Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 8

Hai trang này thuộc bài học về Nguyên hàm trong sách Toán 12 - Tập Hai. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết toàn bộ ví dụ và bài luyện tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Phần Chú ý nhắc lại những ý quan trọng về nguyên hàm:

• Để tìm họ nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm $F(x)$, khi đó:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad (C \text{ là hằng số}).$$

• Nếu $f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ thì $f(x)$ có nguyên hàm trên khoảng đó.
• Biểu thức $f(x)\,dx$ là vi phân của nguyên hàm $F(x)$: $dF(x) = F'(x)\,dx = f(x)\,dx$.
• Tìm nguyên hàm không nói rõ $K$ thì hiểu là tìm trên tập xác định.

Hai tính chất cơ bản của nguyên hàm:

Công thức nền tảng cho lũy thừa:

$$\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \in \mathbb{N}^*).$$

---

Ví dụ 2: Nguyên hàm của $f(x) = x^2$

Đề: Tìm một nguyên hàm của $f(x) = x^2$ trên $\mathbb{R}$. Từ đó tìm $\displaystyle\int x^2\,dx$.

Lời giải (theo sách):

Vì $\left(\dfrac{x^3}{3}\right)' = \dfrac{3x^2}{3} = x^2$ nên $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Do đó:

$$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C.$$

---

Luyện tập 2: Tìm $\displaystyle\int x^3\,dx$

Áp dụng công thức $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n = 3$:

$$\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C.$$

Kiểm tra: $\left(\dfrac{x^4}{4}\right)' = \dfrac{4x^3}{4} = x^3$ ✓

---

Ví dụ 3: Nguyên hàm của tích với hằng số

Đề: Dùng kết quả Ví dụ 2, hãy tìm:

a) $\displaystyle\int 3x^2\,dx$
b) $\displaystyle\int -\frac{3}{2}x^2\,dx$

Lời giải:

a)

$$\int 3x^2\,dx = 3\int x^2\,dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + C = x^3 + C.$$

b)

$$\int -\frac{3}{2}x^2\,dx = -\frac{3}{2}\int x^2\,dx = -\frac{3}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + C = -\frac{1}{2}x^3 + C.$$

Lý do: ta đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân theo tính chất $\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$.

---

Luyện tập 3: Nguyên hàm của $f(x) = x^n$

Đề: Cho hàm số $f(x) = x^n \;(n \in \mathbb{N}^*)$.

a) Chứng minh $F(x) = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Từ đó tìm $\displaystyle\int x^n\,dx$.

b) Từ kết quả câu a, tìm $\displaystyle\int kx^n\,dx$ ($k$ là hằng số thực khác 0).

Lời giải:

a) Lấy đạo hàm của $F(x)$:
$$F'(x) = \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{(n+1)x^{n}}{n+1} = x^n = f(x).$$
Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Suy ra:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.$$

b) Áp dụng tính chất hằng số nhân:

$$\int kx^n\,dx = k\int x^n\,dx = k\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1} + C = \frac{k}{n+1}x^{n+1} + C.$$

---

Ví dụ 4: Nguyên hàm của tổng, hiệu

Đề: Dùng kết quả Luyện tập 3 và tính chất cơ bản, hãy tìm:

a) $\displaystyle\int (x^2 + x)\,dx$

b) $\displaystyle\int (4x^3 - 3x^2)\,dx$

Lời giải:

a)

$$\int (x^2 + x)\,dx = \int x^2\,dx + \int x\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C.$$

b)

$$\int (4x^3 - 3x^2)\,dx = 4\int x^3\,dx - 3\int x^2\,dx = 4\cdot\frac{x^4}{4} - 3\cdot\frac{x^3}{3} + C = x^4 - x^3 + C.$$

---

Luyện tập 4: Tìm các nguyên hàm

Đề:

a) $\displaystyle\int (3x^2 + 1)\,dx$

b) $\displaystyle\int (2x - 1)^2\,dx$

Lời giải:

a) Tách tổng rồi áp dụng từng nguyên hàm:

$$\int (3x^2 + 1)\,dx = 3\int x^2\,dx + \int 1\,dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C.$$

Kiểm tra: $(x^3 + x)' = 3x^2 + 1$ ✓

b) Trước tiên khai triển hằng đẳng thức:

$$(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1.$$
Khi đó:

$$\int (2x-1)^2\,dx = \int (4x^2 - 4x + 1)\,dx = 4\cdot\frac{x^3}{3} - 4\cdot\frac{x^2}{2} + x + C = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C.$$

Lưu ý: phải khai triển trước, không được lấy nguyên hàm trực tiếp của $(2x-1)^2$ theo kiểu lũy thừa vì biến cơ sở là $2x - 1$ chứ không phải $x$ (ở chương này ta chưa học đổi biến).

---

Ví dụ 5: Bài toán quãng đường máy bay

Đề: Giải bài toán trong tình huống mở đầu (vận tốc $v(t) = 5 + 3t$, với $0 \le t \le 30$ giây).

Lời giải:

Gọi $S(t)$ là quãng đường máy bay đi được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Vì $v(t) = S'(t)$ nên $S(t)$ là một nguyên hàm của vận tốc $v(t)$:

$$S(t) = \int v(t)\,dt = \int (5 + 3t)\,dt = 5\int dt + 3\int t\,dt = 5t + \frac{3}{2}t^2 + C.$$

Theo giả thiết, lúc đầu chưa di chuyển nên $S(0) = 0 \Rightarrow C = 0$. Vậy:

$$S(t) = \frac{3}{2}t^2 + 5t \quad (\text{m}).$$

Máy bay rời đường băng khi $t = 30$ giây:

$$S(30) = \frac{3}{2}\cdot 30^2 + 5\cdot 30 = \frac{3}{2}\cdot 900 + 150 = 1350 + 150 = 1500 \;(\text{m}).$$

Vậy quãng đường máy bay di chuyển từ lúc bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là $S = 1\,500$ m.

---

Tóm lại, hai trang này luyện cho em ba kỹ năng cốt lõi: dùng công thức $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$, đưa hằng số ra ngoài dấu nguyên hàm, và tách nguyên hàm của tổng/hiệu. Mẹo quan trọng nhất ở câu khó (Luyện tập 4b) là phải khai triển biểu thức trước khi lấy nguyên hàm.