HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán 8 - Tập 2 trang 88

Lời giải chi tiết SGK Lớp 8 · Môn ToĂ¡n · Trang 88–89

Hai trang này thuộc bài về trường hợp đồng dạng thứ ba (góc – góc) của hai tam giác. Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt các hoạt động và bài tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Định lí (trường hợp đồng dạng góc – góc):

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Ý tưởng chứng minh: dựng điểm $M$ trên $AB$ sao cho $AM = A'B'$, kẻ $MN \parallel BC$. Khi đó $\triangle AMN \backsim \triangle ABC$, đồng thời $\triangle AMN = \triangle A'B'C'$ (g.c.g), suy ra $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$.

Nhận xét quan trọng (từ Ví dụ 3): Nếu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ theo tỉ số $k$ thì tỉ số hai đường phân giác tương ứng cũng bằng $k$:
$$\dfrac{A'M'}{AM} = k.$$

HĐ3

Đề: Em hãy dự đoán xem tam giác $A'B'C'$ có đồng dạng với tam giác $ABC$ không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Quan sát Hình 9.20:

  • $\triangle ABC$: $\widehat{A} = 80^\circ$, $\widehat{B} = 70^\circ$, cạnh $AB = 10$ m.
  • $\triangle A'B'C'$: $\widehat{A'} = 80^\circ$, $\widehat{B'} = 70^\circ$, cạnh $A'B' = 2$ cm.

Lời giải:

Hai tam giác có $\widehat{A'} = \widehat{A} = 80^\circ$ và $\widehat{B'} = \widehat{B} = 70^\circ$ nên theo trường hợp góc – góc:
$$\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC.$$

Tỉ số đồng dạng (đổi $10$ m $= 1000$ cm):
$$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{2}{1000} = \dfrac{1}{500}.$$

HĐ4

Đề: Nếu $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ và anh Pi đo được $A'C' = 3{,}76$ cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét?

Lời giải:

Khoảng cách cần tìm chính là $AC$. Vì hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k = \dfrac{1}{500}$ nên:
$$\dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{1}{500} \;\Rightarrow\; AC = 500 \cdot A'C' = 500 \cdot 3{,}76 = 1880 \text{ cm} = 18{,}8 \text{ m}.$$

Vậy khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là 18,8 m.

Câu hỏi (Hình 9.22)

Đề: Những cặp tam giác nào trong Hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Tính đủ các góc của từng tam giác (tổng ba góc $= 180^\circ$):

Tam giácGóc đã choGóc còn lại
$ABC$$\widehat{A}=60^\circ$, $\widehat{B}=50^\circ$$\widehat{C}=70^\circ$
$DEF$$\widehat{D}=60^\circ$, $\widehat{E}=50^\circ$$\widehat{F}=70^\circ$
$MNP$$\widehat{M}=60^\circ$, $\widehat{N}=70^\circ$$\widehat{P}=50^\circ$

Ghép các góc bằng nhau:

  • $\widehat{A}=\widehat{D}=60^\circ$, $\widehat{B}=\widehat{E}=50^\circ \Rightarrow \triangle ABC \backsim \triangle DEF$.
  • $\widehat{A}=\widehat{M}=60^\circ$, $\widehat{B}=\widehat{P}=50^\circ \Rightarrow \triangle ABC \backsim \triangle MPN$.
  • $\widehat{D}=\widehat{M}=60^\circ$, $\widehat{E}=\widehat{P}=50^\circ \Rightarrow \triangle DEF \backsim \triangle MPN$.

Vậy cả ba tam giác đều đồng dạng với nhau (vì có cùng bộ ba góc $60^\circ, 50^\circ, 70^\circ$), chú ý viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng.

Ví dụ 3 (tham khảo)

Đề: Cho $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ và $AM$, $A'M'$ lần lượt là các đường phân giác. Chứng minh $\triangle A'B'M' \backsim \triangle ABM$.

Hướng giải (sách đã trình bày):

  • Vì $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$ nên $\widehat{B'}=\widehat{B}$ và $\widehat{B'A'C'}=\widehat{BAC}$.
  • Vì $AM$, $A'M'$ là phân giác nên $\widehat{B'A'M'}=\dfrac{\widehat{B'A'C'}}{2}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{BAM}$.
  • Hai tam giác $ABM$ và $A'B'M'$ có $\widehat{A'B'M'}=\widehat{ABM}$ và $\widehat{B'A'M'}=\widehat{BAM}$.

Vậy $\triangle A'B'M' \backsim \triangle ABM$ (g.g).

Luyện tập 3

Đề: Cho các điểm $A, B, C, D$ như Hình 9.24. Biết rằng $\widehat{ABC}=\widehat{ADB}$. Hãy chứng minh $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$ và $AB^2 = AD \cdot AC$.

Lời giải:

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADB$ có:

  • $\widehat{A}$ chung,
  • $\widehat{ABC} = \widehat{ADB}$ (giả thiết).

Do đó $\triangle ABC \backsim \triangle ADB$ (g.g).

Từ đó suy ra tỉ số các cạnh tương ứng:
$$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AB}.$$

Nhân chéo:
$$AB^2 = AD \cdot AC. \qquad \blacksquare$$

Thử thách nhỏ

Đề: Ba đường phân giác của $\triangle ABC$ đồng quy tại $I$, ba đường phân giác của $\triangle A'B'C'$ đồng quy tại $I'$. Hãy chứng tỏ rằng nếu $\widehat{A'I'B'}=\widehat{AIB}$ và $\widehat{A'I'C'}=\widehat{AIC}$ thì $\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$.

Lời giải:

Vì $I$ là giao điểm ba phân giác nên $BI$, $AI$ là phân giác của $\widehat{B}$, $\widehat{A}$. Xét $\triangle ABI$:

$$\widehat{AIB} = 180^\circ - \widehat{IAB} - \widehat{IBA} = 180^\circ - \dfrac{\widehat{A}}{2} - \dfrac{\widehat{B}}{2}.$$

Tương tự với $\triangle A'B'I'$:

$$\widehat{A'I'B'} = 180^\circ - \dfrac{\widehat{A'}}{2} - \dfrac{\widehat{B'}}{2}.$$

Theo giả thiết $\widehat{AIB}=\widehat{A'I'B'}$ nên:

$$\dfrac{\widehat{A}}{2} + \dfrac{\widehat{B}}{2} = \dfrac{\widehat{A'}}{2} + \dfrac{\widehat{B'}}{2} \;\Rightarrow\; \widehat{A} + \widehat{B} = \widehat{A'} + \widehat{B'}. \quad (1)$$

Làm tương tự với $\widehat{AIC}=\widehat{A'I'C'}$:

$$\widehat{A} + \widehat{C} = \widehat{A'} + \widehat{C'}. \quad (2)$$

Cộng $(1)$ và $(2)$:

$$2\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 2\widehat{A'} + \widehat{B'} + \widehat{C'}.$$

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = \widehat{A'}+\widehat{B'}+\widehat{C'} = 180^\circ$, nên:

$$2\widehat{A} + (180^\circ - \widehat{A}) = 2\widehat{A'} + (180^\circ - \widehat{A'}) \;\Rightarrow\; \widehat{A} = \widehat{A'}.$$

Thay vào $(1)$ được $\widehat{B} = \widehat{B'}$.

Tam giác $A'B'C'$ và $ABC$ có $\widehat{A'}=\widehat{A}$, $\widehat{B'}=\widehat{B}$ nên:
$$\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC \ (\text{g.g}). \qquad \blacksquare$$

Chế độ đọc sách →