Giải Toán 10 - Tập 1 trang 66

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Tọa độ của vectơ

• Vectơ a = (a₁; a₂) có tọa độ là (a₁; a₂)
• Vectơ AB với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂): AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁)

2. Độ dài vectơ và khoảng cách

• |a| = √(a₁² + a₂²)
• Khoảng cách AB = |AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

3. Điều kiện ba điểm thẳng hàng

• Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⟺ AB = k·AC (với k ≠ 0)

4. Trung điểm và trọng tâm

• Trung điểm M của AB: M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)
• Trọng tâm G của tam giác ABC: G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3; (y₁ + y₂ + y₃)/3)

5. Góc giữa hai vectơ

• Góc giữa hai vectơ u và v (khác 0), ký hiệu (u, v), có giá trị từ 0° đến 180°
• Nếu (u, v) = 90° thì u ⊥ v

---

⚙️ Bài tập

---

Câu 4.16

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2).
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.
b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản (dùng công thức khoảng cách)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng:

Ta có O(0; 0), M(1; 3), N(4; 2).

Độ dài OM:

OM = √[(1 - 0)² + (3 - 0)²] = √(1 + 9) = √10

Độ dài ON:

ON = √[(4 - 0)² + (2 - 0)²] = √(16 + 4) = √20 = 2√5

Độ dài MN:

MN = √[(4 - 1)² + (2 - 3)²] = √(9 + 1) = √10

Kết quả: OM = √10, ON = 2√5, MN = √10

---

b) Chứng minh tam giác OMN vuông cân:

Bước 1: Kiểm tra cân

• OM = √10
• MN = √10
• OM = MN ⟹ Tam giác OMN cân tại M

Bước 2: Kiểm tra vuông (dùng định lý Pythagore đảo)

• OM² = 10
• MN² = 10
• ON² = 20

Ta có: OM² + MN² = 10 + 10 = 20 = ON²

Theo định lý Pythagore đảo: Tam giác OMN vuông tại M.

Kết luận: Tam giác OMN vuông cân tại M.

---

Cách 2 — Dùng tích vô hướng (kiểm tra vuông góc)

Tính các vectơ:

• MO = (0 - 1; 0 - 3) = (-1; -3)
• MN = (4 - 1; 2 - 3) = (3; -1)

Tích vô hướng:

MO · MN = (-1) × 3 + (-3) × (-1) = -3 + 3 = 0

Vì MO · MN = 0 ⟹ MO ⊥ MN ⟹ Góc OMN = 90°

Kết hợp với OM = MN = √10 ⟹ Tam giác OMN vuông cân tại M.

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X - Tính √10: nhấn √ 10 = → kết quả √10 ≈ 3.162 - Tính √20: nhấn √ 20 = → kết quả 2√5 ≈ 4.472

---

Câu 4.17

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a = 3i - 2j, b = (4; -1) và các điểm M(-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ MN và 2a - b.
b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Tìm mối liên hệ giữa vectơ MN và 2a - b:

Bước 1: Xác định tọa độ các vectơ

• a = 3i - 2j = (3; -2)
• b = (4; -1)

Bước 2: Tính vectơ MN

MN = (3 - (-3); -3 - 6) = (6; -9)

Bước 3: Tính 2a - b

2a - b = 2(3; -2) - (4; -1) = (6; -4) - (4; -1) = (6 - 4; -4 - (-1)) = (2; -3)

Bước 4: Tìm mối liên hệ

Ta thấy: MN = (6; -9) = 3 × (2; -3) = 3(2a - b)

Kết luận: MN = 3(2a - b)

---

b) Kiểm tra O, M, N có thẳng hàng không:

Ta có O(0; 0), M(-3; 6), N(3; -3).

Tính các vectơ:

• OM = (-3 - 0; 6 - 0) = (-3; 6)
• ON = (3 - 0; -3 - 0) = (3; -3)

Kiểm tra tỉ lệ:

ON = (3; -3) = -1 × (-3; 6) = -1 × OM

Vì ON = -OM ⟹ O, M, N thẳng hàng.

Kết luận: Ba điểm O, M, N thẳng hàng.

---

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là hình bình hành:

OMNP là hình bình hành ⟺ OM = PN (hai cạnh đối song song và bằng nhau)

Cách tính:

• OM = (-3; 6)
• PN = (3 - x; -3 - y)

Để OM = PN:

• 3 - x = -3 ⟹ x = 6
• -3 - y = 6 ⟹ y = -9

Kết luận: P(6; -9)

---

Cách 2 — Dùng quy tắc hình bình hành

Trong hình bình hành OMNP, theo thứ tự các đỉnh:

OM + ON = OP (không đúng với thứ tự này)

Đúng hơn, OMNP là hình bình hành khi:

• MN = OP (hai cạnh đối)

OP = MN = (6; -9)

Vì O(0; 0) nên P = (0 + 6; 0 + (-9)) = (6; -9)

Kết luận: P(6; -9)

⚠️ Lưu ý thi: Khi tìm đỉnh thứ 4 của hình bình hành, cần chú ý thứ tự các đỉnh. OMNP khác với OPMN!

---

Câu 4.18

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).
a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng:

Tính các vectơ:

• AB = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1)
• AC = (-3 - 1; 2 - 3) = (-4; -1)

Kiểm tra: A, B, C thẳng hàng ⟺ AB = k·AC với k nào đó

Giả sử AB = k·AC:

• 1 = k × (-4) ⟹ k = -1/4
• 1 = k × (-1) ⟹ k = -1

Vì hai giá trị k khác nhau (-1/4 ≠ -1) ⟹ AB và AC không cùng phương.

Kết luận: A, B, C không thẳng hàng.

---

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB:

Công thức trung điểm: M = ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2)

M = ((1 + 2)/2; (3 + 4)/2) = (3/2; 7/2)

Kết luận: M(3/2; 7/2) hay M(1,5; 3,5)

---

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

Công thức trọng tâm: G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3; (y₁ + y₂ + y₃)/3)

G = ((1 + 2 + (-3))/3; (3 + 4 + 2)/3) = (0/3; 9/3) = (0; 3)

Kết luận: G(0; 3)

---

d) Tìm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD:

O là trọng tâm của tam giác ABD:

• x_O = (x_A + x_B + x_D)/3
• y_O = (y_A + y_B + y_D)/3

Thay số:

• 0 = (1 + 2 + x)/3 ⟹ 1 + 2 + x = 0 ⟹ x = -3
• 0 = (3 + 4 + y)/3 ⟹ 3 + 4 + y = 0 ⟹ y = -7

Kết luận: D(-3; -7)

---

Cách 2 — Dùng định thức (kiểm tra thẳng hàng)

Câu a) Dùng định thức:

Ba điểm A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃) thẳng hàng ⟺ định thức = 0

Định thức = x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)

= 1(4 - 2) + 2(2 - 3) + (-3)(3 - 4)

= 1 × 2 + 2 × (-1) + (-3) × (-1)

= 2 - 2 + 3 = 3 ≠ 0

⟹ A, B, C không thẳng hàng.

💡 Mẹo nhớ: - Trung điểm: "cộng chia 2" - Trọng tâm: "cộng chia 3"

---

Câu 4.19

Đề bài: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ v = (3; 4). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

---

Cách 1 — Phương pháp vectơ vị trí

Phân tích:

• Vị trí ban đầu: A(1; 2)
• Vectơ vận tốc: v = (3; 4) (đơn vị/giờ)
• Thời gian: t = 1,5 giờ

Công thức: Vị trí sau thời gian t: B = A + t × v

Tính toán:

Quãng đường di chuyển (theo vectơ): t × v = 1,5 × (3; 4) = (4,5; 6)

Vị trí mới B:

• x_B = 1 + 4,5 = 5,5
• y_B = 2 + 6 = 8

Kết luận: Sau 1,5 giờ, tàu ở vị trí B(5,5; 8) hay B(11/2; 8)

---

Cách 2 — Phương trình tham số

Phương trình tọa độ theo thời gian:

• x(t) = x₀ + v_x × t = 1 + 3t
• y(t) = y₀ + v_y × t = 2 + 4t

Tại t = 1,5:

• x = 1 + 3 × 1,5 = 1 + 4,5 = 5,5
• y = 2 + 4 × 1,5 = 2 + 6 = 8

Kết luận: Vị trí tàu: (5,5; 8)

💡 Mẹo nhớ: Công thức chuyển động thẳng đều: r(t) = r₀ + v × t Đây là ứng dụng thực tế của vectơ trong Vật lý!

---

Câu 4.20

Đề bài: Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ (1; 2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

---

Cách giải — Quy tắc di chuyển quân mã

Quy tắc đi của quân mã trong cờ vua:
Quân mã di chuyển theo hình chữ "L":

• 2 ô theo một hướng (ngang hoặc dọc)
• 1 ô theo hướng vuông góc

Các vectơ di chuyển có thể:
(±1; ±2) hoặc (±2; ±1)

Cụ thể 8 hướng:

• (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)
• (1; 2), (1; -2), (-1; 2), (-1; -2)

Tính các vị trí mới từ (1; 2):

Lưu ý: Bàn cờ trong hình có tọa độ từ 1 đến 7 cho cả x và y.

Kết luận: Sau một nước đi, quân mã có thể đến các vị trí:

• (3; 3)
• (3; 1)
• (2; 4)

💡 Mẹo nhớ: Quân mã đi hình chữ "L" = "2 bước + rẽ + 1 bước"

---

Hoạt động 1 (HĐ1) - Trang 66

Đề bài: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ AB và AC. Hãy tìm số đo các góc giữa BC và BD, DA và DB.

---

Lời giải

Từ Hình 4.39, ta có:

• Góc BAC = 80°
• Góc ABC = 30°
• Các điểm A, C, D thẳng hàng (D nằm trên tia đối của AC)

Góc giữa BC và BD:

• Vì D nằm trên đường thẳng AC, kéo dài qua C
• Góc CBD là góc tạo bởi tia BC và tia BD
• Trong tam giác ABC: góc ACB = 180° - 80° - 30° = 70°
• Góc BCD = 180° - 70° = 110° (góc kề bù)

Tuy nhiên, góc giữa hai vectơ BC và BD:
Ta cần xác định hướng các vectơ:

• BC hướng từ B đến C
• BD hướng từ B đến D

Góc (BC, BD) = góc DBC = 30° (góc ABC trong hình)

Góc giữa DA và DB:

• DA hướng từ D đến A
• DB hướng từ D đến B

Góc (DA, DB) = góc ADB

Trong tam giác ABD, cần tính góc ADB.

Góc ABD = 30° + góc ABC = cần thêm thông tin từ hình.

Dựa vào hình: Góc (DA, DB) = góc ADB ở đỉnh D.

Kết luận:

• Góc (BC, BD) = 30°
• Góc (DA, DB) = góc ADB (phụ thuộc vào cấu hình hình vẽ)

---

Luyện tập 1 - Trang 66

Đề bài: Cho tam giác đều ABC. Tính (AB, BC).

---

Cách 1 — Phương pháp hình học

Phân tích:
Tam giác ABC đều ⟹ mỗi góc = 60°

Xác định góc giữa AB và BC:

• Vectơ AB có hướng từ A đến B
• Vectơ BC có hướng từ B đến C

Góc giữa AB và BC = góc tạo bởi tia BA kéo dài và tia BC (vì góc giữa vectơ tính theo hướng cùng gốc)

Để tính góc giữa hai vectơ, ta đặt chúng cùng gốc tại B:

• Tia BA (ngược hướng AB)
• Tia BC (cùng hướng BC)

Góc ABC (góc trong tam giác) = 60°

Nhưng góc giữa AB và BC:

• AB hướng A → B
• BC hướng B → C

Kéo dài tia AB qua B đến điểm D. Khi đó góc DBC = 180° - 60° = 120°.

Kết luận: (AB, BC) = 180° - 60° = 120°

---

Cách 2 — Dùng công thức tích vô hướng (sẽ học sau)

Đặt tam giác đều cạnh a:

• AB · BC = |AB| × |BC| × cos(góc)
• AB · BC = -BA · BC = -a × a × cos60° = -a²/2

cos(góc giữa AB và BC) = (AB · BC)/(|AB| × |BC|) = (-a²/2)/(a²) = -1/2

⟹ Góc = 120°

Kết luận: (AB, BC) = 120°

🎯 Ghi nhớ: - Góc giữa hai vectơ ≠ góc trong của đa giác (trừ khi hai vectơ cùng xuất phát từ một đỉnh và hướng ra ngoài) - Với tam giác đều, góc giữa hai vectơ cạnh liên tiếp (theo thứ tự AB, BC) = 120° - Góc giữa hai vectơ luôn nằm trong khoảng [0°; 180°]

---

🎯 Tổng kết kiến thức trang 65-66: 1. Độ dài đoạn thẳng: AB = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] 2. Ba điểm thẳng hàng: khi các vectơ nối chúng cùng phương 3. Trung điểm: "cộng chia 2" 4. Trọng tâm: "cộng chia 3" 5. Góc giữa hai vectơ: từ 0° đến 180°, cần chú ý hướng của vectơ