Giải Toán tập 2 trang 58
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 58–59
Tóm tắt lý thuyết
Phần này giới thiệu khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Nếu Δ cắt a, b lần lượt tại M, N thì độ dài MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b. Kí hiệu $d(a,b)$.
Nhận xét quan trọng:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một trong hai đường tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa lần lượt hai đường đó.
Bài Vận dụng (trang 57): Khung khống chế chiều cao
Đề: Hai cột của khung thẳng đứng, dài 2,28 m. Đường nối hai chân cột vuông góc với hai mép dốc. Thanh ngang đặt trên đỉnh hai cột. Dốc nghiêng $15^\circ$ so với phương ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang và mặt đường. Hỏi xe cao 2,21 m có qua được không?
Lời giải:
Cột thẳng đứng có chiều dài $h = 2{,}28$ m. Mặt đường nghiêng $15^\circ$ so với phương ngang. Khoảng cách giữa thanh ngang và mặt đường là khoảng cách đo theo phương vuông góc với mặt dốc.
Vì cột thẳng đứng còn mặt đường nghiêng, góc giữa cột và phương pháp tuyến của mặt dốc cũng bằng $15^\circ$. Do đó khoảng cách cần tìm:
$$d = h \cdot \cos 15^\circ = 2{,}28 \cdot \cos 15^\circ \approx 2{,}28 \cdot 0{,}9659 \approx 2{,}20 \text{ (m)}.$$
Kết luận: Khoảng cách giữa thanh ngang và mặt đường khoảng $2{,}20$ m. Vì $2{,}20 < 2{,}21$ nên cầu này KHÔNG cho phép xe cao 2,21 m đi qua.
Bài HĐ4 (trang 57): Tìm đường vuông góc chung
Đề: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).
a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) không?
Vì a' là hình chiếu vuông góc của a trên (Q) nên mỗi điểm của a chiếu xuống (Q) đều nằm trên a'. Đặc biệt M (thuộc a) chiếu xuống đúng điểm N (thuộc a'), suy ra $MN \perp (Q)$.
Mặt phẳng chứa a và a' chứa luôn đoạn MN. Mặt phẳng này chứa một đường thẳng MN vuông góc với (Q), nên:
→ Mặt phẳng chứa a và a' VUÔNG GÓC với (Q).
b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả a và b không?
- $MN \perp (Q)$ mà $b \subset (Q)$ nên $MN \perp b$.
- $MN \perp (Q)$ mà $a' \subset (Q)$ nên $MN \perp a'$. Lại có $a \parallel a'$ nên $MN \perp a$.
→ MN vuông góc với cả a và b. Vậy MN là đường vuông góc chung của a và b.
c) Mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài MN.
Vì $a \parallel (Q)$ nên khoảng cách giữa a và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a tới (Q). Lấy điểm M trên a, hình chiếu là N, nên:
$$d(a,(Q)) = MN.$$
Đây cũng chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Bài Ví dụ 3 (trang 58): Khoảng cách giữa SA và BC
Đề: Hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$, $AB = a$, $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa SA và BC.
Lời giải (theo sách):
Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Tam giác ABH vuông tại H, có $AB = a$, $\widehat{ABH} = 60^\circ$ nên:
$$BH = AB\cos 60^\circ = \frac{a}{2}.$$
Do $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp AH$. Mà $AH \perp BC$, vậy AH là đường vuông góc chung của SA và BC.
$$AH = AB\sin 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
$$d(SA, BC) = AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Bài Khám phá (trang 58)
Đề: Cho a ⊥ (P) và cắt (P) tại O. Cho b thuộc (P). Tìm mối quan hệ giữa $d(a,b)$ và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).
Lời giải:
Trong mặt phẳng (P), kẻ $OH \perp b$ tại H. Khi đó $OH$ là khoảng cách từ O đến b.
- Vì $OH \subset (P)$ nên $OH \perp a$ (do $a \perp (P)$).
- Theo cách dựng $OH \perp b$.
Vậy OH vuông góc với cả a và b, đồng thời cắt cả hai đường, nên OH là đường vuông góc chung của a và b. Suy ra:
$$d(a,b) = OH = d(O, b).$$
Khoảng cách giữa a và b chính bằng khoảng cách từ O đến b.
Bài Luyện tập 3 (trang 58): Hình chóp S.ABCD
Đề: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA \perp (ABCD)$, $SA = a\sqrt{2}$.
a) Tính khoảng cách từ A đến SC.
b) Chứng minh $BD \perp (SAC)$.
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.
a) Khoảng cách từ A đến SC:
Đường chéo hình vuông: $AC = a\sqrt{2}$. Vì $SA \perp (ABCD)$ nên tam giác SAC vuông tại A:
$$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = 2a.$$
Kẻ $AK \perp SC$ tại K. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$$AK = \frac{SA \cdot AC}{SC} = \frac{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a.$$
Vậy $d(A, SC) = a$.
b) Chứng minh $BD \perp (SAC)$:
- ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: $BD \perp AC$.
- $SA \perp (ABCD)$ mà $BD \subset (ABCD)$ nên $SA \perp BD$.
BD vuông góc với hai đường cắt nhau AC và SA cùng nằm trong (SAC), suy ra:
$$BD \perp (SAC).$$
c) Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa BD và SC:
Gọi O là tâm hình vuông (giao của AC và BD). Vì $BD \perp (SAC)$ tại O, ta kẻ $OH \perp SC$ trong mặt phẳng (SAC) (H trên SC).
- $OH \subset (SAC)$ và $BD \perp (SAC)$ nên $OH \perp BD$.
- Theo cách dựng $OH \perp SC$.
Vậy OH là đường vuông góc chung của BD và SC.
Tính OH: O là trung điểm AC. Khoảng cách từ O đến SC bằng nửa khoảng cách từ A đến SC (vì O cách C bằng nửa AC, dùng tỉ lệ tam giác), nên:
$$OH = \frac{1}{2} d(A, SC) = \frac{a}{2}.$$
Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $S(0,0,a\sqrt2)$, $O(\tfrac a2,\tfrac a2,0)$. Khoảng cách từ O đến đường SC tính được đúng bằng $\dfrac a2$.
Kết luận:
$$d(BD, SC) = OH = \frac{a}{2}.$$
Bài Thảo luận (trang 58)
Đề: Khoảng cách giữa hai hình (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia. Hãy làm rõ nhận xét.
Gợi ý thảo luận:
Với hai đường thẳng chéo nhau a, b, lấy M thuộc a và N thuộc b bất kì. Gọi $M_0, N_0$ là chân đường vuông góc chung. Có thể chứng minh:
$$MN \ge M_0N_0,$$
dấu bằng xảy ra khi $M \equiv M_0$, $N \equiv N_0$. Như vậy độ dài đường vuông góc chung đúng là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm trên a và một điểm trên b. Lập luận tương tự cho khoảng cách điểm tới mặt phẳng, đường thẳng tới mặt phẳng song song: đoạn vuông góc luôn ngắn nhất so với mọi đoạn xiên.
Đây chính là lý do định nghĩa khoảng cách hình học gắn với đường vuông góc.