Giải Toán 7 - Tập 2 trang 111

SỐ VÀ ĐẠI SỐ

---

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

---

Câu 1a

Đề bài: Tính √25 + (2² × 3)² × (-1/4)² + 2020⁰ + |-1/4|

Cách 1 — Tính từng phần rồi cộng lại

Bước 1: Tính √25

• √25 = 5

Bước 2: Tính (2² × 3)²

• 2² = 4
• 2² × 3 = 4 × 3 = 12
• (2² × 3)² = 12² = 144

Bước 3: Tính (-1/4)²

• (-1/4)² = 1/16

Bước 4: Tính (2² × 3)² × (-1/4)²

• 144 × 1/16 = 144/16 = 9

Bước 5: Tính 2020⁰

• Mọi số khác 0 mũ 0 đều bằng 1
• 2020⁰ = 1

Bước 6: Tính |-1/4|

• Giá trị tuyệt đối của -1/4 là 1/4
• |-1/4| = 1/4

Bước 7: Cộng tất cả lại

• 5 + 9 + 1 + 1/4 = 15 + 1/4 = 61/4

Đáp án: √25 + (2² × 3)² × (-1/4)² + 2020⁰ + |-1/4| = 61/4 (hoặc 15,25)

Cách 2 — Viết gọn hơn

• √25 + 12² × 1/16 + 1 + 1/4
• = 5 + 144/16 + 1 + 1/4
• = 5 + 9 + 1 + 0,25
• = 15,25 = 61/4

💡 Mẹo nhớ: Số mũ 0 luôn bằng 1 (trừ 0⁰). Giá trị tuyệt đối luôn dương!

---

Câu 1b

Đề bài: Tính [3² – 0,25 × (7,5 – 5,1)] ÷ [–6,2 + 2 × (0,5 + 1,6)]

Cách 1 — Tính tử số và mẫu số riêng

Bước 1: Tính tử số: 3² – 0,25 × (7,5 – 5,1)

• 3² = 9
• 7,5 – 5,1 = 2,4
• 0,25 × 2,4 = 0,6
• Tử số = 9 – 0,6 = 8,4

Bước 2: Tính mẫu số: –6,2 + 2 × (0,5 + 1,6)

• 0,5 + 1,6 = 2,1
• 2 × 2,1 = 4,2
• Mẫu số = –6,2 + 4,2 = –2

Bước 3: Chia tử cho mẫu

• 8,4 ÷ (–2) = –4,2

Đáp án: [3² – 0,25 × (7,5 – 5,1)] ÷ [–6,2 + 2 × (0,5 + 1,6)] = –4,2 (hoặc –21/5)

Cách 2 — Đổi về phân số

• Tử = 9 – 1/4 × 12/5 = 9 – 3/5 = 42/5
• Mẫu = –31/5 + 2 × 21/10 = –31/5 + 21/5 = –10/5 = –2
• Kết quả = (42/5) ÷ (–2) = –42/10 = –21/5

💡 Mẹo bấm máy: Nhập trực tiếp biểu thức: ( 3 x² - 0.25 × ( 7.5 - 5.1 ) ) ÷ ( (-) 6.2 + 2 × ( 0.5 + 1.6 ) ) =

---

Bài 2: Tính một cách hợp lí

---

Câu 2a

Đề bài: 5/11 – 10/19 + 1,5 + 17/11 – 9/19

Cách 1 — Nhóm các phân số cùng mẫu

Bước 1: Nhóm các phân số có mẫu 11

• 5/11 + 17/11 = (5 + 17)/11 = 22/11 = 2

Bước 2: Nhóm các phân số có mẫu 19

• –10/19 – 9/19 = (–10 – 9)/19 = –19/19 = –1

Bước 3: Cộng tất cả

• 2 + (–1) + 1,5 = 2 – 1 + 1,5 = 2,5

Đáp án: 5/11 – 10/19 + 1,5 + 17/11 – 9/19 = 2,5 (hoặc 5/2)

Cách 2 — Sắp xếp lại rồi tính

• = (5/11 + 17/11) + (–10/19 – 9/19) + 3/2
• = 22/11 + (–19/19) + 3/2
• = 2 – 1 + 1,5
• = 2,5

💡 Mẹo nhớ: Khi tính hợp lí, hãy nhóm các phân số cùng mẫu số lại với nhau!

---

Câu 2b

Đề bài: 2(3/5) × (–2/3) – 2(1/3) × (–2/3) + (2/3)²

Chú ý: 2(3/5) là hỗn số, đọc là "hai ba phần năm" = 2 + 3/5 = 13/5

Cách 1 — Đặt nhân tử chung

Bước 1: Nhận xét

• Hai số hạng đầu đều có nhân tử (–2/3)
• Đặt (–2/3) làm nhân tử chung

Bước 2: Đặt nhân tử chung

• 2(3/5) × (–2/3) – 2(1/3) × (–2/3) = (–2/3) × [2(3/5) – 2(1/3)]

Bước 3: Tính trong ngoặc vuông

• 2(3/5) – 2(1/3) = 13/5 – 7/3
• Quy đồng: 39/15 – 35/15 = 4/15

Bước 4: Tính tích

• (–2/3) × 4/15 = –8/45

Bước 5: Tính (2/3)²

• (2/3)² = 4/9

Bước 6: Cộng kết quả

• –8/45 + 4/9 = –8/45 + 20/45 = 12/45 = 4/15

Đáp án: 2(3/5) × (–2/3) – 2(1/3) × (–2/3) + (2/3)² = 4/15

Cách 2 — Tính trực tiếp từng phần

• 13/5 × (–2/3) = –26/15
• 7/3 × (–2/3) = –14/9
• –26/15 – (–14/9) + 4/9 = –26/15 + 14/9 + 4/9
• = –26/15 + 18/9 = –26/15 + 2 = –26/15 + 30/15 = 4/15

---

Bài 3: Tìm x

---

Câu 3a

Đề bài: Tìm x, biết (2/5)x + 3/2 = 3/5 – (–1/4)

Cách 1 — Giải phương trình bậc nhất

Bước 1: Rút gọn vế phải

• 3/5 – (–1/4) = 3/5 + 1/4
• Quy đồng mẫu 20: 12/20 + 5/20 = 17/20

Bước 2: Viết lại phương trình

• (2/5)x + 3/2 = 17/20

Bước 3: Chuyển 3/2 sang vế phải

• (2/5)x = 17/20 – 3/2
• Quy đồng: (2/5)x = 17/20 – 30/20 = –13/20

Bước 4: Tìm x

• x = (–13/20) ÷ (2/5)
• x = (–13/20) × (5/2)
• x = –65/40 = –13/8

Đáp án: x = –13/8 (hoặc –1,625)

Cách 2 — Kiểm tra lại

Thay x = –13/8 vào vế trái:

• (2/5) × (–13/8) + 3/2 = –26/40 + 3/2 = –13/20 + 30/20 = 17/20 ✓

💡 Mẹo bấm máy: Bấm MODE → 5 (EQN) → 1 → nhập hệ số: a = 2/5, b = 3/2 – 17/20

---

Câu 3b

Đề bài: Có hay không số x thỏa mãn điều kiện: |x| + 1/5 = –(1/2 – 1/3)?

Cách giải

Bước 1: Tính vế phải

• 1/2 – 1/3 = 3/6 – 2/6 = 1/6
• –(1/2 – 1/3) = –1/6

Bước 2: Viết lại phương trình

• |x| + 1/5 = –1/6

Bước 3: Tìm |x|

• |x| = –1/6 – 1/5
• Quy đồng mẫu 30: |x| = –5/30 – 6/30 = –11/30

Bước 4: Nhận xét

• Giá trị tuyệt đối |x| luôn ≥ 0 (không âm)
• Mà –11/30 < 0

Bước 5: Kết luận

• Không tồn tại số x thỏa mãn điều kiện đã cho

Đáp án: Không có số x thỏa mãn điều kiện, vì |x| ≥ 0 nhưng vế phải bằng –11/30 < 0.

💡 Mẹo nhớ: Giá trị tuyệt đối luôn không âm! Nếu |x| = số âm → vô nghiệm.

---

Câu 3c

Đề bài: Ước tính (không tra bảng hay dùng máy tính) số dương x (lấy đến 1 chữ số sau dấu phẩy) sao cho x² = 13. Sau đó dùng máy tính để kiểm tra.

Cách giải

Bước 1: Ước tính

• Ta có: 3² = 9 và 4² = 16
• Vì 9 < 13 < 16 nên 3 < x < 4
• 3,5² = 12,25 (gần 13)
• 3,6² = 12,96 (rất gần 13)
• 3,7² = 13,69 (lớn hơn 13)

Bước 2: Kết luận ước tính

• x ≈ 3,6

Bước 3: Kiểm tra bằng máy tính

• √13 ≈ 3,605551...
• Làm tròn đến 1 chữ số: x ≈ 3,6

Bước 4: Tính sai số

• Giá trị ước tính: 3,6
• Giá trị chính xác: 3,605551...
• Sai số = |3,6 – 3,605551| ≈ 0,005551
• Sai số rất nhỏ!

Đáp án: x ≈ 3,6. Sai số so với kết quả máy tính khoảng 0,006 (rất nhỏ).

💡 Mẹo bấm máy: Bấm √ 13 = để được kết quả chính xác.

---

Bài 4

Đề bài: Hai người thợ cùng làm tổng cộng được 136 sản phẩm (thời gian làm như nhau). Hỏi mỗi người thợ làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người thợ thứ nhất làm một sản phẩm mất 9 phút, còn người thứ hai làm một sản phẩm mất 8 phút?

Cách 1 — Dùng tỉ lệ nghịch

Bước 1: Phân tích bài toán

• Thời gian làm việc như nhau
• Thời gian làm 1 sản phẩm: Người 1 = 9 phút, Người 2 = 8 phút
• Số sản phẩm tỉ lệ nghịch với thời gian làm 1 sản phẩm

Bước 2: Lập tỉ lệ

• Gọi số sản phẩm người 1 và người 2 lần lượt là a và b
• a/b = 8/9 (tỉ lệ nghịch với thời gian)

Bước 3: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

• a/8 = b/9 = (a + b)/(8 + 9) = 136/17 = 8

Bước 4: Tìm a và b

• a = 8 × 8 = 64
• b = 8 × 9 = 72

Bước 5: Kiểm tra

• 64 + 72 = 136 ✓

Đáp án: Người thợ thứ nhất làm được 64 sản phẩm, người thợ thứ hai làm được 72 sản phẩm.

Cách 2 — Tính theo thời gian

Bước 1: Gọi thời gian làm việc chung là t phút

Bước 2: Số sản phẩm mỗi người

• Người 1: t/9 sản phẩm
• Người 2: t/8 sản phẩm

Bước 3: Lập phương trình

• t/9 + t/8 = 136
• (8t + 9t)/72 = 136
• 17t = 136 × 72
• t = 576 phút

Bước 4: Tính số sản phẩm

• Người 1: 576/9 = 64 sản phẩm
• Người 2: 576/8 = 72 sản phẩm

💡 Mẹo nhớ: Cùng thời gian, năng suất cao hơn → làm được nhiều hơn!

---

Bài 5

Đề bài: Ba khối 6, 7, 8 của một trường THCS tham gia quyên góp vở tặng các bạn vùng khó khăn. Biết rằng số vở quyên góp được của ba khối theo thứ tự tỉ lệ thuận với 8, 7, 6 và số vở khối 8 quyên góp được ít hơn số vở khối 6 quyên góp được là 80 quyển. Hỏi mỗi khối quyên góp được bao nhiêu quyển vở?

Cách 1 — Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Bước 1: Gọi số vở của khối 6, 7, 8 lần lượt là a, b, c

Bước 2: Lập tỉ lệ

• a/8 = b/7 = c/6 (tỉ lệ thuận với 8, 7, 6)

Bước 3: Theo đề bài

• Khối 8 ít hơn khối 6 là 80 quyển
• a – c = 80

Bước 4: Áp dụng tính chất

• a/8 = c/6 = (a – c)/(8 – 6) = 80/2 = 40

Bước 5: Tìm số vở mỗi khối

• a = 40 × 8 = 320 (khối 6)
• b = 40 × 7 = 280 (khối 7)
• c = 40 × 6 = 240 (khối 8)

Bước 6: Kiểm tra

• 320 – 240 = 80 ✓

Đáp án: - Khối 6 quyên góp được 320 quyển vở - Khối 7 quyên góp được 280 quyển vở - Khối 8 quyên góp được 240 quyển vở

Cách 2 — Đặt ẩn phụ

• Gọi k là hệ số tỉ lệ
• Số vở: Khối 6 = 8k, Khối 7 = 7k, Khối 8 = 6k
• Theo đề: 8k – 6k = 80 → 2k = 80 → k = 40
• Kết quả: 320, 280, 240 quyển

---

Bài 6

Đề bài: Cho hai đa thức A = 6x³ – 4x² – 12x – 7 và B = 2x² – 7

---

Câu 6a

Đề bài: Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong mỗi đa thức đã cho.

Cách giải

Đa thức A = 6x³ – 4x² – 12x – 7:

• Bậc của đa thức: 3 (số mũ cao nhất của x)
• Hệ số cao nhất: 6 (hệ số của x³)
• Hệ số tự do: –7 (số hạng không chứa x)

Đa thức B = 2x² – 7:

• Bậc của đa thức: 2
• Hệ số cao nhất: 2 (hệ số của x²)
• Hệ số tự do: –7

Đáp án: - Đa thức A: Hệ số cao nhất = 6, hệ số tự do = –7 - Đa thức B: Hệ số cao nhất = 2, hệ số tự do = –7

---

Câu 6b

Đề bài: Tính giá trị của đa thức A + B tại x = –2.

Cách 1 — Tính A + B trước, rồi thay x

Bước 1: Tính A + B

• A + B = (6x³ – 4x² – 12x – 7) + (2x² – 7)
• A + B = 6x³ – 4x² + 2x² – 12x – 7 – 7
• A + B = 6x³ – 2x² – 12x – 14

Bước 2: Thay x = –2

• A + B = 6×(–2)³ – 2×(–2)² – 12×(–2) – 14
• = 6×(–8) – 2×4 – (–24) – 14
• = –48 – 8 + 24 – 14
• = –46

Đáp án: Giá trị của A + B tại x = –2 là –46

Cách 2 — Tính A và B riêng, rồi cộng

• A(–2) = 6×(–8) – 4×4 – 12×(–2) – 7 = –48 – 16 + 24 – 7 = –47
• B(–2) = 2×4 – 7 = 8 – 7 = 1
• A + B = –47 + 1 = –46

💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng CALC: Nhập biểu thức → bấm CALC → nhập x = –2

---

Câu 6c

Đề bài: Chứng minh rằng x = 0, x = –1 và x = 2 là ba nghiệm của đa thức A – B.

Cách giải

Bước 1: Tính A – B

• A – B = (6x³ – 4x² – 12x – 7) – (2x² – 7)
• A – B = 6x³ – 4x² – 12x – 7 – 2x² + 7
• A – B = 6x³ – 6x² – 12x

Bước 2: Rút gọn

• A – B = 6x(x² – x – 2)
• A – B = 6x(x – 2)(x + 1)

Bước 3: Kiểm tra từng nghiệm

Với x = 0:

• A – B = 6×0×(0 – 2)×(0 + 1) = 0 ✓

Với x = –1:

• A – B = 6×(–1)×(–1 – 2)×(–1 + 1) = 6×(–1)×(–3)×0 = 0 ✓

Với x = 2:

• A – B = 6×2×(2 – 2)×(2 + 1) = 6×2×0×3 = 0 ✓

Đáp án: Vì A – B = 6x(x – 2)(x + 1), nên x = 0, x = –1, x = 2 đều làm cho A – B = 0. Vậy chúng là ba nghiệm của đa thức A – B.

---

Câu 6d

Đề bài: Thực hiện phép nhân A × B bằng hai cách.

Cách 1 — Nhân trực tiếp (phân phối)

Bước 1: Viết phép nhân

• A × B = (6x³ – 4x² – 12x – 7) × (2x² – 7)

Bước 2: Nhân từng số hạng của A với 2x²

• 6x³ × 2x² = 12x⁵
• (–4x²) × 2x² = –8x⁴
• (–12x) × 2x² = –24x³
• (–7) × 2x² = –14x²

Bước 3: Nhân từng số hạng của A với (–7)

• 6x³ × (–7) = –42x³
• (–4x²) × (–7) = 28x²
• (–12x) × (–7) = 84x
• (–7) × (–7) = 49

Bước 4: Cộng các kết quả

• A × B = 12x⁵ – 8x⁴ + (–24x³ – 42x³) + (–14x² + 28x²) + 84x + 49
• A × B = 12x⁵ – 8x⁴ – 66x³ + 14x² + 84x + 49

Đáp án: A × B = 12x⁵ – 8x⁴ – 66x³ + 14x² + 84x + 49

Cách 2 — Đặt tính nhân theo cột

        6x³  – 4x²  – 12x  – 7
    ×              2x²  – 7
    ─────────────────────────────
       –42x³ + 28x² + 84x + 49    (nhân với –7)
12x⁵ – 8x⁴ – 24x³ – 14x²          (nhân với 2x²)
    ─────────────────────────────
12x⁵ – 8x⁴ – 66x³ + 14x² + 84x + 49

---

Câu 6e

Đề bài: Tìm đa thức R có bậc nhỏ hơn 2 sao cho hiệu A – R chia hết cho B.

Cách giải

Bước 1: Phân tích yêu cầu

• R có bậc nhỏ hơn 2, nên R = ax + b (với a, b là hằng số)
• A – R chia hết cho B nghĩa là A – R = B × Q (Q là thương)

Bước 2: Thực hiện phép chia A cho B

Chia 6x³ – 4x² – 12x – 7 cho 2x² – 7:

• 6x³ ÷ 2x² = 3x
• 3x × (2x² – 7) = 6x³ – 21x
• Trừ: (6x³ – 4x² – 12x – 7) – (6x³ – 21x) = –4x² + 9x – 7

• (–4x²) ÷ 2x² = –2
• (–2) × (2x² – 7) = –4x² + 14
• Trừ: (–4x² + 9x – 7) – (–4x² + 14) = 9x – 21

Bước 3: Kết quả phép chia

• A = B × (3x – 2) + (9x – 21)
• Số dư là 9x – 21

Bước 4: Tìm R

• Để A – R chia hết cho B, ta cần R = số dư = 9x – 21

Bước 5: Kiểm tra

• A – R = A – (9x – 21) = 6x³ – 4x² – 12x – 7 – 9x + 21
• = 6x³ – 4x² – 21x + 14
• = (2x² – 7)(3x – 2) ✓

Đáp án: R = 9x – 21

---

Bài 7

Đề bài: Người ta đổ đầy nước vào một cái bể hình hộp chữ nhật, sau đó nhấn chìm một khối lập phương (đặc) có độ dài các cạnh bằng x (dm) vào trong bể. Biết rằng chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt bằng x + 1, x + 3 và x + 2 (xem hình bên).

---

Câu 7a

Đề bài: Tìm đa thức biểu thị thể tích nước còn lại trong bể.

Cách giải

Bước 1: Tính thể tích bể

• V_bể = chiều dài × chiều rộng × chiều cao
• V_bể = (x + 3)(x + 1)(x +