Giải Toán 10 - Tập 2 trang 26

Hai trang này thuộc Bài 18 "Phương trình quy về phương trình bậc hai" (sách Toán 10 – Tập 2, Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải toàn bộ hoạt động, ví dụ, luyện tập và bài vận dụng có trên hai trang.

Tóm tắt lý thuyết

Bài học giải hai dạng phương trình chứa căn thường gặp:

Dạng 1: $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}$

• Bình phương hai vế rồi giải phương trình nhận được.
• Thử lại các giá trị $x$ tìm được vào phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai.

Dạng 2: $\sqrt{ax^2+bx+c}=dx+e$

• Bình phương hai vế rồi giải phương trình nhận được.
• Thử lại nghiệm. Lưu ý vế trái không âm, nên nếu $dx+e<0$ thì $x$ không thể là nghiệm.

HĐ1: Phương trình $\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{-x^2-2x+2}$

a) Bình phương hai vế:
$$x^2-3x+2=-x^2-2x+2$$
$$2x^2-x=0 \Leftrightarrow x(2x-1)=0 \Leftrightarrow x=0 \text{ hoặc } x=\tfrac12$$

b) Thử lại:

• $x=0$: VT $=\sqrt{2}$, VP $=\sqrt{2}$ → thoả mãn.
• $x=\tfrac12$: $x^2-3x+2=\tfrac14-\tfrac32+2=\tfrac34$; $-x^2-2x+2=-\tfrac14-1+2=\tfrac34$ → thoả mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=\dfrac12$.

Luyện tập 1

a) $\sqrt{3x^2-6x+1}=\sqrt{-2x^2-9x+1}$

Bình phương hai vế:
$$3x^2-6x+1=-2x^2-9x+1 \Leftrightarrow 5x^2+3x=0 \Leftrightarrow x(5x+3)=0$$
$$x=0 \text{ hoặc } x=-\tfrac35$$

Thử lại (cả hai biểu thức dưới căn đều cho cùng giá trị không âm):

• $x=0$: dưới căn $=1\ge 0$ → thoả mãn.
• $x=-\tfrac35$: dưới căn $=\tfrac{142}{25}\ge 0$ → thoả mãn.

Vậy nghiệm là $x=0$ và $x=-\dfrac35$.

b) $\sqrt{2x^2-3x-5}=\sqrt{x^2-7}$

Bình phương hai vế:
$$2x^2-3x-5=x^2-7 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=1 \text{ hoặc } x=2$$

Thử lại:

• $x=1$: $x^2-7=-6<0$ → không xác định, loại.
• $x=2$: $x^2-7=-3<0$ → loại.

Vậy phương trình vô nghiệm.

HĐ2: Phương trình $\sqrt{26x^2-63x+38}=5x-6$

a) Bình phương hai vế:
$$26x^2-63x+38=(5x-6)^2=25x^2-60x+36$$
$$x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=1 \text{ hoặc } x=2$$

b) Thử lại (điều kiện $5x-6\ge 0$):

• $x=1$: VP $=5\cdot1-6=-1<0$ → loại.
• $x=2$: VP $=4\ge 0$; VT $=\sqrt{26\cdot4-63\cdot2+38}=\sqrt{16}=4$ → thoả mãn.

Vậy nghiệm là $x=2$.

Ví dụ 2 (đã có lời giải trong sách)

Phương trình $\sqrt{2x^2-5x-9}=x-1$ có nghiệm $x=5$. Ở đây $x=-2$ bị loại vì khi đó vế phải $x-1=-3<0$ trong khi vế trái luôn không âm.

Luyện tập 2

a) $\sqrt{2x^2+x+3}=1-x$

Bình phương hai vế:
$$2x^2+x+3=(1-x)^2=x^2-2x+1$$
$$x^2+3x+2=0 \Leftrightarrow x=-1 \text{ hoặc } x=-2$$

Thử lại (điều kiện $1-x\ge 0 \Leftrightarrow x\le 1$, cả hai đều thoả):

• $x=-1$: VT $=\sqrt{2-1+3}=\sqrt4=2$; VP $=1-(-1)=2$ → thoả mãn.
• $x=-2$: VT $=\sqrt{8-2+3}=\sqrt9=3$; VP $=1-(-2)=3$ → thoả mãn.

Vậy nghiệm là $x=-1$ và $x=-2$.

b) $\sqrt{3x^2-13x+14}=x-3$

Bình phương hai vế:
$$3x^2-13x+14=(x-3)^2=x^2-6x+9$$
$$2x^2-7x+5=0 \Leftrightarrow x=\tfrac52 \text{ hoặc } x=1$$

Thử lại (điều kiện $x-3\ge 0 \Leftrightarrow x\ge 3$):

• $x=\tfrac52<3$ → loại.
• $x=1<3$ → loại.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Vận dụng: Bài toán bác Việt và anh Nam

Mô hình hoá: trạm hải đăng ở $A$, bến Bính ở $B$, thôn Hoành ở $C$, $AB=4$ km, $BC=9{,}25$ km. Bác Việt cập bến ở $M$ với $BM=x$ ($x>0$).

Quãng đường bác Việt chèo thuyền: $AM=\sqrt{x^2+16}$ (tam giác vuông tại $B$), vận tốc 4 km/h.
Quãng đường anh Nam kéo xe: $MC=9{,}25-x$, vận tốc 5 km/h.

Hai người gặp nhau cùng lúc nên thời gian bằng nhau:
$$\frac{\sqrt{x^2+16}}{4}=\frac{9{,}25-x}{5}$$

Giải phương trình:
$$5\sqrt{x^2+16}=4(9{,}25-x)=37-4x$$
$$\sqrt{x^2+16}=\frac{37-4x}{5}$$

Bình phương hai vế:
$$25(x^2+16)=(37-4x)^2$$
$$25x^2+400=1369-296x+16x^2$$
$$9x^2+296x-969=0$$

Tính $\Delta=296^2+4\cdot9\cdot969=87616+34884=122500$, $\sqrt{\Delta}=350$.
$$x=\frac{-296\pm350}{18}$$
$$x=3 \quad \text{hoặc} \quad x=-\frac{646}{18}<0 \text{ (loại)}$$

Thử lại $x=3$: VP $=\dfrac{37-12}{5}=5$; VT $=\sqrt{9+16}=5$ → thoả mãn (và $37-4x=25>0$).

Vậy $BM=3$ km. Hai người dự định gặp nhau tại vị trí cách bến Bính 3 km về phía thôn Hoành (cách thôn Hoành 6,25 km).