Giải Toán 10 - Tập 2 trang 22

Tóm tắt lý thuyết

Định lí về dấu tam thức bậc hai

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c \ (a \neq 0)$, với $\Delta = b^2 - 4ac$:

• Nếu $\Delta < 0$: $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
• Nếu $\Delta = 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq -\dfrac{b}{2a}$, và $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.
• Nếu $\Delta > 0$: $f(x)$ có hai nghiệm $x_1 < x_2$. Khi đó:
• $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$ (ngoài cùng),
• $f(x)$ trái dấu với $a$ khi $x \in (x_1; x_2)$ (trong trái).

Mẹo nhớ: "Trong trái, ngoài cùng" (trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu $a$, ngoài thì cùng dấu $a$). Có thể thay $\Delta$ bằng $\Delta'$.

Bất phương trình bậc hai

Là bất phương trình dạng $ax^2 + bx + c > 0$ (hoặc $\geq, <, \leq$) với $a \neq 0$. Để giải, ta xét dấu tam thức $ax^2 + bx + c$ rồi suy ra tập nghiệm.

---

Bài Luyện tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai

a) $-3x^2 + x - \sqrt{2}$

$$\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-\sqrt{2}) = 1 - 12\sqrt{2} \approx 1 - 16{,}97 < 0$$

Vì $\Delta < 0$ và $a = -3 < 0$ nên $f(x)$ luôn âm với mọi $x \in \mathbb{R}$.

b) $x^2 + 8x + 16$

$$\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0$$

Vì $\Delta = 0$ và $a = 1 > 0$, tam thức có nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a} = -4$.

Vậy $f(x) > 0$ với mọi $x \neq -4$ và $f(-4) = 0$. (Thực ra $x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.)

c) $-2x^2 + 7x - 3$

$$\Delta = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 49 - 24 = 25 > 0$$

Hai nghiệm: $x = \dfrac{-7 \pm 5}{2 \cdot (-2)} \Rightarrow x_1 = \dfrac{1}{2}, \ x_2 = 3$.

Vì $a = -2 < 0$, ta có bảng xét dấu:

Vậy:

• $f(x) > 0$ khi $x \in \left(\dfrac{1}{2}; 3\right)$,
• $f(x) < 0$ khi $x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{2}\right) \cup (3; +\infty)$.

---

Bài HĐ5: Tình huống mở đầu

Đề: Mảnh đất rào chắn có diện tích không nhỏ hơn $48\ \text{m}^2$, với $S(x) = -2x^2 + 20x$. Hãy viết bất đẳng thức so sánh $S(x)$ với 48.

"Không nhỏ hơn 48" nghĩa là $S(x) \geq 48$:

$$-2x^2 + 20x \geq 48 \ \Leftrightarrow \ -2x^2 + 20x - 48 \geq 0 \ \Leftrightarrow \ 2x^2 - 20x + 48 \leq 0 \tag{1}$$

Đây chính là một bất phương trình bậc hai.

---

Bài Ví dụ 2: Giải các bất phương trình

a) $3x^2 + x + 5 \leq 0$

Tam thức $f(x) = 3x^2 + x + 5$ có $\Delta = 1 - 60 = -59 < 0$, $a = 3 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x$.

Không có giá trị nào làm $f(x) \leq 0$. Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) $-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 \geq 0$

Tam thức $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 1$ có $\Delta' = (\sqrt{3})^2 - (-3)(-1) = 3 - 3 = 0$, $a = -3 < 0$.

Nên $f(x) < 0$ với mọi $x \neq \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, và $f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) = 0$.

Bất phương trình $f(x) \geq 0$ chỉ đúng tại điểm nghiệm kép. Vậy nghiệm duy nhất là $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

c) $-x^2 + 2x + 1 > 0$

Tam thức $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ có $\Delta' = 1^2 - (-1)\cdot 1 = 2 > 0$, $a = -1 < 0$.

Hai nghiệm: $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{2}}{-1} = 1 \mp \sqrt{2}$, tức $x_1 = 1 - \sqrt{2}, \ x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Vì $a < 0$, $f(x) > 0$ ở trong khoảng hai nghiệm (trái dấu $a$). Vậy tập nghiệm:

$$S = \left(1 - \sqrt{2}; \ 1 + \sqrt{2}\right)$$

---

Một lưu ý nhỏ giúp em làm nhanh: với bất phương trình bậc hai, cứ tính $\Delta$ trước. Nếu $\Delta < 0$ thì dấu của tam thức cố định theo $a$, khỏi cần bảng. Khi $\Delta > 0$ mới cần tìm nghiệm và áp dụng "trong trái, ngoài cùng".