọa độ
Bước 1: Tính tích vô hướng
u⃗ · v⃗ = 0·√3 + (−5)·1 = 0 − 5 = −5
Bước 2: Tính độ dài các vectơ
|u⃗| = √(0² + (−5)²) = √25 = 5
|v⃗| = √((√3)² + 1²) = √(3 + 1) = √4 = 2
Bước 3: Tính cos góc giữa hai vectơ
cos(u⃗, v⃗) = (u⃗ · v⃗) / (|u⃗| · |v⃗|) = −5 / (5 · 2) = −5/10 = −1/2
Bước 4: Tìm góc
cos(u⃗, v⃗) = −1/2 ⟹ (u⃗, v⃗) = 120°
Cách 2 — Phân tích hình học
Vectơ u⃗ = (0; −5) nằm trên trục Oy, hướng xuống dưới.
Vectơ v⃗ = (√3; 1) tạo với trục Ox một góc α với tan α = 1/√3 ⟹ α = 30°.
Góc từ v⃗ đến trục Oy dương: 90° − 30° = 60°
Góc từ u⃗ (hướng xuống) đến v⃗: 180° − 60° = 120°
🎯 Kết quả: - Tích vô hướng: u⃗ · v⃗ = −5 - Góc giữa hai vectơ: (u⃗, v⃗) = 120°
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính |u⃗|: √(0² + 5²) = 5 - Tính |v⃗|: √(3 + 1) = 2 - Tính góc: SHIFT cos⁻¹(−0.5) = 120°
HĐ4 (Hoạt động 4)
Đề bài: Cho ba vectơ u⃗ = (x₁; y₁), v⃗ = (x₂; y₂), w⃗ = (x₃; y₃).
a) Tính u⃗ · (v⃗ + w⃗), u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ theo tọa độ của các vectơ u⃗, v⃗, w⃗.
b) So sánh u⃗ · (v⃗ + w⃗) và u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗.
c) So sánh u⃗ · v⃗ và v⃗ · u⃗.
Câu a) Tính các tích vô hướng
Tính u⃗ · (v⃗ + w⃗):
v⃗ + w⃗ = (x₂ + x₃; y₂ + y₃)
u⃗ · (v⃗ + w⃗) = x₁(x₂ + x₃) + y₁(y₂ + y₃)
= x₁x₂ + x₁x₃ + y₁y₂ + y₁y₃
= (x₁x₂ + y₁y₂) + (x₁x₃ + y₁y₃)
Tính u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗:
u⃗ · v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
u⃗ · w⃗ = x₁x₃ + y₁y₃
u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ = (x₁x₂ + y₁y₂) + (x₁x₃ + y₁y₃)
Câu b) So sánh u⃗ · (v⃗ + w⃗) và u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗
Từ kết quả câu a, ta thấy:
u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗
🎯 Kết luận: Đây là tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng vectơ.
Câu c) So sánh u⃗ · v⃗ và v⃗ · u⃗
Tính u⃗ · v⃗:
u⃗ · v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
Tính v⃗ · u⃗:
v⃗ · u⃗ = x₂x₁ + y₂y₁ = x₁x₂ + y₁y₂
Kết luận: u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗
🎯 Kết luận: Đây là tính chất giao hoán của tích vô hướng.
💡 Mẹo nhớ - Các tính chất của tích vô hướng: 1. Giao hoán: u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ 2. Phân phối: u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ 3. Kết hợp với số: (ku⃗) · v⃗ = k(u⃗ · v⃗)
📝 Các câu hỏi lý thuyết trong bài
Câu hỏi 1 (trang 67)
Đề bài: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ u⃗, v⃗ là một số dương? Là một số âm?
Trả lời:
- Tích vô hướng dương khi cos(u⃗, v⃗) > 0, tức là góc giữa hai vectơ nhọn (0° < góc < 90°)
- Tích vô hướng âm khi cos(u⃗, v⃗) < 0, tức là góc giữa hai vectơ tù (90° < góc < 180°)
- Tích vô hướng bằng 0 khi hai vectơ vuông góc (góc = 90°)
Câu hỏi 2 (trang 67)
Đề bài: Khi nào thì (u⃗ · v⃗)² = u⃗² · v⃗²?
Trả lời:
Ta có: (u⃗ · v⃗)² = (|u⃗| · |v⃗| · cos(u⃗, v⃗))² = |u⃗|² · |v⃗|² · cos²(u⃗, v⃗)
Và: u⃗² · v⃗² = |u⃗|² · |v⃗|²
Để (u⃗ · v⃗)² = u⃗² · v⃗², cần: cos²(u⃗, v⃗) = 1
⟹ cos(u⃗, v⃗) = ±1 ⟹ góc = 0° hoặc 180°
Kết luận: (u⃗ · v⃗)² = u⃗² · v⃗² khi và chỉ khi hai vectơ u⃗ và v⃗ cùng phương (cùng hướng hoặc ngược hướng).
🎯 Ghi nhớ cuối bài: - Tích vô hướng u⃗ · v⃗ = |u⃗| · |v⃗| · cos(u⃗, v⃗) hoặc u⃗ · v⃗ = xx' + yy' - Hai vectơ vuông góc ⟺ tích vô hướng bằng 0 - Công thức tính góc: cos(u⃗, v⃗) = (u⃗ · v⃗) / (|u⃗| · |v⃗|) - Trong tam giác: AB⃗ · AC⃗ = (b² + c² − a²) / 2