Giải Toán 10 - Tập 2 trang 24
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 24–25
🔍 Kiến thức cần nhớ
Bất phương trình bậc hai
- Dạng tổng quát: ax² + bx + c ≥ 0 (hoặc ≤ 0, > 0, < 0)
- Các bước giải:
- Tính Δ = b² - 4ac (hoặc Δ' = b'² - ac nếu b = 2b')
- Xét dấu hệ số a và Δ
- Lập bảng xét dấu
- Kết luận tập nghiệm
Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c
- Nếu Δ < 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x
- Nếu Δ = 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ -b/(2a), bằng 0 khi x = -b/(2a)
- Nếu Δ > 0: f(x) cùng dấu với a khi x < x₁ hoặc x > x₂; trái dấu với a khi x₁ < x < x₂
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3 (Trang 23)
Đề bài: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
- a) -5x² + x - 1 ≤ 0
- b) x² - 8x + 16 ≤ 0
- c) x² - x + 6 > 0
Câu a) -5x² + x - 1 ≤ 0
Cách 1 — Phương pháp xét dấu tam thức
Bước 1: Xét tam thức f(x) = -5x² + x - 1
- Hệ số: a = -5, b = 1, c = -1
- Tính Δ = b² - 4ac = 1² - 4×(-5)×(-1) = 1 - 20 = -19 < 0
Bước 2: Xét dấu
Vì Δ < 0 và a = -5 < 0 nên f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ
Bước 3: Kết luận
f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ
Đáp số: S = ℝ (hay S = (-∞; +∞))
Cách 2 — Phương pháp nhanh
Nhận xét: Δ = 1 - 20 = -19 < 0 và a = -5 < 0
→ Tam thức luôn âm → Bất phương trình ≤ 0 luôn đúng
Đáp số: S = ℝ
Câu b) x² - 8x + 16 ≤ 0
Cách 1 — Phương pháp xét dấu tam thức
Bước 1: Xét tam thức f(x) = x² - 8x + 16
- Hệ số: a = 1, b = -8, c = 16
- Tính Δ = b² - 4ac = (-8)² - 4×1×16 = 64 - 64 = 0
Bước 2: Tìm nghiệm kép
x₀ = -b/(2a) = 8/2 = 4
Bước 3: Nhận xét
Ta có: f(x) = (x - 4)²
Vì Δ = 0 và a = 1 > 0 nên f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ, và f(x) = 0 khi x = 4
Bước 4: Kết luận
f(x) ≤ 0 chỉ khi f(x) = 0, tức x = 4
Đáp số: S = {4}
Cách 2 — Nhận dạng hằng đẳng thức
Nhận xét: x² - 8x + 16 = (x - 4)²
Ta có: (x - 4)² ≥ 0 với mọi x
Bất phương trình (x - 4)² ≤ 0 chỉ đúng khi (x - 4)² = 0
⟺ x - 4 = 0 ⟺ x = 4
Đáp số: S = {4}
💡 Mẹo nhớ: Khi tam thức có dạng bình phương hoàn hảo (Δ = 0), bất phương trình ≤ 0 có nghiệm duy nhất là nghiệm kép.
Câu c) x² - x + 6 > 0
Cách 1 — Phương pháp xét dấu tam thức
Bước 1: Xét tam thức f(x) = x² - x + 6
- Hệ số: a = 1, b = -1, c = 6
- Tính Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4×1×6 = 1 - 24 = -23 < 0
Bước 2: Xét dấu
Vì Δ < 0 và a = 1 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ
Bước 3: Kết luận
f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ
Đáp số: S = ℝ
Cách 2 — Phương pháp biến đổi
x² - x + 6 = x² - x + 1/4 + 23/4 = (x - 1/2)² + 23/4
Vì (x - 1/2)² ≥ 0 với mọi x nên (x - 1/2)² + 23/4 ≥ 23/4 > 0 với mọi x
Đáp số: S = ℝ
Vận dụng (Trang 23)
Đề bài: Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai h(t) = -4,9t² + 20t + 1, ở đó độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất?
Cách 1 — Phương pháp giải bất phương trình
Bước 1: Lập bất phương trình
Điều kiện: h(t) > 5
⟺ -4,9t² + 20t + 1 > 5
⟺ -4,9t² + 20t - 4 > 0
Bước 2: Giải phương trình -4,9t² + 20t - 4 = 0
Nhân cả hai vế với -10: 49t² - 200t + 40 = 0
Tính Δ = 200² - 4×49×40 = 40000 - 7840 = 32160
√Δ = √32160 = 4√2010 ≈ 179,33
t₁ = (200 - √32160)/(2×49) = (200 - 179,33)/98 ≈ 0,211
t₂ = (200 + √32160)/(2×49) = (200 + 179,33)/98 ≈ 3,87
Bước 3: Xét dấu
Vì a = -4,9 < 0 nên tam thức -4,9t² + 20t - 4 > 0 khi t₁ < t < t₂
Bước 4: Kết luận (với điều kiện t ≥ 0)
Quả bóng ở độ cao trên 5 m khi t ∈ (0,211; 3,87) giây
Đáp số: Khoảng từ 0,21 giây đến 3,87 giây (làm tròn đến 2 chữ số thập phân)
Cách 2 — Sử dụng máy tính
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Bấm: Mode → ↓ → 1 → 1 - Chọn dạng bất phương trình: ax² + bx + c > 0 - Nhập: a = -4.9, b = 20, c = -4 - Máy sẽ hiển thị kết quả
Đáp số: t ∈ (0,21; 3,87) giây
⚠️ Lưu ý thi: Bài toán thực tế cần chú ý điều kiện t ≥ 0 (thời gian không âm)
Bài 6.15 (Trang 24)
Đề bài: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
- a) 3x² - 4x + 1
- b) x² + 2x + 1
- c) -x² + 3x - 2
- d) -x² + x - 1
Câu a) f(x) = 3x² - 4x + 1
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định hệ số và tính Δ
- a = 3, b = -4, c = 1
- Δ = (-4)² - 4×3×1 = 16 - 12 = 4 > 0
Bước 2: Tìm nghiệm
- x₁ = (4 - 2)/(2×3) = 2/6 = 1/3
- x₂ = (4 + 2)/(2×3) = 6/6 = 1
Bước 3: Lập bảng xét dấu
| x | -∞ | 1/3 | 1 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
Kết luận:
- f(x) > 0 khi x < 1/3 hoặc x > 1
- f(x) = 0 khi x = 1/3 hoặc x = 1
- f(x) < 0 khi 1/3 < x < 1
Cách 2 — Phân tích nhân tử
3x² - 4x + 1 = 3(x - 1/3)(x - 1) = (3x - 1)(x - 1)
Lập bảng xét dấu tích:
| x | -∞ | 1/3 | 1 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| 3x - 1 | - | 0 | + | + | |
| x - 1 | - | - | 0 | + | |
| f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
Câu b) f(x) = x² + 2x + 1
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định hệ số và tính Δ
- a = 1, b = 2, c = 1
- Δ = 2² - 4×1×1 = 4 - 4 = 0
Bước 2: Tìm nghiệm kép
- x₀ = -b/(2a) = -2/2 = -1
Bước 3: Lập bảng xét dấu
| x | -∞ | -1 | +∞ |
|---|---|---|---|
| f(x) | + | 0 | + |
Kết luận:
- f(x) > 0 khi x ≠ -1
- f(x) = 0 khi x = -1
Cách 2 — Nhận dạng hằng đẳng thức
x² + 2x + 1 = (x + 1)²
Vì bình phương luôn ≥ 0 và bằng 0 khi x = -1
Kết luận: f(x) ≥ 0 với mọi x, f(x) = 0 ⟺ x = -1
Câu c) f(x) = -x² + 3x - 2
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định hệ số và tính Δ
- a = -1, b = 3, c = -2
- Δ = 3² - 4×(-1)×(-2) = 9 - 8 = 1 > 0
Bước 2: Tìm nghiệm
- x₁ = (-3 + 1)/(2×(-1)) = -2/(-2) = 1
- x₂ = (-3 - 1)/(2×(-1)) = -4/(-2) = 2
Bước 3: Lập bảng xét dấu (chú ý a = -1 < 0)
| x | -∞ | 1 | 2 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Kết luận:
- f(x) > 0 khi 1 < x < 2
- f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 2
- f(x) < 0 khi x < 1 hoặc x > 2
Cách 2 — Phân tích nhân tử
-x² + 3x - 2 = -(x² - 3x + 2) = -(x - 1)(x - 2)
Câu d) f(x) = -x² + x - 1
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định hệ số và tính Δ
- a = -1, b = 1, c = -1
- Δ = 1² - 4×(-1)×(-1) = 1 - 4 = -3 < 0
Bước 2: Xét dấu
Vì Δ < 0 và a = -1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ
Kết luận: f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ
Cách 2 — Biến đổi về dạng chính tắc
-x² + x - 1 = -(x² - x + 1) = -(x² - x + 1/4 + 3/4) = -[(x - 1/2)² + 3/4]
Vì (x - 1/2)² ≥ 0 nên (x - 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4 > 0
Do đó -[(x - 1/2)² + 3/4] < 0 với mọi x
Bài 6.16 (Trang 24)
Đề bài: Giải các bất phương trình bậc hai:
- a) x² - 1 ≥ 0
- b) x² - 2x - 1 < 0
- c) -3x² + 12x + 1 ≤ 0
- d) 5x² + x + 1 ≥ 0
Câu a) x² - 1 ≥ 0
Cách 1 — Phương pháp xét dấu tam thức
Bước 1: Xét tam thức f(x) = x² - 1
- a = 1, b = 0, c = -1
- Δ = 0² - 4×1×(-1) = 4 > 0
- x₁ = -1, x₂ = 1
Bước 2: Lập bảng xét dấu
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
Bước 3: Kết luận
f(x) ≥ 0 khi x ≤ -1 hoặc x ≥ 1
Đáp số: S = (-∞; -1] ∪ [1; +∞)
Cách 2 — Phân tích nhân tử
x² - 1 = (x - 1)(x + 1) ≥ 0
Bất phương trình đúng khi:
- Cả hai thừa số cùng dấu không âm: x ≥ 1 và x ≥ -1 → x ≥ 1
- Hoặc cả hai thừa số cùng dấu không dương: x ≤ 1 và x ≤ -1 → x ≤ -1
Đáp số: S = (-∞; -1] ∪ [1; +∞)
Câu b) x² - 2x - 1 < 0
Cách 1 — Phương pháp xét dấu tam thức
Bước 1: Xét tam thức f(x) = x² - 2x - 1
- a = 1, b = -2, c = -1
- Δ = (-2)² - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8 > 0
- x₁ = (2 - √8)/2 = (2 - 2√2)/2 = 1 - √2
- x₂ = (2 + √8)/2 = (2 + 2√2)/2 = 1 + √2
Bước 2: Lập bảng xét dấu
| x | -∞ | 1-√2 | 1+√2 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | + | 0 | - | 0 | + |
Bước 3: Kết luận
f(x) < 0 khi 1 - √2 < x < 1 + √2
Đáp số: S = (1 - √2; 1 + √2)
Cách 2 — Công thức nghiệm thu gọn
Δ' = (-1)² - 1×(-1) = 1 + 1 = 2
x₁ = 1 - √2, x₂ = 1 + √2
Vì a = 1 > 0 nên f(x) < 0 khi x nằm giữa hai nghiệm.
Đáp số: S = (1 - √2; 1 + √2)
💡 Mẹo bấm máy: √2 ≈ 1,414 nên nghiệm xấp xỉ là (-0,414; 2,414)
Câu c) -3x² + 12x + 1 ≤ 0
Cách 1 — Phương pháp xét dấu tam thức
Bước 1: Xét tam thức f(x) = -3x² + 12x + 1
- a = -3, b = 12, c = 1
- Δ = 12² - 4×(-3)×1 = 144 + 12 = 156 > 0
- √Δ = √156 = 2√39
Bước 2: Tìm nghiệm
- x₁ = (-12 - 2√39)/(2×(-3)) = (-12 - 2√39)/(-6) = (6 + √39)/3
- x₂ = (-12 + 2√39)/(2×(-3)) = (-12 + 2√39)/(-6) = (6 - √39)/3
Sắp xếp: x₁ = (6 - √39)/3 < x₂ = (6 + √39)/3
(Vì √39 ≈ 6,24 nên x₁ ≈ -0,08 và x₂ ≈ 4,08)
Bước 3: Lập bảng xét dấu (chú ý a = -3 < 0)
| x | -∞ | (6-√39)/3 | (6+√39)/3 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | - | 0 | + | 0 | - |
Bước 4: Kết luận
f(x) ≤ 0 khi x ≤ (6 - √39)/3 hoặc x ≥ (6 + √39)/3
Đáp số: S = (-∞; (6 - √39)/3] ∪ [(6 + √39)/3; +∞)
Cách 2 — Nhân với -1 và đổi chiều
-3x² + 12x + 1 ≤ 0 ⟺ 3x² - 12x - 1 ≥ 0
Giải 3x² - 12x - 1 = 0: Δ' = 36 + 3 = 39
x = (6 ± √39)/3
Vì a = 3 > 0, bất phương trình ≥ 0 đúng khi x ≤ (6 - √39)/3 hoặc x ≥ (6 + √39)/3
Câu d) 5x² + x + 1 ≥ 0
Cách 1 — Phương pháp xét dấu tam thức
Bước 1: Xét tam thức f(x) = 5x² + x + 1
- a = 5, b = 1, c = 1
- Δ = 1² - 4×5×1 = 1 - 20 = -19 < 0
Bước 2: Xét dấu
Vì Δ < 0 và a = 5 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ
Bước 3: Kết luận
f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ
Đáp số: S = ℝ
Cách 2 — Biến đổi
5x² + x + 1 = 5(x² + x/5) + 1 = 5(x + 1/10)² - 5×1/100 + 1 = 5(x + 1/10)² + 19/20
Vì 5(x + 1/10)² ≥ 0 nên biểu thức luôn ≥ 19/20 > 0
Đáp số: S = ℝ
Bài 6.17 (Trang 24)
Đề bài: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi x ∈ ℝ:
x² + (m + 1)x + 2m + 3
Cách 1 — Điều kiện tam thức dương
Phân tích: Tam thức f(x) = ax² + bx + c dương với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi:
- a > 0 và Δ < 0
Áp dụng: f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3
- a = 1 > 0 ✓ (luôn thỏa mãn)
Tính Δ:
Δ = (m + 1)² - 4×1×(2m + 3)
Δ = m² + 2m + 1 - 8m - 12
Δ = m² - 6m - 11
Điều kiện: Δ < 0
⟺ m² - 6m - 11 < 0
Giải phương trình m² - 6m - 11 = 0:
- Δ_m = 36 + 44 = 80
- m₁ = (6 - √80)/2 = (6 - 4√5)/2 = 3 - 2√5
- m₂ = (6 + √80)/2 = (6 + 4√5)/2 = 3 + 2√5
Vì hệ số của m² là 1 > 0 nên m² - 6m - 11 < 0 khi:
3 - 2√5 < m < 3 + 2√5
Đáp số: m ∈ (3 - 2√5; 3 + 2√5)
Cách 2 — Tính toán số gần đúng
√5 ≈ 2,236 nên 2√5 ≈ 4,472
- 3 - 2√5 ≈ -1,472
- 3 + 2√5 ≈ 7,472
Đáp số: m ∈ (3 - 2√5; 3 + 2√5) hay xấp xỉ m ∈ (-1,47; 7,47)
💡 Mẹo nhớ: Tam thức bậc hai dương với mọi x ⟺ a > 0 và Δ < 0
⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi. Nhớ kiểm tra cả hai điều kiện: a > 0 VÀ Δ < 0.
Bài 6.18 (Trang 24)
Đề bài: Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
Cách 1 — Lập và giải bất phương trình
Bước 1: Thiết lập phương trình chuyển động
Với chuyển động rơi tự do có vận tốc đầu, độ cao h(t) được tính:
h(t) = h₀ - v₀t - (1/2)gt²
Trong đó:
- h₀ = 320 m (độ cao ban đầu)
- v₀ = 20 m/s (vận tốc ban đầu, hướng xuống)
- g = 10 m/s² (gia tốc trọng trường)
h(t) = 320 - 20t - 5t²
Bước 2: Lập bất phương trình
Điều kiện: vật cách mặt đất không quá 100 m
⟺ h(t) ≤ 100
⟺ 320 - 20t - 5t² ≤ 100
⟺ -5t² - 20t + 220 ≤ 0
⟺ 5t² + 20t - 220 ≥ 0
⟺ t² + 4t - 44 ≥ 0
Bước 3: Giải bất phương trình
Giải phương trình t² + 4t - 44 = 0:
- Δ = 16 + 176 = 192
- √Δ = √192 = 8√3 ≈ 13,86
- t₁ = (-4 - 8√3)/2 = -2 - 4√3 < 0 (loại vì t ≥ 0)
- t₂ = (-4 + 8√3)/2 = -2 + 4√3 ≈ 4,93
Bước 4: Kết luận
Vì t ≥ 0 và a = 1 > 0, bất phương trình t² + 4t - 44 ≥ 0 đúng khi t ≥ -2 + 4√3
Đáp số: Sau ít nhất -2 + 4√3 ≈ 4,93 giây (khoảng 5 giây)
#####