Giải Toán 10 - Tập 2 trang 20
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 20–21
Hai trang này thuộc Bài 17 "Dấu của tam thức bậc hai" (sách Toán 10 – Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt tất cả hoạt động trên trang 19 và trang 20.
Tóm tắt lý thuyết
Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng:
$$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$
trong đó $a, b, c$ là các hệ số cho trước.
- Biệt thức: $\Delta = b^2 - 4ac$
- Biệt thức thu gọn: $\Delta' = b'^2 - ac$ với $b = 2b'$
- Nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ cũng là nghiệm của tam thức bậc hai.
Định lí về dấu: nếu $f(x)$ có hai nghiệm $x_1 < x_2$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$ khi $x$ ở ngoài đoạn nghiệm, và trái dấu với $a$ khi $x$ ở trong khoảng hai nghiệm.
HĐ1: Đặc điểm chung của các biểu thức
Đề: Tìm đặc điểm chung của
$$A = 0,5x^2;\quad B = 1 - x^2;\quad C = x^2 + x + 1;\quad D = (1-x)(2x+1).$$
Lời giải:
Khai triển $D$:
$$D = (1-x)(2x+1) = 2x + 1 - 2x^2 - x = -2x^2 + x + 1.$$
Vậy bốn biểu thức lần lượt là:
| Biểu thức | Dạng khai triển | $a$ | $b$ | $c$ |
|---|---|---|---|---|
| $A$ | $0,5x^2$ | $0,5$ | $0$ | $0$ |
| $B$ | $-x^2 + 1$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $C$ | $x^2 + x + 1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $D$ | $-2x^2 + x + 1$ | $-2$ | $1$ | $1$ |
Đặc điểm chung: tất cả đều là đa thức một biến $x$, có bậc cao nhất bằng $2$, tức đều có dạng $ax^2 + bx + c$ với $a \neq 0$. Đây chính là các tam thức bậc hai.
Luyện tập 1: Nhận biết tam thức bậc hai
Đề: Cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.
$$A = 3x + 2\sqrt{x} + 1;\quad B = -5x^4 + 3x^2 + 4;\quad C = -\tfrac{2}{3}x^2 + 7x - 4;\quad D = \left(\tfrac{1}{x}\right)^2 + 2\cdot\tfrac{1}{x} + 3.$$
Lời giải:
- $A$: có chứa $\sqrt{x} = x^{1/2}$ (số mũ không nguyên) → không phải tam thức bậc hai.
- $B$: bậc cao nhất là $4$ → không phải tam thức bậc hai.
- $C$: đúng dạng $ax^2 + bx + c$ với $a = -\tfrac{2}{3} \neq 0$ → là tam thức bậc hai.
- $D$: có chứa $\tfrac{1}{x} = x^{-1}$ (không phải đa thức) → không phải tam thức bậc hai.
Kết luận: chỉ có biểu thức $C$ là tam thức bậc hai.
HĐ2: Khảo sát dấu của $f(x) = x^2 - 4x + 3$
Câu a) Xác định $a$ và tính các giá trị
Hệ số $a = 1 > 0$.
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ |
Cách tính:
- $f(0) = 0 - 0 + 3 = 3$
- $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$
- $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$
- $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$
- $f(4) = 16 - 16 + 3 = 3$
Nhận xét: $f(0), f(4)$ dương (cùng dấu $a$); $f(2)$ âm (trái dấu $a$); $f(1) = f(3) = 0$ là hai nghiệm.
Câu b) Vị trí đồ thị so với trục $Ox$
Đồ thị cắt trục $Ox$ tại $x = 1$ và $x = 3$. Dựa vào Hình 6.17:
- Trên $(-\infty; 1)$: đồ thị nằm phía trên trục $Ox$.
- Trên $(1; 3)$: đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$.
- Trên $(3; +\infty)$: đồ thị nằm phía trên trục $Ox$.
Câu c) Nhận xét về dấu của $f(x)$ và dấu của $a$
Vì $a = 1 > 0$:
- Trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$: $f(x) > 0$, cùng dấu với $a$.
- Trên $(1; 3)$: $f(x) < 0$, trái dấu với $a$.
HĐ3: Khảo sát dấu của $g(x) = -2x^2 + x + 3$
Tìm nghiệm: $-2x^2 + x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - x - 3 = 0$.
$$\Delta = 1 + 24 = 25 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 5}{4} \Rightarrow x = -1 \text{ hoặc } x = \frac{3}{2}.$$
Hệ số $a = -2 < 0$.
Câu a) Vị trí đồ thị so với trục $Ox$
Dựa vào Hình 6.18 (parabol quay xuống):
- Trên $\left(-\infty; -1\right)$: đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$.
- Trên $\left(-1; \tfrac{3}{2}\right)$: đồ thị nằm phía trên trục $Ox$.
- Trên $\left(\tfrac{3}{2}; +\infty\right)$: đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$.
Câu b) Nhận xét về dấu của $g(x)$ và dấu của $a$
Vì $a = -2 < 0$:
- Trên $\left(-\infty; -1\right)$ và $\left(\tfrac{3}{2}; +\infty\right)$: $g(x) < 0$, cùng dấu với $a$.
- Trên $\left(-1; \tfrac{3}{2}\right)$: $g(x) > 0$, trái dấu với $a$.
Kết quả này khớp đúng với Nhận xét trong sách: ngoài đoạn nghiệm tam thức cùng dấu $a$, trong khoảng nghiệm thì trái dấu $a$.
HĐ4: Điền bảng dấu (trường hợp $a > 0$)
Đề: Nêu nội dung thay vào ô có dấu "?" về dấu của tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ khi $a > 0$.
| $\Delta$ | $\Delta < 0$ | $\Delta = 0$ | $\Delta > 0$ |
|---|---|---|---|
| Vị trí đồ thị so với $Ox$ | Nằm hoàn toàn phía trên $Ox$ | Nằm phía trên $Ox$, tiếp xúc $Ox$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$ | Cắt $Ox$ tại hai điểm $x_1 < x_2$; trên $Ox$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$, dưới $Ox$ khi $x_1 < x < x_2$ |
| Dấu của $f(x)$ | $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ (cùng dấu $a$) | $f(x) > 0$ với mọi $x \neq -\dfrac{b}{2a}$; $f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$ | $f(x) > 0$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$ (cùng dấu $a$); $f(x) < 0$ khi $x_1 < x < x_2$ (trái dấu $a$) |
Tóm tắt quy tắc khi $a > 0$:
- $\Delta < 0$: tam thức luôn dương.
- $\Delta = 0$: tam thức luôn dương, chỉ bằng $0$ tại nghiệm kép.
- $\Delta > 0$: tam thức dương ở ngoài hai nghiệm, âm ở giữa hai nghiệm.
Bạn để ý nhé: hai trang ảnh thực tế đánh số là trang 19 và 20 (góc dưới mỗi trang). Nếu bạn cần mình giải tiếp phần "Trường hợp $a < 0$" và các ví dụ ở trang 21 thật sự, gửi thêm ảnh trang đó để mình làm trọn vẹn.