Giải Toán 10 - Tập 2 trang 28
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 28–29
Hai trang này gồm phần Bài tập (cuối bài về phương trình quy về phương trình bậc hai) và phần Bài tập cuối chương VI. Mình giải lần lượt tất cả nhé.
Bài 6.20: Giải phương trình (dạng $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$)
Cách làm: bình phương hai vế, giải phương trình rồi thử lại điều kiện $g(x)\ge 0$.
a) $\sqrt{3x^2-4x-1}=\sqrt{2x^2-4x+3}$
$$3x^2-4x-1=2x^2-4x+3 \Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$$
Biểu thức $2x^2-4x+3$ luôn dương (vì $\Delta=16-24<0$) nên cả hai nghiệm đều thoả mãn.
Vậy $x=2$ hoặc $x=-2$.
b) $\sqrt{x^2+2x-3}=\sqrt{-2x^2+5}$
$$x^2+2x-3=-2x^2+5 \Rightarrow 3x^2+2x-8=0 \Rightarrow x=\tfrac{4}{3}\ \text{hoặc}\ x=-2$$
Thử $-2x^2+5\ge 0$: với $x=\tfrac43$ được $\tfrac{13}{9}>0$ ✓; với $x=-2$ được $-3<0$ ✗.
Vậy $x=\dfrac{4}{3}$.
c) $\sqrt{2x^2+3x-3}=\sqrt{-x^2-x+1}$
$$2x^2+3x-3=-x^2-x+1 \Rightarrow 3x^2+4x-4=0 \Rightarrow x=\tfrac23\ \text{hoặc}\ x=-2$$
Thử $-x^2-x+1\ge0$: $x=\tfrac23$ cho $-\tfrac19<0$ ✗; $x=-2$ cho $-1<0$ ✗.
Vậy phương trình vô nghiệm: $S=\varnothing$.
d) $\sqrt{-x^2+5x-4}=\sqrt{-2x^2+4x+2}$
$$-x^2+5x-4=-2x^2+4x+2 \Rightarrow x^2+x-6=0 \Rightarrow x=2\ \text{hoặc}\ x=-3$$
Thử $-2x^2+4x+2\ge0$: $x=2$ cho $2>0$ ✓; $x=-3$ cho $-28<0$ ✗.
Vậy $x=2$.
Bài 6.21: Giải phương trình (dạng $\sqrt{f(x)}=g(x)$)
Cách làm: đặt điều kiện $g(x)\ge0$, bình phương hai vế, đối chiếu điều kiện.
a) $\sqrt{6x^2+13x+13}=2x+4$
Điều kiện: $2x+4\ge0 \Leftrightarrow x\ge-2$.
$$6x^2+13x+13=4x^2+16x+16 \Rightarrow 2x^2-3x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$$
Cả hai nghiệm $\approx 2,19$ và $\approx -0,69$ đều $\ge -2$.
Vậy $x=\dfrac{3\pm\sqrt{33}}{4}$.
b) $\sqrt{2x^2+5x+3}=-3-x$
Điều kiện: $-3-x\ge0 \Leftrightarrow x\le-3$.
$$2x^2+5x+3=x^2+6x+9 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow x=3\ \text{hoặc}\ x=-2$$
Cả hai đều không thoả $x\le-3$. Vậy $S=\varnothing$.
c) $\sqrt{3x^2-17x+23}=x-3$
Điều kiện: $x\ge3$.
$$3x^2-17x+23=x^2-6x+9 \Rightarrow 2x^2-11x+14=0 \Rightarrow x=\tfrac72\ \text{hoặc}\ x=2$$
Chỉ $x=\tfrac72\ge3$ thoả mãn.
Vậy $x=\dfrac{7}{2}$.
d) $\sqrt{-x^2+2x+4}=x-2$
Điều kiện: $x\ge2$.
$$-x^2+2x+4=x^2-4x+4 \Rightarrow 2x^2-6x=0 \Rightarrow x=0\ \text{hoặc}\ x=3$$
Chỉ $x=3\ge2$ thoả mãn.
Vậy $x=3$.
Bài 6.22: Tứ giác ABCD, $AB\perp CD$
Đặt $H$ ở góc vuông, $HA=x$ (thẳng đứng), $HD$ nằm ngang.
Trong tam giác vuông $AHD$: $HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{25-x^2}$.
Tam giác vuông $HBC$ có $HB=x+2$, $HC=HD+8=\sqrt{25-x^2}+8$, cạnh huyền $BC=13$:
$$\left(\sqrt{25-x^2}+8\right)^2+(x+2)^2=169$$
Khai triển và rút gọn:
$$16\sqrt{25-x^2}=76-4x \Rightarrow 4\sqrt{25-x^2}=19-x$$
Bình phương:
$$16(25-x^2)=361-38x+x^2 \Rightarrow 17x^2-38x-39=0 \Rightarrow x=3\ (\text{loại } x<0)$$
Vậy $AH=x=3$, suy ra $HD=\sqrt{25-9}=4$.
Tính diện tích bằng hiệu hai tam giác vuông:
- $S_{HBC}=\tfrac12\cdot HB\cdot HC=\tfrac12\cdot5\cdot12=30$
- $S_{HAD}=\tfrac12\cdot HA\cdot HD=\tfrac12\cdot3\cdot4=6$
$$S_{ABCD}=S_{HBC}-S_{HAD}=30-6=\boxed{24}$$
Bài 6.23: Bài toán Hùng và Minh
Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ Minh ($A$) xuống lề đường, $AH=50$ m, $AB=200$ m.
$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{200^2-50^2}=50\sqrt{15}\approx193,6\ \text{m}$$
Đặt $HC=d$. Minh đi đoạn $AC=\sqrt{2500+d^2}$, Hùng đi đoạn $BC=50\sqrt{15}-d$.
Hai bạn đến $C$ cùng lúc nên thời gian bằng nhau (vận tốc 5 và 15 km/h):
$$\frac{AC}{5}=\frac{BC}{15} \Rightarrow 3\,AC=BC \Rightarrow 3\sqrt{2500+d^2}=50\sqrt{15}-d$$
Bình phương và rút gọn:
$$2d^2+25\sqrt{15}\,d-3750=0 \Rightarrow d=\frac{-25\sqrt{15}+\sqrt{39375}}{4}\approx 25,4\ \text{m}$$
Vậy điểm $C$ nằm trên lề đường, cách chân đường vuông góc $H$ khoảng $25{,}4$ m (cách $B$ khoảng $168{,}2$ m).
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
A – Trắc nghiệm
| Câu | Đáp án | Giải thích |
|---|---|---|
| 6.24 | B | $\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$ cần $x-2>0 \Rightarrow x>2$, nên $D=(2;+\infty)$ |
| 6.25 | D | Đỉnh $x=\dfrac{-b}{2a}=1$, $y=4$ nên $I(1;4)$ |
| 6.26 | C | $a>0$, đỉnh $x=\tfrac52$; nghịch biến trên $(-\infty;\tfrac52)\supset(-\infty;1)$ |
| 6.27 | A | Cần $\Delta'=m^2-4<0 \Leftrightarrow -2 |
| 6.28 | C | Giải dưới đây |
Chi tiết 6.28: $\sqrt{2x^2-3}=x-1$, điều kiện $x\ge1$.
$$2x^2-3=x^2-2x+1 \Rightarrow x^2+2x-4=0 \Rightarrow x=-1\pm\sqrt5$$
Chỉ $x=-1+\sqrt5\approx1,24\ge1$ thoả. Vậy $S=\{-1+\sqrt5\}$ → đáp án C.
B – Tự luận
Bài 6.29: Tìm tập xác định
a) $y=\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$: cần $2x-1\ge0$ và $5-x\ge0$, tức $\tfrac12\le x\le5$.
$$D=\left[\tfrac12;\,5\right]$$
b) $y=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$: cần $x-1>0$.
$$D=(1;+\infty)$$
Bài 6.30: Đồ thị, tập giá trị, khoảng biến thiên
| Hàm số | Đỉnh | Tập giá trị | Đồng biến | Nghịch biến |
|---|---|---|---|---|
| a) $y=-x^2+6x-9$ | $(3;0)$ | $(-\infty;0]$ | $(-\infty;3)$ | $(3;+\infty)$ |
| b) $y=-x^2-4x+1$ | $(-2;5)$ | $(-\infty;5]$ | $(-\infty;-2)$ | $(-2;+\infty)$ |
| c) $y=x^2+4x$ | $(-2;-4)$ | $[-4;+\infty)$ | $(-2;+\infty)$ | $(-\infty;-2)$ |
| d) $y=2x^2+2x+1$ | $(-\tfrac12;\tfrac12)$ | $[\tfrac12;+\infty)$ | $(-\tfrac12;+\infty)$ | $(-\infty;-\tfrac12)$ |
Lưu ý vẽ đồ thị: câu a, b có $a<0$ (parabol quay xuống), câu c, d có $a>0$ (parabol quay lên); xác định đỉnh và một vài điểm hai bên trục đối xứng để vẽ.
Bài 6.31: Xác định parabol $y=ax^2+bx+3$
a) Qua $A(1;1)$ và $B(-1;0)$:
$$\begin{cases} a+b+3=1\\ a-b+3=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a+b=-2\\ a-b=-3\end{cases} \Rightarrow a=-\tfrac52,\ b=\tfrac12$$
$$\boxed{y=-\tfrac52x^2+\tfrac12x+3}$$
b) Qua $M(1;2)$ và trục đối xứng $x=1$ (tức $-\tfrac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a$):
$$a+b+3=2 \Rightarrow a+b=-1 \Rightarrow a-2a=-1 \Rightarrow a=1,\ b=-2$$
$$\boxed{y=x^2-2x+3}$$
c) Có đỉnh $I(1;4)$: $-\tfrac{b}{2a}=1 \Rightarrow b=-2a$ và $a+b+3=4$:
$$a-2a=1 \Rightarrow a=-1,\ b=2$$
$$\boxed{y=-x^2+2x+3}$$
Bài 6.32: Giải bất phương trình
a) $2x^2-3x+1>0$. Nghiệm tam thức: $x=\tfrac12,\ x=1$; $a>0$ nên dương ngoài hai nghiệm.
$$S=\left(-\infty;\tfrac12\right)\cup(1;+\infty)$$
b) $x^2+5x+4<0$. Nghiệm: $x=-4,\ x=-1$; $a>0$ nên âm giữa hai nghiệm.
$$S=(-4;-1)$$
c) $-3x^2+12x-12\ge0 \Leftrightarrow x^2-4x+4\le0 \Leftrightarrow (x-2)^2\le0$.
$$S=\{2\}$$
d) $2x^2+2x+1<0$. Có $\Delta=4-8=-4<0$ và $a>0$ nên biểu thức luôn dương.
$$S=\varnothing$$
Mình đã giải trọn vẹn cả hai trang. Có chỗ nào em muốn mình giảng kỹ hơn (ví dụ cách vẽ đồ thị bài 6.30 hay lập phương trình bài 6.22) thì cứ nói nhé.