Giải Toán tập 2 trang 56
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 56–57
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và một điểm thuộc (P)
- Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a, ký hiệu d(a, (P)), là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên a đến (P)
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), ký hiệu d((P), (Q)), là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n, ký hiệu d(m, n), là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.
Câu a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B')
Cách 1 — Phương pháp hình chiếu vuông góc
Phân tích:
- Lăng trụ đứng nên các cạnh bên AA', BB', CC' vuông góc với mặt đáy (ABC)
- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC và AB = AC = a
Lời giải:
Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên mặt phẳng (BCC'B') vuông góc với mặt đáy (ABC).
Trong mặt phẳng (ABC), kẻ AH ⊥ BC tại H.
Do (BCC'B') ⊥ (ABC) và AH ⊥ BC (là giao tuyến của hai mặt phẳng), nên AH ⊥ (BCC'B').
Vậy khoảng cách từ A đến (BCC'B') chính là AH.
Tính AH:
Tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = a, nên:
- BC = √(AB² + AC²) = √(a² + a²) = a√2
Diện tích tam giác ABC:
- S = (1/2) × AB × AC = (1/2) × a × a = a²/2
Mặt khác: S = (1/2) × BC × AH
Suy ra: a²/2 = (1/2) × a√2 × AH
Do đó: AH = a²/(a√2) = a/√2 = a√2/2
Kết luận: d(A, (BCC'B')) = a√2/2
Cách 2 — Dùng công thức diện tích trực tiếp
Trong tam giác vuông cân ABC tại A:
- Đường cao từ đỉnh vuông xuống cạnh huyền = (tích hai cạnh góc vuông)/(cạnh huyền)
- AH = (AB × AC)/BC = (a × a)/(a√2) = a/√2 = a√2/2
Câu b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'
Cách 1 — Phương pháp tính độ dài các cạnh
Xác định dạng tam giác ABC':
Tính các cạnh của tam giác ABC':
- AB = a (đã cho)
- AC': Do lăng trụ đứng nên CC' ⊥ (ABC), suy ra CC' ⊥ AC.
Tam giác ACC' vuông tại C với AC = a, CC' = h:
AC' = √(AC² + CC'²) = √(a² + h²)
- BC': Tương tự, BB' ⊥ BC.
Trong tam giác BCC' vuông tại C với BC = a√2, CC' = h:
BC' = √(BC² + CC'²) = √(2a² + h²)
Kiểm tra tam giác ABC':
Ta có: AB² + AC'² = a² + (a² + h²) = 2a² + h² = BC'²
Vậy tam giác ABC' vuông tại A.
Tính khoảng cách từ A đến BC':
Trong tam giác ABC' vuông tại A, khoảng cách từ A đến BC' là đường cao AK kẻ từ A xuống cạnh huyền BC'.
Diện tích tam giác ABC':
- S = (1/2) × AB × AC' = (1/2) × a × √(a² + h²)
Mặt khác: S = (1/2) × BC' × AK = (1/2) × √(2a² + h²) × AK
Suy ra:
AK = (AB × AC')/BC' = (a × √(a² + h²))/√(2a² + h²)
Kết luận: - Tam giác ABC' vuông tại A - d(A, BC') = a√(a² + h²)/√(2a² + h²)
Cách 2 — Rút gọn kết quả
Ta có thể viết gọn:
d(A, BC') = a√((a² + h²)/(2a² + h²))
💡 Mẹo nhớ: Trong tam giác vuông, đường cao từ đỉnh góc vuông = (tích hai cạnh góc vuông)/(cạnh huyền)
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M, N bất kỳ thuộc a và gọi A, B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).
Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).
Cách 1 — Chứng minh trực tiếp
Lời giải:
Bước 1: Chứng minh MA // NB và MA = NB
- M, N ∈ a và a // (P)
- MA ⊥ (P) tại A (vì A là hình chiếu của M trên (P))
- NB ⊥ (P) tại B (vì B là hình chiếu của N trên (P))
Do MA và NB cùng vuông góc với (P) nên MA // NB.
Gọi độ dài MA = d₁ và NB = d₂ là khoảng cách từ M và N đến (P).
Bước 2: Chứng minh ABNM là hình chữ nhật
- MN // AB (vì a // (P) và A, B ∈ (P), nên đường thẳng qua A, B song song với a)
- MA // NB (đã chứng minh)
- Góc MAB = 90° (vì MA ⊥ (P))
Tứ giác ABNM có:
- Hai cặp cạnh đối song song (MN // AB, MA // NB) → là hình bình hành
- Có một góc vuông (góc MAB = 90°)
Vậy ABNM là hình chữ nhật.
Bước 3: Chứng minh M, N có cùng khoảng cách đến (P)
Vì ABNM là hình chữ nhật nên MA = NB.
Mà MA và NB chính là khoảng cách từ M và N đến (P).
Kết luận: ABNM là hình chữ nhật và d(M, (P)) = d(N, (P))
Cách 2 — Dùng tính chất đường thẳng song song mặt phẳng
Khi a // (P), mọi điểm trên a cách (P) một khoảng bằng nhau (tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng).
Do đó MA = NB, kết hợp với MA // NB và MA, NB cùng vuông góc với (P), ta có ABNM là hình chữ nhật.
⚠️ Lưu ý thi: Đây là cơ sở để định nghĩa khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song.
HĐ3 (Hoạt động 3)
Đề bài:
a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.
Câu a)
Cách 1 — Lập luận hình học
Lời giải:
Khi m // n, hai đường thẳng này nằm trong một mặt phẳng (hoặc không gian) và luôn cách đều nhau.
Với mọi điểm M ∈ m, khoảng cách từ M đến n là độ dài đoạn vuông góc từ M đến n.
Vì m // n nên khoảng cách này không thay đổi khi M di chuyển trên m.
Kết luận: Khoảng cách từ M đến đường thẳng n không thay đổi khi M thay đổi trên m.
Cách 2 — Giải thích bằng tính chất
Hai đường thẳng song song có khoảng cách không đổi. Đây chính là định nghĩa của khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d(m, n).
Câu b)
Cách 1 — Lập luận từ định nghĩa
Lời giải:
Khi (P) // (Q), với mọi điểm M ∈ (P), khoảng cách từ M đến (Q) là độ dài đoạn vuông góc từ M đến (Q).
Vì hai mặt phẳng song song luôn cách đều nhau, nên khoảng cách từ M đến (Q) không thay đổi dù M ở vị trí nào trên (P).
Kết luận: Khoảng cách từ M đến (Q) không đổi khi M thay đổi trên (P).
Cách 2 — Chứng minh chi tiết
Lấy hai điểm M₁, M₂ bất kỳ trên (P).
Gọi N₁, N₂ là hình chiếu của M₁, M₂ trên (Q).
Tương tự HĐ2, tứ giác M₁M₂N₂N₁ là hình chữ nhật (vì M₁N₁ // M₂N₂ và cùng vuông góc với (Q)).
Do đó M₁N₁ = M₂N₂, tức d(M₁, (Q)) = d(M₂, (Q)).
💡 Mẹo nhớ: Khoảng cách giữa hai đối tượng song song (đường thẳng-đường thẳng, đường thẳng-mặt phẳng, mặt phẳng-mặt phẳng) luôn không đổi.
Câu hỏi (ký hiệu 🔍 trong sách)
Đề bài: Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với (P) thì giữa d(a, (Q)) và d((P), (Q)) có mối quan hệ gì?
Cách 1 — Lập luận logic
Lời giải:
Vì a ⊂ (P) và (P) // (Q), nên a // (Q).
Khoảng cách d(a, (Q)) = khoảng cách từ một điểm bất kỳ M ∈ a đến (Q).
Mà M ∈ a ⊂ (P), nên d(M, (Q)) = d((P), (Q)).
Kết luận: d(a, (Q)) = d((P), (Q))
Cách 2 — Giải thích ngắn gọn
Mọi điểm trên a đều thuộc (P), nên khoảng cách từ điểm đó đến (Q) chính bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
⚠️ Lưu ý thi: Đây là tính chất quan trọng: khi a ⊂ (P) và (P) // (Q), thì d(a, (Q)) = d((P), (Q)).
Luyện tập 2
Đề bài: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC (H.7.81).
a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)).
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB = a. Tính d(A, (SBC)).
Câu a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC))
Cách 1 — Sử dụng tính chất đường trung bình
Lời giải:
Chứng minh (MNP) // (ABC):
- M là trung điểm SA, N là trung điểm SB → MN là đường trung bình tam giác SAB → MN // AB
- M là trung điểm SA, P là trung điểm SC → MP là đường trung bình tam giác SAC → MP // AC
Do MN // AB và MP // AC, mà AB, AC ⊂ (ABC), nên (MNP) // (ABC).
Tính d((MNP), (ABC)):
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lấy điểm M ∈ (MNP). Kẻ MH ⊥ (ABC).
Vì SA ⊥ (ABC) và M là trung điểm SA, nên hình chiếu của M trên (ABC) là trung điểm của SA kẻ xuống (ABC), tức là điểm A' sao cho MA' ⊥ (ABC).
Do M nằm trên SA và SA ⊥ (ABC), nên MH chính là đoạn từ M vuông góc xuống (ABC), với H trùng A.
Vậy d(M, (ABC)) = MA = SA/2 = h/2.
Kết luận: d((MNP), (ABC)) = h/2
Tính d(NP, (ABC)):
- N là trung điểm SB, P là trung điểm SC → NP là đường trung bình tam giác SBC → NP // BC
- BC ⊂ (ABC), nên NP // (ABC)
Khoảng cách từ NP đến (ABC) bằng khoảng cách từ một điểm trên NP đến (ABC).
Lấy điểm N. Kẻ từ N vuông góc xuống (ABC).
Trong tam giác SAB, gọi H là trung điểm AB. Vì SA ⊥ (ABC), ta có:
- Hình chiếu của S trên (ABC) là A
- Hình chiếu của N (trung điểm SB) trên (ABC) là trung điểm của AB (theo tính chất hình chiếu)
Thực ra, ta tính trực tiếp: kẻ từ N đường vuông góc với (ABC).
Vì NP ⊂ (MNP) và (MNP) // (ABC), nên d(NP, (ABC)) = d((MNP), (ABC)) = h/2
Kết luận: d(NP, (ABC)) = h/2
Cách 2 — Phương pháp tọa độ (kiểm tra)
Đặt hệ tọa độ với A là gốc, (ABC) là mặt phẳng Oxy, SA theo trục Oz.
- A(0, 0, 0), S(0, 0, h)
- M(0, 0, h/2) là trung điểm SA
Khoảng cách từ M đến (ABC) (mặt phẳng z = 0) chính là tọa độ z của M = h/2. ✓
Câu b) Tính d(A, (SBC)) với ABC vuông tại B, AB = a
Cách 1 — Phương pháp thể tích
Lời giải:
Bước 1: Xác định quan hệ vuông góc
- SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ BC
- ABC vuông tại B → AB ⊥ BC
Do đó BC ⊥ SA và BC ⊥ AB, mà SA ∩ AB = A, nên BC ⊥ (SAB).
Bước 2: Tìm khoảng cách từ A đến (SBC)
Trong mặt phẳng (SAB), kẻ AH ⊥ SB tại H.
Vì BC ⊥ (SAB), nên BC ⊥ AH.
Mà AH ⊥ SB (theo cách dựng), nên AH ⊥ (SBC).
Vậy d(A, (SBC)) = AH.
Bước 3: Tính AH
Trong tam giác SAB vuông tại A (vì SA ⊥ AB):
- SA = h
- AB = a
- SB = √(SA² + AB²) = √(h² + a²)
Đường cao AH trong tam giác vuông SAB:
AH = (SA × AB)/SB = (h × a)/√(h² + a²) = ah/√(a² + h²)
Kết luận: d(A, (SBC)) = ah/√(a² + h²) = ah√(a² + h²)/(a² + h²)
Cách 2 — Dùng công thức diện tích
Diện tích tam giác SAB = (1/2) × SA × AB = (1/2) × h × a = ah/2
Cũng có: S = (1/2) × SB × AH = (1/2) × √(a² + h²) × AH
Suy ra: AH = ah/√(a² + h²)
💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, nhập trực tiếp biểu thức a×h/√(a²+h²) để tính khi có giá trị cụ thể.
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài "tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng" thường dùng phương pháp: 1. Tìm đường vuông góc với mặt phẳng đi qua điểm đó 2. Hoặc dùng công thức thể tích: V = (1/3) × S × h
🎯 Ghi nhớ
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng = độ dài đường vuông góc từ điểm đó đến mặt phẳng
- Khoảng cách giữa hai đối tượng song song (đường thẳng // đường thẳng, đường thẳng // mặt phẳng, mặt phẳng // mặt phẳng) = khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đối tượng này đến đối tượng kia
- Phương pháp tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P):
- Cách 1: Tìm hình chiếu H của A trên (P), tính AH
- Cách 2: Dùng thể tích (khi (P) là mặt của một khối đa diện)
- Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC): Chiều cao chính là SA
- Với lăng trụ đứng: Chiều cao là độ dài cạnh bên