Giải Toán tập 2 trang 52
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 52–53
🔍 Kiến thức cần nhớ
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Điều kiện cần và đủ: Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.
Hình chóp cụt đều được tạo thành từ hình chóp đều S.A₁A₂...Aₙ sau khi cắt đi chóp đều S.B₁B₂...Bₙ, ký hiệu là A₁A₂...Aₙ.B₁B₂...Bₙ.
⚙️ Bài tập
HĐ11
Đề bài: Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m. Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm của đáy tháp.
Cách 1 — Sử dụng định nghĩa hình chóp đều
Phân tích:
- Đáy là hình vuông (đa giác đều 4 cạnh)
- Các cạnh bên bằng nhau (đều bằng 32,3 m)
Lời giải:
Gọi hình chóp là S.ABCD với:
- ABCD là hình vuông cạnh 34 m
- SA = SB = SC = SD = 32,3 m
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy (ABCD).
Khi đó SO ⊥ (ABCD), nên:
- Tam giác SOA vuông tại O
- Tam giác SOB vuông tại O
- Tam giác SOC vuông tại O
- Tam giác SOD vuông tại O
Áp dụng định lý Pythagore:
- OA² = SA² - SO²
- OB² = SB² - SO²
- OC² = SC² - SO²
- OD² = SD² - SO²
Vì SA = SB = SC = SD, nên:
OA = OB = OC = OD
Điều này có nghĩa O cách đều 4 đỉnh A, B, C, D của hình vuông.
Trong hình vuông ABCD, điểm duy nhất cách đều 4 đỉnh là tâm của hình vuông (giao điểm của hai đường chéo).
Kết luận: Hình chiếu của đỉnh trên đáy là tâm của đáy tháp.
Cách 2 — Sử dụng tính chất hình chóp đều
Lời giải:
Theo định nghĩa, hình chóp có:
- Đáy là hình vuông (đa giác đều)
- Các cạnh bên bằng nhau
⟹ Đây là hình chóp đều.
Theo tính chất của hình chóp đều: Hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.
Kết luận: Hình chiếu của đỉnh S trên đáy chính là tâm O của hình vuông ABCD.
💡 Mẹo nhớ: Hình chóp đều ⟺ Đáy đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau ⟺ Hình chiếu đỉnh là tâm đáy
HĐ12
Đề bài: Cho hình chóp S.A₁A₂...Aₙ. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A₁A₂...Aₙ).
a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với đa giác đều A₁A₂...Aₙ?
b) Nếu đa giác A₁A₂...Aₙ là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?
Câu a)
Cách 1 — Chứng minh trực tiếp
Lời giải:
Vì hình chóp S.A₁A₂...Aₙ là hình chóp đều nên:
- Đáy A₁A₂...Aₙ là đa giác đều
- SA₁ = SA₂ = ... = SAₙ (các cạnh bên bằng nhau)
Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy nên SO ⊥ (A₁A₂...Aₙ).
Các tam giác SOA₁, SOA₂, ..., SOAₙ đều vuông tại O và có:
- Chung cạnh SO
- SA₁ = SA₂ = ... = SAₙ
Theo định lý Pythagore:
- OA₁² = SA₁² - SO²
- OA₂² = SA₂² - SO²
- ...
- OAₙ² = SAₙ² - SO²
Suy ra: OA₁ = OA₂ = ... = OAₙ
Điểm O cách đều tất cả các đỉnh của đa giác đều A₁A₂...Aₙ.
Kết luận: O là tâm của đa giác đều A₁A₂...Aₙ.
Cách 2 — Sử dụng định lý đặc trưng
Theo tính chất của hình chóp đều: Hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của đa giác đều ở đáy.
Kết luận: O là tâm của đa giác đều A₁A₂...Aₙ.
Câu b)
Cách 1 — Chứng minh hình chóp đều
Lời giải:
Giả thiết:
- A₁A₂...Aₙ là đa giác đều
- O là tâm của đa giác đều A₁A₂...Aₙ
- O là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy
Chứng minh:
Vì O là tâm của đa giác đều nên:
OA₁ = OA₂ = ... = OAₙ = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp)
Vì SO ⊥ (A₁A₂...Aₙ), các tam giác SOA₁, SOA₂, ..., SOAₙ đều vuông tại O.
Áp dụng định lý Pythagore:
- SA₁² = SO² + OA₁² = SO² + R²
- SA₂² = SO² + OA₂² = SO² + R²
- ...
- SAₙ² = SO² + OAₙ² = SO² + R²
Suy ra: SA₁ = SA₂ = ... = SAₙ
Vậy hình chóp S.A₁A₂...Aₙ có:
- Đáy là đa giác đều
- Các cạnh bên bằng nhau
Kết luận: Hình chóp S.A₁A₂...Aₙ là hình chóp đều.
Cách 2 — Áp dụng điều kiện cần và đủ
Theo định lý: Hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy là đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.
Đề bài cho: đáy là đa giác đều và O (hình chiếu của S) là tâm đa giác.
Kết luận: Hình chóp đã cho là hình chóp đều.
⚠️ Lưu ý thi: Đây là điều kiện cần và đủ quan trọng, thường xuất hiện trong các bài chứng minh hình chóp đều.
Luyện tập 5
Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√(5/12). Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Cách 1 — Phương pháp dựng góc nhị diện chuẩn
Lời giải:
Bước 1: Xác định các yếu tố
Hình chóp tam giác đều S.ABC có:
- ABC là tam giác đều cạnh a
- SA = SB = SC = a√(5/12)
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC (cũng là trọng tâm).
- SO ⊥ (ABC) (tính chất hình chóp đều)
Bước 2: Dựng góc nhị diện [S, BC, A]
Góc nhị diện [S, BC, A] có:
- Cạnh là BC
- Hai nửa mặt phẳng: (SBC) và (ABC)
Gọi M là trung điểm của BC.
- Trong tam giác đều ABC: AM ⊥ BC
- Trong tam giác cân SBC (vì SB = SC): SM ⊥ BC
Vậy góc nhị diện [S, BC, A] = góc SMA.
Bước 3: Tính các độ dài cần thiết
Tính AM (đường cao tam giác đều):
AM = a√3/2
Tính OM:
O là trọng tâm nên OA = 2/3 × AM = 2/3 × a√3/2 = a√3/3
OM = 1/3 × AM = 1/3 × a√3/2 = a√3/6
Tính SO:
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SOA:
SO² = SA² - OA²
SO² = a² × (5/12) - (a√3/3)²
SO² = 5a²/12 - a²/3
SO² = 5a²/12 - 4a²/12
SO² = a²/12
SO = a/(2√3) = a√3/6
Tính SM:
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SOM:
SM² = SO² + OM²
SM² = (a√3/6)² + (a√3/6)²
SM² = a²/12 + a²/12
SM² = a²/6
SM = a/√6 = a√6/6
Bước 4: Tính góc SMA
Trong tam giác SMA:
- SM = a√6/6
- AM = a√3/2
tan(∠SMA) = SA'/AM hoặc dùng công thức khác.
Thực ra ta tính:
tan(∠SMA) = SO/OM... (Cần xem lại cách tiếp cận)
Cách tính lại:
Trong tam giác vuông SOM, ta có SM.
Trong tam giác SMA, để tính góc SMA, ta dùng:
cos(∠SMA) = AM/SM... (không đúng vì tam giác SMA không vuông tại S)
Tính lại bằng cách khác:
Ta có: A, M, O thẳng hàng với O nằm giữa A và M.
- AO = a√3/3
- OM = a√3/6
- AM = AO + OM = a√3/3 + a√3/6 = 2a√3/6 + a√3/6 = 3a√3/6 = a√3/2 ✓
Trong tam giác vuông SOM (vuông tại O):
tan(∠SMO) = SO/OM = (a√3/6)/(a√3/6) = 1
⟹ ∠SMO = 45°
Vì S và A nằm cùng phía so với M theo đường thẳng qua O vuông góc với AM, và ∠SMA là góc nhị diện:
∠SMA = 180° - ∠SMO = 180° - 45° = 135°
Nhưng góc nhị diện thường lấy giá trị từ 0° đến 180°, và theo ngữ cảnh:
Góc nhị diện [S, BC, A] = 180° - 45° = 135°
Cách 2 — Phương pháp tọa độ
Lời giải:
Bước 1: Đặt hệ tọa độ
Đặt M là trung điểm BC tại gốc tọa độ.
- Trục Mx theo phương BC
- Trục My theo phương MA
- Trục Mz theo phương đứng
Tọa độ các điểm:
- M = (0, 0, 0)
- B = (-a/2, 0, 0)
- C = (a/2, 0, 0)
- A = (0, a√3/2, 0)
- O = (0, a√3/6, 0) (vì OM = a√3/6)
- S = (0, a√3/6, a√3/6) (vì SO = a√3/6)
Bước 2: Tìm vector pháp tuyến
Mặt phẳng (ABC): có vector pháp tuyến n₁ = (0, 0, 1)
Mặt phẳng (SBC):
- Vector BC = (a, 0, 0)
- Vector BS = (a/2, a√3/6, a√3/6)
n₂ = BC × BS = (0×a√3/6 - 0×a√3/6, 0×a/2 - a×a√3/6, a×a√3/6 - 0×a/2)
n₂ = (0, -a²√3/6, a²√3/6)
Có thể rút gọn: n₂ = (0, -1, 1)
Bước 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng
cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁| × |n₂|)
n₁ · n₂ = 0×0 + 0×(-1) + 1×1 = 1
|n₁| = 1
|n₂| = √(0² + 1² + 1²) = √2
cos θ = |1| / (1 × √2) = 1/√2 = √2/2
θ = 45°
Tuy nhiên, góc nhị diện [S, BC, A] tính từ phía A nhìn sang S qua cạnh BC.
Vì S nằm phía trên mặt phẳng (ABC), góc nhị diện = 180° - 45° = 135°
Kết luận: Góc nhị diện [S, BC, A] = 135°
💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, có thể dùng chế độ VECTOR để tính tích có hướng và góc giữa hai vector.
⚠️ Lưu ý thi: Khi tính góc nhị diện, cần xác định đúng hướng của góc (góc nhọn hay góc tù) dựa vào vị trí các điểm.
HĐ13
Đề bài: Cho hình chóp đều S.A₁A₂...Aₙ. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA₁, SA₂,..., SAₙ tương ứng tại B₁, B₂,..., Bₙ.
a) Giải thích vì sao S.B₁B₂...Bₙ là một hình chóp đều.
b) Gọi H là tâm của đa giác A₁A₂...Aₙ. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B₁B₂...Bₙ và HK vuông góc với các mặt phẳng (A₁A₂...Aₙ), (B₁B₂...Bₙ).
Câu a)
Cách 1 — Sử dụng tính chất mặt phẳng song song
Lời giải:
Giả thiết:
- S.A₁A₂...Aₙ là hình chóp đều
- Mặt phẳng (α) // (A₁A₂...Aₙ), cắt SA₁, SA₂,..., SAₙ tại B₁, B₂,..., Bₙ
Chứng minh B₁B₂...Bₙ là đa giác đều:
Vì (α) // (A₁A₂...Aₙ) nên theo định lý Thales trong không gian:
- B₁B₂ // A₁A₂ và B₁B₂/A₁A₂ = SB₁/SA₁
- B₂B₃ // A₂A₃ và B₂B₃/A₂A₃ = SB₂/SA₂
- ...
Vì mặt phẳng (α) cắt các cạnh xuất phát từ S, ta có:
SB₁/SA₁ = SB₂/SA₂ = ... = SBₙ/SAₙ = k (cùng một tỉ số)
Do đó: B₁B₂/A₁A₂ = B₂B₃/A₂A₃ = ... = BₙB₁/AₙA₁ = k
Vì A₁A₂...Aₙ là đa giác đều (các cạnh bằng nhau):
⟹ B₁B₂ = B₂B₃ = ... = BₙB₁
Các góc của đa giác B₁B₂...Bₙ bằng các góc tương ứng của A₁A₂...Aₙ (do các cạnh song song).
Kết luận: B₁B₂...Bₙ là đa giác đều.
Chứng minh các cạnh bên của S.B₁B₂...Bₙ bằng nhau:
Vì S.A₁A₂...Aₙ là hình chóp đều nên:
SA₁ = SA₂ = ... = SAₙ
Với SB₁/SA₁ = SB₂/SA₂ = ... = SBₙ/SAₙ = k:
⟹ SB₁ = SB₂ = ... = SBₙ = k × SA₁
Kết luận: S.B₁B₂...Bₙ có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nên là hình chóp đều.
Cách 2 — Sử dụng phép vị tự
Mặt phẳng (B₁B₂...Bₙ) song song với (A₁A₂...Aₙ) nên đa giác B₁B₂...Bₙ là ảnh của A₁A₂...Aₙ qua phép vị tự tâm S, tỉ số k.
Phép vị tự bảo toàn tính chất đa giác đều và tỉ lệ các cạnh.
Kết luận: S.B₁B₂...Bₙ là hình chóp đều.
Câu b)
Cách 1 — Chứng minh trực tiếp
Lời giải:
Phần 1: Chứng minh SH đi qua tâm K của B₁B₂...Bₙ
Vì S.A₁A₂...Aₙ là hình chóp đều và H là tâm của đa giác đều A₁A₂...Aₙ:
⟹ SH ⊥ (A₁A₂...Aₙ) (tính chất hình chóp đều)
Gọi K = SH ∩ (B₁B₂...Bₙ).
Ta cần chứng minh K là tâm của đa giác đều B₁B₂...Bₙ.
Xét các tam giác SA₁H và SB₁K:
- Góc S chung
- SH ⊥ (A₁A₂...Aₙ) và (B₁B₂...Bₙ) // (A₁A₂...Aₙ) nên SH ⊥ (B₁B₂...Bₙ)
- Do đó SK ⊥ KB₁
Hai tam giác SA₁H và SB₁K đồng dạng (góc-góc):
KB₁/HA₁ = SK/SH = SB₁/SA₁ = k
Tương tự: KB₁ = KB₂ = ... = KBₙ
Điểm K cách đều các đỉnh của đa giác đều B₁B₂...Bₙ.
Kết luận: K là tâm của đa giác đều B₁B₂...Bₙ.
Phần 2: Chứng minh HK ⊥ (A₁A₂...Aₙ) và HK ⊥ (B₁B₂...Bₙ)
Vì SH ⊥ (A₁A₂...Aₙ) và K ∈ SH:
⟹ HK ⊥ (A₁A₂...Aₙ)
Vì (B₁B₂...Bₙ) // (A₁A₂...Aₙ) và HK ⊥ (A₁A₂...Aₙ):
⟹ HK ⊥ (B₁B₂...Bₙ)
Hoàn tất chứng minh.
Câu hỏi trong khung (trang 52)
Đề bài: Hình chóp cụt đều có các cạnh bên bằng nhau hay không?
Lời giải:
Trả lời: KHÔNG, các cạnh bên của hình chóp cụt đều nói chung không bằng nhau.
Giải thích:
Xét hình chóp cụt đều A₁A₂...Aₙ.B₁B₂...Bₙ:
- Các cạnh bên là: A₁B₁, A₂B₂, ..., AₙBₙ
Tuy nhiên, do tính chất đối xứng của hình chóp cụt đều:
- A₁B₁ = A₂B₂ = ... = AₙBₙ
Vậy các cạnh bên của hình chóp cụt đều BẰNG NHAU.
💡 Ghi chú: Cạnh bên của hình chóp cụt đều là các đoạn AᵢBᵢ nối đỉnh tương ứng của hai đáy, và chúng bằng nhau do tính đối xứng.
🎯 Ghi nhớ: - Hình chóp đều ⟺ Đáy đa giác đều + Các cạnh bên bằng nhau ⟺ Hình chiếu đỉnh là tâm đáy - Khi cắt hình chóp đều bằng mặt phẳng song song với đáy, ta được hình chóp đều nhỏ hơn - Hình chóp cụt đều có hai đáy là đa giác đều đồng dạng, các cạnh bên bằng nhau - Góc nhị diện cần dựng đúng góc phẳng đặc trưng (vuông góc với cạnh chung từ cả hai mặt phẳng)