Giải Toán tập 2 trang 50

Tóm tắt lý thuyết

Phần đầu trang 49 nói tiếp về kinh độ, vĩ độ trên Trái Đất (góc nhị diện chứa kinh tuyến gốc và kinh tuyến qua P). Bia chủ quyền đảo Song Tử Tây có vị trí $11°25'55''N$, $114°8'00''E$.

Mục 5 giới thiệu các hình lăng trụ đặc biệt:

HĐ – Mặt bên của lăng trụ đứng

Đề: Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Lời giải:

• Mỗi mặt bên là hình bình hành (vì là lăng trụ), lại có cạnh bên vuông góc với đáy nên các cạnh bên vuông góc với cạnh đáy. Do đó mặt bên là hình chữ nhật.
• Mặt bên chứa cạnh bên, mà cạnh bên vuông góc với mặt đáy, nên mặt bên vuông góc với mặt đáy.

Đáp án: Các mặt bên là hình chữ nhật và đều vuông góc với mặt đáy.

HĐ – Mặt bên của lăng trụ đều

Đề: Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Lời giải:

• Lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên là hình chữ nhật, có chung chiều cao (cạnh bên).
• Đáy là đa giác đều nên các cạnh đáy bằng nhau. Vậy các hình chữ nhật mặt bên có cùng chiều rộng (cạnh đáy) và cùng chiều cao.

Đáp án: Đúng, các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

HĐ – Mặt là hình chữ nhật của hình hộp đứng

Đề: Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Lời giải:

• Hai mặt đáy là hình bình hành (không nhất thiết là hình chữ nhật).
• 4 mặt bên đều là hình chữ nhật (vì là lăng trụ đứng).

Đáp án: Có ít nhất 4 mặt là hình chữ nhật (4 mặt bên).

HĐ9 – Hình hộp chữ nhật

Đề:
a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?
b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vì sao?

Lời giải:

a) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật:

• 4 mặt bên là hình chữ nhật (do là lăng trụ đứng).
• 2 mặt đáy cũng là hình chữ nhật (theo định nghĩa).

Đáp án: Cả 6 mặt đều là hình chữ nhật.

b) Gọi các kích thước là $a, b, c$. Mỗi đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$$
Vì 4 đường chéo đều tính bằng công thức này nên chúng bằng nhau. Hơn nữa hình hộp chữ nhật có tâm đối xứng (giao của các đường chéo), nên các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Đáp án: Các đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Ví dụ 5: Chứng minh $AA'C'C$ là hình chữ nhật

Đề: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng $AA'C'C$ là một hình chữ nhật.

Lời giải:

• Ta có $AA' = CC'$ và $AA' \parallel CC'$ (vì $AA', CC'$ cùng bằng và cùng song song với $DD'$). Do đó tứ giác $ACC'A'$ là hình bình hành.
• Mặt khác $AA' \perp (A'B'C'D')$ nên $AA' \perp A'C'$, tức là hình bình hành có một góc vuông.

Đáp án: Vậy $AA'C'C$ là một hình chữ nhật.

HĐ10 – Mặt của hình lập phương

Đề: Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Lời giải:

• Hình lập phương là hình hộp chữ nhật nên mọi mặt đều là hình chữ nhật.
• Lại có tất cả các cạnh bằng nhau, nên mỗi hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, tức là hình vuông.

Đáp án: Các mặt của hình lập phương là các hình vuông bằng nhau.

Ví dụ 6: Chứng minh $A'BD$ là tam giác đều

Đề: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng $A'BD$ là tam giác đều.

Lời giải: Gọi $a$ là độ dài cạnh hình lập phương. Vì các mặt là hình vuông, áp dụng định lí Pythagore cho từng mặt:

$$A'D = \sqrt{AA'^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2};$$

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2};$$

$$A'B = \sqrt{AA'^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}.$$

Tam giác $A'BD$ có ba cạnh bằng nhau ($= a\sqrt{2}$) nên là tam giác đều.

Vận dụng 2: Chiếc thùng không nắp của bác Hùng

Đề: Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ 4 hình vuông có cùng kích thước rồi hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

• Sau khi cắt 4 hình vuông cạnh $h$ bằng nhau ở 4 góc, phần đáy còn lại là một hình chữ nhật (kích thước đáy bằng kích thước tấm tôn trừ đi $2h$ ở mỗi chiều).
• Gập 4 mép xung quanh lên: vì các hình vuông cắt bỏ có cùng cạnh $h$ nên 4 mép gập lên có cùng chiều cao $h$ và cùng vuông góc với đáy.
• Các mặt bên là các hình chữ nhật, vuông góc với mặt đáy hình chữ nhật, các cạnh bên (chiều cao $h$) song song và bằng nhau.

Đáp án: Đáy là hình chữ nhật, các mặt bên là hình chữ nhật vuông góc với đáy và cao bằng nhau, nên thùng có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp vì phần trên để mở).

Em nắm chắc bảng định nghĩa 5 hình ở phần tóm tắt là sẽ trả lời được hầu hết câu hỏi trong bài này. Cần cô giải thêm ví dụ nào kỹ hơn thì nói cô nhé.