Giải Toán 8 - Tập 2 trang 90
Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 90–91
BÀI TẬP
Bài 9.5
Đề bài: Khẳng định nào sau đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng?
a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia.
b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.
c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.
d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
Cách giải
Phân tích từng đáp án:
a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia.
- Đây chính là trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)
- ✅ ĐÚNG – Chứng tỏ hai tam giác đồng dạng
b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau.
- Trường hợp đồng dạng c.g.c yêu cầu góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cạnh tỉ lệ
- Đề bài chỉ nói "có một cặp góc bằng nhau" mà không nói rõ góc đó có xen giữa hay không
- ❌ SAI – Chưa đủ điều kiện
c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia.
- Đây chính là trường hợp đồng dạng góc – góc (g.g)
- ✅ ĐÚNG – Chứng tỏ hai tam giác đồng dạng
d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
- Chỉ có hai cạnh bằng nhau, không có thông tin về góc
- ❌ SAI – Không đủ điều kiện chứng minh đồng dạng (cũng không đủ chứng minh bằng nhau)
Đáp án: Các khẳng định a) và c) chứng tỏ hai tam giác đồng dạng.
💡 Mẹo nhớ: Ba trường hợp đồng dạng: c.c.c (3 cạnh tỉ lệ), c.g.c (2 cạnh tỉ lệ, góc xen giữa bằng), g.g (2 góc bằng).
Bài 9.6
Đề bài: Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?
a) 6 cm, 12 cm, 15 cm
b) 8 cm, 16 cm, 20 cm
c) 6 cm, 9 cm, 18 cm
d) 8 cm, 10 cm, 15 cm
Cách 1 — Tính tỉ số đồng dạng
Bước 1: Tính chu vi tam giác thứ nhất
Chu vi tam giác 1 = 4 + 8 + 10 = 22 (cm)
Bước 2: Tính tỉ số đồng dạng
Gọi k là tỉ số đồng dạng (tỉ số chu vi = tỉ số cạnh tương ứng)
k = 33/22 = 3/2 = 1,5
Bước 3: Tính ba cạnh tam giác thứ hai
- Cạnh 1: 4 × 1,5 = 6 (cm)
- Cạnh 2: 8 × 1,5 = 12 (cm)
- Cạnh 3: 10 × 1,5 = 15 (cm)
Bước 4: Kiểm tra
Chu vi = 6 + 12 + 15 = 33 (cm) ✓
Đáp án: a) 6 cm, 12 cm, 15 cm
Cách 2 — Kiểm tra từng đáp án
Kiểm tra đáp án a) 6 cm, 12 cm, 15 cm
- Chu vi = 6 + 12 + 15 = 33 cm ✓
- Tỉ lệ: 6/4 = 1,5; 12/8 = 1,5; 15/10 = 1,5 ✓
- Ba cạnh tỉ lệ với nhau → Thỏa mãn
Kiểm tra đáp án b) 8 cm, 16 cm, 20 cm
- Chu vi = 8 + 16 + 20 = 44 cm ≠ 33 cm ✗
Kiểm tra đáp án c) 6 cm, 9 cm, 18 cm
- Chu vi = 6 + 9 + 18 = 33 cm ✓
- Tỉ lệ: 6/4 = 1,5; 9/8 = 1,125; 18/10 = 1,8
- Các tỉ lệ không bằng nhau → Không thỏa mãn
Kiểm tra đáp án d) 8 cm, 10 cm, 15 cm
- Chu vi = 8 + 10 + 15 = 33 cm ✓
- Tỉ lệ: 8/4 = 2; 10/8 = 1,25; 15/10 = 1,5
- Các tỉ lệ không bằng nhau → Không thỏa mãn
Đáp án: a) 6 cm, 12 cm, 15 cm
💡 Mẹo nhớ: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng (tỉ số các cạnh tương ứng).
Bài 9.7
Đề bài: Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng △A'B'C' ∼ △ABC.
Chứng minh rằng A'M'/AM = B'N'/BN = C'P'/CP.
Cách giải
Bước 1: Xác định giả thiết
- △A'B'C' ∼ △ABC với tỉ số đồng dạng k
- Suy ra: A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA = k
Bước 2: Xét đường trung tuyến AM và A'M'
Trong △ABC:
- M là trung điểm của BC
- AM là trung tuyến từ A
Trong △A'B'C':
- M' là trung điểm của B'C'
- A'M' là trung tuyến từ A'
Bước 3: Chứng minh △ABM ∼ △A'B'M'
Ta có:
- AB/A'B' = k (do △ABC ∼ △A'B'C')
- BM = BC/2 và B'M' = B'C'/2
- Suy ra: BM/B'M' = (BC/2)/(B'C'/2) = BC/B'C' = k
- Góc ABM = góc A'B'M' (góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng)
Vậy △ABM ∼ △A'B'M' (c.g.c)
Bước 4: Suy ra tỉ lệ đường trung tuyến
Từ △ABM ∼ △A'B'M', ta có:
AM/A'M' = AB/A'B' = k
Hay: A'M'/AM = k
Bước 5: Chứng minh tương tự cho các trung tuyến còn lại
Tương tự, ta chứng minh được:
- △BCN ∼ △B'C'N' → B'N'/BN = k
- △CAP ∼ △C'A'P' → C'P'/CP = k
Bước 6: Kết luận
Vậy: A'M'/AM = B'N'/BN = C'P'/CP = k (đpcm)
💡 Mẹo nhớ: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Bài 9.8
Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 10 cm, AN = 8 cm. Chứng minh rằng △ABC ∼ △ANM.
Cách giải
Bước 1: Ghi nhận các số liệu
- AB = 12 cm, AC = 15 cm
- AM = 10 cm, AN = 8 cm
- M nằm trên tia AB, N nằm trên tia AC
Bước 2: Xét hai tam giác ABC và ANM
Xét △ABC và △ANM:
Góc chung: Góc BAC = góc MAN (góc chung tại đỉnh A)
Bước 3: Kiểm tra tỉ lệ hai cạnh kề góc chung
Tính tỉ số AB/AN:
- AB/AN = 12/8 = 3/2
Tính tỉ số AC/AM:
- AC/AM = 15/10 = 3/2
Ta có: AB/AN = AC/AM = 3/2
Bước 4: Kết luận
Xét △ABC và △ANM có:
- Góc BAC = góc MAN (góc chung)
- AB/AN = AC/AM = 3/2
Vậy △ABC ∼ △ANM (c.g.c) (đpcm)
💡 Lưu ý: Khi viết tỉ lệ đồng dạng, cần chú ý thứ tự các đỉnh tương ứng: A ↔ A, B ↔ N, C ↔ M.
Bài 9.9
Đề bài: Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho góc ABN = góc ACM.
a) Chứng minh rằng △ABN ∼ △ACM.
b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB · IN = IC · IM.
Phần a)
Bước 1: Xét hai tam giác ABN và ACM
Xét △ABN và △ACM:
Bước 2: Xác định các góc bằng nhau
- Góc BAC là góc chung (hay góc BAN = góc CAM)
- Góc ABN = góc ACM (giả thiết)
Bước 3: Kết luận
Xét △ABN và △ACM có:
- Góc BAN = góc CAM (góc chung)
- Góc ABN = góc ACM (gt)
Vậy △ABN ∼ △ACM (g.g) (đpcm)
Phần b)
Bước 1: Từ kết quả phần a, suy ra tỉ lệ
Từ △ABN ∼ △ACM, ta có:
AB/AC = AN/AM = BN/CM
Suy ra: AB/AC = AN/AM
Hay: AB · AM = AC · AN ... (*)
Bước 2: Chứng minh △ABI ∼ △ACI hoặc dùng cách khác
Xét △IBM và △ICN:
Ta có:
- Góc IMB = góc INC (cùng bù với góc AMC và góc ANB, hoặc chứng minh qua tứ giác nội tiếp)
Từ △ABN ∼ △ACM:
- Góc ANB = góc AMC (góc tương ứng)
Xét △IBM và △ICN:
- Góc BIM = góc CIN (hai góc đối đỉnh)
- Góc IBM = góc ABN = góc ACM = góc ICN (theo gt và góc tương ứng)
Vậy △IBM ∼ △ICN (g.g)
Bước 3: Suy ra tỉ lệ
Từ △IBM ∼ △ICN:
IB/IC = IM/IN
Bước 4: Kết luận
Từ IB/IC = IM/IN, ta có:
IB · IN = IC · IM (đpcm)
💡 Mẹo nhớ: Khi cần chứng minh tích bằng nhau dạng a·b = c·d, hãy nghĩ đến việc chứng minh tỉ lệ a/c = d/b thông qua tam giác đồng dạng.
Bài 9.10
Đề bài: Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25), hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.
Cách 1 — Dùng tam giác đồng dạng
Bước 1: Đặt tên các điểm
- Gọi A, B là chân hai cột (A bên trái, B bên phải)
- Gọi C là đỉnh cột cao 3 m (AC = 3 m)
- Gọi D là đỉnh cột cao 2 m (BD = 2 m)
- Gọi E là giao điểm của CB và AD
- Gọi H là chân đường vuông góc từ E xuống AB
- EH = h là độ cao cần tìm
Bước 2: Đặt ẩn phụ
Gọi AB = a (khoảng cách giữa hai chân cột)
Gọi AH = x, suy ra HB = a - x
Bước 3: Xét các cặp tam giác đồng dạng
Xét △EHB và △CAB:
- Góc EHB = góc CAB = 90° (cùng vuông góc với AB)
- Góc EBH = góc CBA (góc chung)
Vậy △EHB ∼ △CAB (g.g)
Suy ra: EH/CA = HB/AB
Hay: h/3 = (a - x)/a ... (1)
Xét △EHA và △DBA:
- Góc EHA = góc DBA = 90°
- Góc EAH = góc DAB (góc chung)
Vậy △EHA ∼ △DBA (g.g)
Suy ra: EH/DB = AH/AB
Hay: h/2 = x/a ... (2)
Bước 4: Giải hệ phương trình
Từ (1): h = 3(a - x)/a = 3 - 3x/a
Từ (2): h = 2x/a
Suy ra: 3 - 3x/a = 2x/a
3 = 3x/a + 2x/a = 5x/a
x/a = 3/5
Bước 5: Tính h
Thay x/a = 3/5 vào (2):
h = 2 × (3/5) = 6/5 = 1,2 (m)
Đáp án: Độ cao h = 1,2 m = 6/5 m
Cách 2 — Công thức tổng quát
Công thức: Khi hai cột có chiều cao h₁ và h₂, độ cao giao điểm là:
h = (h₁ × h₂)/(h₁ + h₂)
Áp dụng:
h = (3 × 2)/(3 + 2) = 6/5 = 1,2 (m)
Đáp án: h = 1,2 m
💡 Mẹo nhớ: Công thức "nghịch đảo cộng nghịch đảo": 1/h = 1/h₁ + 1/h₂, hay h = (h₁ × h₂)/(h₁ + h₂). Đây là công thức hay gặp trong bài toán hai cột và dây nối.
💡 Mẹo bấm máy: Bấm3×2÷(3+2)=được kết quả 1,2
LUYỆN TẬP CHUNG (Trang 91)
Lưu ý: Trang 91 chứa Ví dụ 1 và Ví dụ 2 là các bài mẫu có lời giải sẵn trong sách, không phải bài tập cần giải.
Tóm tắt Ví dụ 1
Đề: Cho các điểm A, B, C, D, E với AB = 6 cm, AC = 9 cm, AD = 8 cm, BC = 12 cm, BD = 4 cm. Chứng minh △ABC ∼ △BDA và △BDE ∼ △ACE.
Phương pháp: Dùng trường hợp đồng dạng c.c.c (ba cạnh tỉ lệ), sau đó suy ra góc bằng nhau để chứng minh hai đường thẳng song song.
Tóm tắt Ví dụ 2
Đề: Cho góc xOy, các điểm A, B trên tia Ox và C, D trên tia Oy với OA = 2 cm, OB = 6 cm, OC = 3 cm, OD = 4 cm. AD cắt BC tại E. Tính BE/DE.
Phương pháp:
- Chứng minh △OAD ∼ △OCB (c.g.c) → suy ra góc ODA = góc OBC
- Chứng minh △AEB ∼ △CED (g.g)
- Tính BE/DE = AB/CD = (OB - OA)/(OD - OC) = 4/1 = 4
🎯 Ghi nhớ chương Tam giác đồng dạng: Ba trường hợp đồng dạng: - c.c.c: Ba cạnh tỉ lệ - c.g.c: Hai cạnh tỉ lệ, góc xen giữa bằng nhau - g.g: Hai góc bằng nhau Tính chất quan trọng: - Tỉ số chu vi = tỉ số đồng dạng - Tỉ số đường cao, trung tuyến, phân giác tương ứng = tỉ số đồng dạng - Tỉ số diện tích = bình phương tỉ số đồng dạng