Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 6
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 6–7
🔍 Kiến thức cần nhớ
Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Họ nguyên hàm
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C (với C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C.
- Ký hiệu họ nguyên hàm: ∫f(x)dx
💡 Mẹo nhớ: "Đạo hàm đi xuống, nguyên hàm đi lên" - Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm.
⚙️ Bài tập
HĐ1. Nhận biết khái niệm nguyên hàm
Đề bài: Cho hai hàm số f(x) = x² + 1 và F(x) = (1/3)x³ + x, với x ∈ ℝ.
- a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).
- b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (áp dụng công thức đạo hàm)
a) Tính đạo hàm của hàm số F(x):
Ta có: F(x) = (1/3)x³ + x
Áp dụng công thức đạo hàm:
- (x^n)' = n·x^(n-1)
- (kx)' = k (với k là hằng số)
F'(x) = (1/3)·3·x² + 1 = x² + 1
Đáp số: F'(x) = x² + 1
b) So sánh F'(x) và f(x):
Ta có:
- F'(x) = x² + 1
- f(x) = x² + 1
Kết luận: F'(x) = f(x) với mọi x ∈ ℝ.
Điều này có nghĩa F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.
Cách 2 — Phương pháp kiểm tra trực tiếp
Để kiểm tra F(x) có phải nguyên hàm của f(x) không, ta chỉ cần tính F'(x) rồi so sánh với f(x).
F'(x) = [(1/3)x³]' + [x]' = (1/3)·3x² + 1 = x² + 1 = f(x) ✓
Kết luận: F'(x) = f(x), tức là F(x) là nguyên hàm của f(x).
⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài cơ bản nhất về nguyên hàm. Chỉ cần tính đạo hàm của F(x) và so sánh với f(x).
Luyện tập 1
Đề bài: Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + 1/x trên khoảng (0; +∞)?
- a) F(x) = (1/2)x² + ln x
- b) G(x) = (x²/2) − ln x
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (tính đạo hàm từng hàm)
Kiểm tra hàm F(x) = (1/2)x² + ln x:
F'(x) = (1/2)·2x + 1/x = x + 1/x = f(x) ✓
Kiểm tra hàm G(x) = (x²/2) − ln x:
G'(x) = (1/2)·2x − 1/x = x − 1/x ≠ f(x) ✗
Đáp số: Hàm số F(x) = (1/2)x² + ln x là nguyên hàm của f(x) = x + 1/x trên (0; +∞).
Cách 2 — Phương pháp loại trừ nhanh
Nhận xét: f(x) = x + 1/x
Nguyên hàm của x là x²/2 (vì (x²/2)' = x)
Nguyên hàm của 1/x là ln x (vì (ln x)' = 1/x)
Vậy nguyên hàm của f(x) phải có dạng: x²/2 + ln x + C
So sánh:
- F(x) = (1/2)x² + ln x → đúng dạng ✓
- G(x) = (x²/2) − ln x → sai dấu trước ln x ✗
Đáp số: F(x) là nguyên hàm của f(x).
💡 Mẹo nhớ: (ln x)' = 1/x, nên nguyên hàm của 1/x là ln x (trên khoảng x > 0).
HĐ2. Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số
Đề bài:
- a) Chứng minh rằng hàm số F(x) = x⁴/4 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ.
- b) Hàm số G(x) = x⁴/4 + C (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ không? Vì sao?
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (chứng minh bằng định nghĩa)
a) Chứng minh F(x) = x⁴/4 là nguyên hàm của f(x) = x³:
Tính đạo hàm của F(x):
F'(x) = (x⁴/4)' = (1/4)·4x³ = x³ = f(x)
Vì F'(x) = f(x) với mọi x ∈ ℝ, nên F(x) = x⁴/4 là một nguyên hàm của f(x) = x³ trên ℝ.
Điều phải chứng minh.
b) Kiểm tra G(x) = x⁴/4 + C:
Tính đạo hàm của G(x):
G'(x) = (x⁴/4 + C)' = (x⁴/4)' + (C)' = x³ + 0 = x³ = f(x)
Vì G'(x) = f(x) với mọi x ∈ ℝ, nên G(x) = x⁴/4 + C cũng là một nguyên hàm của f(x) = x³ trên ℝ.
Lý do: Đạo hàm của hằng số C bằng 0, nên việc cộng thêm hằng số C không làm thay đổi đạo hàm.
Cách 2 — Phương pháp sử dụng tính chất
a) Áp dụng công thức: Nguyên hàm của x^n là x^(n+1)/(n+1)
Với n = 3: Nguyên hàm của x³ là x⁴/4 ✓
b) Áp dụng tính chất: Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x), thì F(x) + C (C là hằng số bất kỳ) cũng là nguyên hàm của f(x).
Vì F(x) = x⁴/4 là nguyên hàm của f(x) = x³, nên G(x) = x⁴/4 + C cũng là nguyên hàm của f(x). ✓
⚠️ Lưu ý thi: Khi viết nguyên hàm, luôn phải có hằng số C. Đây là lỗi sai phổ biến nhất trong các bài thi.
🎯 Ghi nhớ: - Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm: Nếu F'(x) = f(x) thì F(x) là nguyên hàm của f(x). - Họ nguyên hàm của f(x) có dạng F(x) + C, ký hiệu ∫f(x)dx. - Công thức quan trọng: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (với n ≠ −1) và ∫(1/x)dx = ln|x| + C.