Giải Toán 10 - Tập 2 trang 32
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 32–33
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
- Vectơ n⃗ ≠ 0⃗ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ nếu giá của nó vuông góc với Δ.
- Nếu n⃗ là vectơ pháp tuyến của Δ thì kn⃗ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của Δ.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng
- Đường thẳng đi qua điểm A(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến n⃗(a; b) có phương trình:
a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0
- Dạng tổng quát: ax + by + c = 0 (với a và b không đồng thời bằng 0)
- Vectơ n⃗(a; b) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ax + by + c = 0.
3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Vectơ u⃗ ≠ 0⃗ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu giá của nó song song hoặc trùng với Δ.
- Nếu u⃗ là vectơ chỉ phương của Δ thì ku⃗ (k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của Δ.
- Hai vectơ n⃗(a; b) và u⃗(−b; a) vuông góc với nhau, nên nếu n⃗ là vectơ pháp tuyến thì u⃗ là vectơ chỉ phương và ngược lại.
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(−1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Cách 1 — Sử dụng vectơ pháp tuyến (Phương pháp cơ bản)
Bước 1: Xác định đường cao từ A
Đường cao kẻ từ A vuông góc với cạnh BC.
Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của BC
Ta có:
- B(2; 3), C(6; 1)
- BC⃗ = (6 − 2; 1 − 3) = (4; −2)
Bước 3: Xác định vectơ pháp tuyến của đường cao
Đường cao từ A vuông góc với BC, nên BC⃗ chính là vectơ pháp tuyến của đường cao.
Vectơ pháp tuyến: n⃗ = (4; −2) hoặc đơn giản hóa: n⃗ = (2; −1)
Bước 4: Lập phương trình đường cao
Đường cao đi qua A(−1; 5) với vectơ pháp tuyến n⃗(2; −1):
2(x − (−1)) + (−1)(y − 5) = 0
2(x + 1) − (y − 5) = 0
2x + 2 − y + 5 = 0
2x − y + 7 = 0
Cách 2 — Sử dụng điều kiện vuông góc (Phương pháp nhanh)
Đường cao từ A vuông góc với BC nên nhận BC⃗(4; −2) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường cao qua A(−1; 5):
4(x + 1) − 2(y − 5) = 0
4x + 4 − 2y + 10 = 0
4x − 2y + 14 = 0
Chia cả hai vế cho 2:
2x − y + 7 = 0
💡 Mẹo nhớ: Đường cao từ đỉnh A vuông góc với cạnh đối BC, nên vectơ BC⃗ chính là vectơ pháp tuyến của đường cao đó.
⚠️ Lưu ý thi: Có thể rút gọn vectơ pháp tuyến để phương trình đẹp hơn, nhưng không bắt buộc.
Luyện tập 2
Đề bài: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ: y = 3x + 4.
Cách 1 — Đưa về dạng tổng quát (Phương pháp cơ bản)
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tổng quát
y = 3x + 4
⟺ 3x − y + 4 = 0
Bước 2: Đọc vectơ pháp tuyến
Từ phương trình tổng quát ax + by + c = 0, ta có vectơ pháp tuyến n⃗(a; b).
Với 3x − y + 4 = 0, ta có: a = 3, b = −1
Vectơ pháp tuyến: n⃗ = (3; −1)
Cách 2 — Sử dụng hệ số góc (Phương pháp nhanh)
Đường thẳng y = mx + p có vectơ chỉ phương u⃗(1; m) và vectơ pháp tuyến n⃗(m; −1).
Với y = 3x + 4, ta có m = 3.
Vectơ pháp tuyến: n⃗ = (3; −1)
💡 Mẹo nhớ: - Đường thẳng y = mx + p có vectơ pháp tuyến (m; −1) và vectơ chỉ phương (1; m). - Hoặc có thể lấy n⃗ = (−m; 1) cũng đúng (nhân với −1).
⚠️ Lưu ý thi: Đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến (cùng phương với nhau). Các đáp án như (3; −1), (−3; 1), (6; −2) đều đúng.
🎯 Ghi nhớ: 1. Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗(a; b) và vectơ chỉ phương u⃗(−b; a). 2. Để lập phương trình đường thẳng, cần: 1 điểm + 1 vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương). 3. Đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC vuông góc với BC, nên BC⃗ là vectơ pháp tuyến của đường cao đó.