Giải Toán 10 - Tập 1 trang 72

Đây là phần Bài tập cuối chương IV (về vectơ). Mình tóm tắt nhanh lý thuyết cần dùng rồi giải từng bài nhé.

Tóm tắt lý thuyết cần nhớ

Cho $\vec{a}=(a_1;a_2)$, $\vec{b}=(b_1;b_2)$:

• Cùng phương: $a_1b_2-a_2b_1=0$
• Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a},\vec{b})$
• Vuông góc: $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
• Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

---

A – TRẮC NGHIỆM

Bài 4.27: Cặp vectơ cùng phương

Xét điều kiện $a_1b_2-a_2b_1=0$:

Đáp án: B

Bài 4.28: Cặp vectơ vuông góc

Xét $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$:

• A: $2\cdot4+3\cdot6=26\neq0$
• B: $1\cdot(-1)+(-1)\cdot1=-2\neq0$
• C: $\vec{z}\cdot\vec{t}=a\cdot(-b)+b\cdot a=0$ ✓
• D: $1\cdot2+1\cdot0=2\neq0$

Đáp án: C

Bài 4.29: Vectơ có độ dài bằng 1

• A: $|\vec{a}|=\sqrt{1+1}=\sqrt2$
• B: $|\vec{b}|=\sqrt2$
• C: $|\vec{c}|=\sqrt{4+\frac14}$
• D: $|\vec{d}|=\sqrt{\frac12+\frac12}=1$ ✓

Đáp án: D

Bài 4.30: Góc giữa hai vectơ

Với $\vec{a}=(1;-1)$, $\vec{b}=(-2;0)$:

$$\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{1\cdot(-2)+(-1)\cdot0}{\sqrt2\cdot2}=\frac{-2}{2\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2}$$

Suy ra góc bằng $135^\circ$.

Đáp án: C

Bài 4.31: Khẳng định đúng

• A: $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$ cùng phương $\vec{c}$, còn $\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})$ cùng phương $\vec{a}$ → sai.
• B: $(\vec{a}\cdot\vec{b})^2=\vec{a}^2\cdot\vec{b}^2$ chỉ đúng khi cùng phương → sai.
• C: tích vô hướng dùng $\cos$, không phải $\sin$ → sai.
• D: $\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}$ (tính chất phân phối) → đúng ✓

Đáp án: D

Bài 4.32: Hình vuông ABCD cạnh a

Chọn $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$.

• A: $\overrightarrow{AB}=(a;0)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a)$ → $\cos=-\frac{1}{\sqrt2}$ → góc $135^\circ$, không phải $45^\circ$ → sai.
• B: $\overrightarrow{AC}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;a)$ → $\cos=\frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a}=\frac{1}{\sqrt2}$ → góc $45^\circ$; và $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=a^2$ → đúng cả hai ✓
• C: $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=-a^2+a^2=0\neq a^2\sqrt2$ → sai.
• D: $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BD}=a^2\neq-a^2$ → sai.

Đáp án: B

---

B – TỰ LUẬN

Bài 4.33: Điểm M trên BC với MB = 3MC

a) Vì $M$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ ngược hướng. Kết hợp $MB=3MC$ ta được:
$$\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$$

b) Ta có $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}$. Thay vào:
$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=-3(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM})$$
$$\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AM}$$
$$\boxed{\overrightarrow{AM}=\frac14\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}}$$

Bài 4.34: Hình bình hành ABCD

Gọi $O$ là tâm hình bình hành (giao hai đường chéo), khi đó $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$:
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0},\qquad \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$$

Với điểm $M$ bất kỳ:
$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC})=2\overrightarrow{MO}$$
$$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD})=2\overrightarrow{MO}$$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ (đpcm).

Bài 4.35: A(2;1), B(−2;5), C(−5;2)

a) Tọa độ các vectơ:
$$\overrightarrow{BA}=A-B=(4;-4),\qquad \overrightarrow{BC}=C-B=(-3;-3)$$

b) Xét $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=4\cdot(-3)+(-4)\cdot(-3)=-12+12=0$.

Vậy $\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{BC}$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

Độ dài các cạnh:
$$|BA|=\sqrt{16+16}=4\sqrt2,\quad |BC|=\sqrt{9+9}=3\sqrt2,\quad |AC|=\sqrt{49+1}=5\sqrt2$$

• Diện tích: $S=\frac12\cdot4\sqrt2\cdot3\sqrt2=12$
• Chu vi: $4\sqrt2+3\sqrt2+5\sqrt2=12\sqrt2$

c) Trọng tâm:
$$G\left(\frac{2-2-5}{3};\frac{1+5+2}{3}\right)=\left(-\frac53;\frac83\right)$$

d) Tứ giác $BCAD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DA}$.

Gọi $D(x;y)$: $\overrightarrow{DA}=(2-x;1-y)=(-3;-3)$
$$\Rightarrow x=5,\ y=4 \Rightarrow D(5;4)$$

Bài 4.36: A(1;2), B(3;4), C(−1;−2), D(6;5)

a) Tọa độ:
$$\overrightarrow{AB}=(2;2),\qquad \overrightarrow{CD}=(7;7)$$

b) Vì $2\cdot7-2\cdot7=0$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương (cụ thể $\overrightarrow{CD}=\frac72\overrightarrow{AB}$).

c) $E(a;1)$. Ta có:
$$\overrightarrow{AC}=(-2;-4),\qquad \overrightarrow{BE}=(a-3;-3)$$

Cùng phương: $(-2)(-3)-(-4)(a-3)=0$
$$6+4(a-3)=0\Rightarrow 4a-6=0\Rightarrow a=\frac32$$

Vậy $E\left(\dfrac32;1\right)$.

d) $\overrightarrow{AE}=E-A=\left(\dfrac12;-1\right)$. Đặt $\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$:
$$\begin{cases}\frac12=2m-2n\\-1=2m-4n\end{cases}$$

Trừ vế: $\frac32=2n\Rightarrow n=\frac34$, suy ra $m=1$.
$$\boxed{\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac34\overrightarrow{AC}}$$

Bài 4.37: Chứng minh vectơ đơn vị

Với $\vec{a}\neq\vec0$, xét vectơ $\dfrac{1}{|\vec a|}\vec a$:

• Độ dài: $\left|\dfrac{1}{|\vec a|}\vec a\right|=\dfrac{1}{|\vec a|}\cdot|\vec a|=1$ → là vectơ đơn vị.
• Vì hệ số $\dfrac{1}{|\vec a|}>0$ nên vectơ này cùng hướng với $\vec a$.

Vậy $\dfrac{1}{|\vec a|}\vec a$ là vectơ đơn vị cùng hướng với $\vec a$ (đpcm).

Bài 4.38: Hệ trực chuẩn với i = a, j = b

Cho $|\vec a|=|\vec b|=1$ và $\vec a\perp\vec b$, nên $\{\vec a,\vec b\}$ là cơ sở trực chuẩn:
$$\vec a\cdot\vec a=1,\ \vec b\cdot\vec b=1,\ \vec a\cdot\vec b=0$$

a) Giả sử $\vec u=x\vec a+y\vec b$ (tức tọa độ của $\vec u$ là $(x;y)$). Khi đó:
$$\vec u\cdot\vec a=x(\vec a\cdot\vec a)+y(\vec b\cdot\vec a)=x$$
$$\vec u\cdot\vec b=x(\vec a\cdot\vec b)+y(\vec b\cdot\vec b)=y$$

Vậy tọa độ của $\vec u$ là $(\vec u\cdot\vec a;\ \vec u\cdot\vec b)$.

b) Từ $x=\vec u\cdot\vec a$, $y=\vec u\cdot\vec b$ thay vào $\vec u=x\vec a+y\vec b$:
$$\vec u=(\vec u\cdot\vec a)\vec a+(\vec u\cdot\vec b)\vec b\quad\text{(đpcm)}$$

Bài 4.39: Vận tốc riêng của ca nô

Quan hệ vận tốc: $\vec v_{\text{thực}}=\vec v_{\text{riêng}}+\vec v_{\text{nước}}$, nên $\vec v_{\text{riêng}}=\vec v_{\text{thực}}-\vec v_{\text{nước}}$.

Chọn trục: $Ox$ hướng đông, $Oy$ hướng bắc.

Hướng S15°E (từ Nam lệch 15° về Đông), độ lớn 20 km/h:
$$\vec v_{\text{thực}}=(20\sin15^\circ;\,-20\cos15^\circ)$$

Nước chảy hướng đông: $\vec v_{\text{nước}}=(3;0)$.

Vận tốc riêng:
$$\vec v_{\text{riêng}}=(20\sin15^\circ-3;\,-20\cos15^\circ)$$

Độ lớn:
$$|\vec v_{\text{riêng}}|^2=(20\sin15^\circ-3)^2+(20\cos15^\circ)^2=400-120\sin15^\circ+9=409-120\sin15^\circ$$

Với $\sin15^\circ\approx0,2588$:
$$|\vec v_{\text{riêng}}|^2\approx409-31,06=377,94\Rightarrow|\vec v_{\text{riêng}}|\approx19,44\text{ km/h}$$

Vậy vận tốc riêng của ca nô có độ lớn khoảng 19,44 km/h.