Giải Toán 10 - Tập 2 trang 34

🔍 Kiến thức cần nhớ

Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng Δ đi qua điểm A(x₀; y₀) và có vectơ chỉ phương u(a; b). Điểm M(x; y) thuộc đường thẳng Δ khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho AM = tu, hay:

x = x₀ + at
y = y₀ + bt

(t là tham số)

Mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

• Nếu đường thẳng có vectơ pháp tuyến n(A; B) thì vectơ chỉ phương là u(B; -A) hoặc u(-B; A)
• Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương u(a; b) thì vectơ pháp tuyến là n(b; -a) hoặc n(-b; a)

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 3

Đề bài: Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ: 2x − y + 1 = 0.

Cách 1 — Sử dụng vectơ pháp tuyến

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến từ phương trình tổng quát.

Đường thẳng Δ: 2x − y + 1 = 0 có dạng Ax + By + C = 0 với A = 2, B = −1.

Vectơ pháp tuyến: n = (2; −1)

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương.

Vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến, nên:

• u = (B; −A) = (−1; −2) hoặc u = (−B; A) = (1; 2)

Đáp số: Một vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là u = (1; 2) (hoặc u = (−1; −2))

Cách 2 — Tìm hai điểm trên đường thẳng

Bước 1: Tìm hai điểm thuộc đường thẳng.

• Cho x = 0 ⇒ −y + 1 = 0 ⇒ y = 1 → điểm A(0; 1)
• Cho x = 1 ⇒ 2 − y + 1 = 0 ⇒ y = 3 → điểm B(1; 3)

Bước 2: Tính vectơ chỉ phương.

AB = (1 − 0; 3 − 1) = (1; 2)

Đáp số: u = (1; 2)

💡 Mẹo nhớ: Từ phương trình Ax + By + C = 0, vectơ chỉ phương là (B; −A) hoặc (−B; A).

---

HĐ 4 (Hoạt động 4)

Đề bài: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc là v(3; 4).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t).

Câu a)

Phân tích: Vật chuyển động thẳng đều theo hướng vectơ vận tốc, nên quỹ đạo là đường thẳng đi qua điểm xuất phát với vectơ chỉ phương là vectơ vận tốc.

Lời giải:

• Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1)
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng chính là vectơ vận tốc: u = v = (3; 4)

Đáp số: Đường thẳng đi qua A(2; 1) với vectơ chỉ phương u = (3; 4)

Câu b)

Lời giải:

Gọi M(x; y) là vị trí của vật thể tại thời điểm t.

Theo công thức chuyển động thẳng đều:

• Quãng đường đi được theo phương x: x − x_A = v_x × t = 3t
• Quãng đường đi được theo phương y: y − y_A = v_y × t = 4t

Do đó:

• x = x_A + 3t = 2 + 3t
• y = y_A + 4t = 1 + 4t

Kết luận: Tại thời điểm t (t > 0), vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + 3t; 1 + 4t) (đpcm)

💡 Mẹo nhớ: Phương trình tham số của đường thẳng có ý nghĩa vật lý là mô tả quỹ đạo chuyển động thẳng đều, với t là thời gian.

---

Luyện tập 4

Đề bài: Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(−1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x − 4y − 1 = 0.

Cách 1 — Tìm vectơ chỉ phương từ đường thẳng song song

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Đường thẳng d: 3x − 4y − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (3; −4)

Vectơ chỉ phương của d: u = (−4; −3) hoặc u = (4; 3)

Bước 2: Vì Δ // d nên Δ có cùng vectơ chỉ phương với d.

Chọn u = (4; 3)

Bước 3: Lập phương trình tham số.

Đường thẳng Δ đi qua M(−1; 2) với vectơ chỉ phương u = (4; 3):

x = −1 + 4t
y = 2 + 3t

Cách 2 — Sử dụng tính chất đường song song

Hai đường thẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến và cùng vectơ chỉ phương.

Từ 3x − 4y − 1 = 0, ta có A = 3, B = −4

Vectơ chỉ phương: u = (B; −A) = (−4; −3), nhân với −1 được u = (4; 3)

Phương trình tham số của Δ qua M(−1; 2):

x = −1 + 4t
y = 2 + 3t

Đáp số:

x = −1 + 4t
y = 2 + 3t

⚠️ Lưu ý thi: Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (hoặc vectơ chỉ phương tỉ lệ).

---

Luyện tập 5

Đề bài: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) cho trước.

Lời giải

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương.

Vectơ AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Đặt a = x₂ − x₁ và b = y₂ − y₁

Bước 2: Lập phương trình tham số.

Đường thẳng AB đi qua A(x₁; y₁) với vectơ chỉ phương u = (a; b):

x = x₁ + (x₂ − x₁)t
y = y₁ + (y₂ − y₁)t

Bước 3: Lập phương trình tổng quát.

Từ vectơ chỉ phương u = (a; b), vectơ pháp tuyến là n = (b; −a) = (y₂ − y₁; x₁ − x₂)

Phương trình tổng quát:

(y₂ − y₁)(x − x₁) + (x₁ − x₂)(y − y₁) = 0

Hay:

(y₂ − y₁)x − (x₂ − x₁)y + (x₂ − x₁)y₁ − (y₂ − y₁)x₁ = 0

Đáp số:

• Phương trình tham số: x = x₁ + (x₂ − x₁)t và y = y₁ + (y₂ − y₁)t
• Phương trình tổng quát: (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0

---

Vận dụng (Bài toán nhiệt độ)

Đề bài: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C và đơn vị độ F được xác định bởi hai mốc sau:

• Nước đóng băng ở 0°C, 32°F
• Nước sôi ở 100°C, 212°F

Trong quy đổi đó, nếu a°C tương ứng với b°F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).

Hỏi 0°F, 100°F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Cách 1 — Lập phương trình đường thẳng AB

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

AB = (100 − 0; 212 − 32) = (100; 180)

Rút gọn: u = (5; 9)

Bước 2: Lập phương trình tham số.

Đường thẳng qua A(0; 32) với vectơ chỉ phương (5; 9):

x = 5t (tức là a = 5t)
y = 32 + 9t (tức là b = 32 + 9t)

Bước 3: Tìm độ C khi biết độ F.

Từ phương trình: b = 32 + 9t và a = 5t → t = a/5

Thay vào: b = 32 + 9(a/5) = 32 + 9a/5

Hay: b = 32 + 1,8a (công thức đổi °C sang °F)

Suy ra: a = (b − 32)/1,8 = 5(b − 32)/9

Bước 4: Tính kết quả.

• Khi b = 0°F: a = 5(0 − 32)/9 = 5 × (−32)/9 = −160/9 ≈ −17,78°C
• Khi b = 100°F: a = 5(100 − 32)/9 = 5 × 68/9 = 340/9 ≈ 37,78°C

Cách 2 — Sử dụng công thức nội suy tuyến tính

Bước 1: Thiết lập công thức quy đổi.

Mối quan hệ giữa °C và °F là tuyến tính, đi qua 2 điểm (0; 32) và (100; 212).

Hệ số góc: k = (212 − 32)/(100 − 0) = 180/100 = 9/5

Phương trình: F = 9/5 × C + 32

Suy ra: C = 5/9 × (F − 32)

Bước 2: Tính kết quả.

• Khi F = 0°F: C = 5/9 × (0 − 32) = −160/9 ≈ −17,78°C
• Khi F = 100°F: C = 5/9 × (100 − 32) = 5/9 × 68 = 340/9 ≈ 37,78°C

Đáp số:

• 0°F tương ứng với khoảng −17,78°C (hay −160/9 °C)
• 100°F tương ứng với khoảng 37,78°C (hay 340/9 °C)

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X: Bấm 5 ÷ 9 × ( 100 - 32 ) = để tính nhanh.

💡 Mẹo nhớ: Công thức đổi: C = 5(F − 32)/9 hoặc F = 9C/5 + 32

---

Bài 7.1

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ, cho n = (2; 1), v = (3; 2), A(1; 3), B(−2; 1).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến n.

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng Δ₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương v.

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.

Câu a)

Lời giải:

Đường thẳng Δ₁ đi qua A(1; 3) với vectơ pháp tuyến n = (2; 1).

Phương trình tổng quát: 2(x − 1) + 1(y − 3) = 0

⇔ 2x − 2 + y − 3 = 0

⇔ 2x + y − 5 = 0

Câu b)

Lời giải:

Đường thẳng Δ₂ đi qua B(−2; 1) với vectơ chỉ phương v = (3; 2).

Phương trình tham số:

x = −2 + 3t
y = 1 + 2t

Câu c)

Lời giải:

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương AB.

AB = (−2 − 1; 1 − 3) = (−3; −2)

Có thể chọn u = (3; 2) (nhân với −1)

Bước 2: Lập phương trình tham số.

Đường thẳng AB đi qua A(1; 3) với vectơ chỉ phương (3; 2):

x = 1 + 3t
y = 3 + 2t

Đáp số:

• a) 2x + y − 5 = 0
• b) x = −2 + 3t; y = 1 + 2t
• c) x = 1 + 3t; y = 3 + 2t

---

Bài 7.2

Đề bài: Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.

Lời giải

Trục Ox:

• Đi qua gốc O(0; 0)
• Có vectơ chỉ phương i = (1; 0)
• Vectơ pháp tuyến n = (0; 1)

Phương trình tổng quát: 0(x − 0) + 1(y − 0) = 0 ⇔ y = 0

Trục Oy:

• Đi qua gốc O(0; 0)
• Có vectơ chỉ phương j = (0; 1)
• Vectơ pháp tuyến n = (1; 0)

Phương trình tổng quát: 1(x − 0) + 0(y − 0) = 0 ⇔ x = 0

Đáp số:

• Trục Ox: y = 0
• Trục Oy: x = 0

---

Bài 7.3

Đề bài: Cho hai đường thẳng Δ₁: x = 1 + 2t; y = 3 + 5t và Δ₂: 2x + 3y − 5 = 0.

a) Lập phương trình tổng quát của Δ₁.

b) Lập phương trình tham số của Δ₂.

Câu a)

Lời giải:

Đường thẳng Δ₁ có:

• Điểm đi qua: M(1; 3) (khi t = 0)
• Vectơ chỉ phương: u = (2; 5)
• Vectơ pháp tuyến: n = (5; −2)

Phương trình tổng quát: 5(x − 1) − 2(y − 3) = 0

⇔ 5x − 5 − 2y + 6 = 0

⇔ 5x − 2y + 1 = 0

Câu b)

Lời giải:

Đường thẳng Δ₂: 2x + 3y − 5 = 0 có:

• Vectơ pháp tuyến: n = (2; 3)
• Vectơ chỉ phương: u = (3; −2)

Tìm một điểm thuộc Δ₂:

• Cho x = 1: 2 + 3y − 5 = 0 ⇒ y = 1 → điểm M(1; 1)

Phương trình tham số:

x = 1 + 3t
y = 1 − 2t

Đáp số:

• a) 5x − 2y + 1 = 0
• b) x = 1 + 3t; y = 1 − 2t

---

Bài 7.4

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(−2; −1).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.

Câu a) — Đường cao kẻ từ A

Phương pháp: Đường cao từ A vuông góc với BC, nên vectơ chỉ phương của đường cao là vectơ pháp tuyến của BC (tức là BC là vectơ pháp tuyến của đường cao).

Bước 1: Tìm vectơ BC.

BC = (−2 − 3; −1 − 0) = (−5; −1)

Bước 2: Lập phương trình đường cao từ A.

Đường cao từ A đi qua A(1; 2) với vectơ pháp tuyến n = BC = (−5; −1):

−5(x − 1) − 1(y − 2) = 0

⇔ −5x + 5 − y + 2 = 0

⇔ −5x − y + 7 = 0

⇔ 5x + y − 7 = 0

Câu b) — Đường trung tuyến kẻ từ B

Phương pháp: Đường trung tuyến từ B đi qua B và trung điểm M của AC.

Bước 1: Tìm trung điểm M của AC.

M = ((1 + (−2))/2; (2 + (−1))/2) = (−1/2; 1/2)

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương BM.

BM = (−1/2 − 3; 1/2 − 0) = (−7/2; 1/2)

Nhân 2: u = (−7; 1)

Bước 3: Lập phương trình đường trung tuyến.

Vectơ pháp tuyến: n = (1; 7)

Phương trình qua B(3; 0): 1(x − 3) + 7(y − 0) = 0

⇔ x + 7y − 3 = 0

Đáp số:

• a) Đường cao từ A: 5x + y − 7 = 0
• b) Đường trung tuyến từ B: x + 7y − 3 = 0

---

Bài 7.5

Đề bài: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là:

x/a + y/b = 1

Lời giải (Chứng minh)

Cách 1 — Sử dụng phương trình tổng quát

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương AB.

AB = (0 − a; b − 0) = (−a; b)

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến.

n = (b; a)

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng qua A(a; 0).

b(x − a) + a(y − 0) = 0

⇔ bx − ab + ay = 0

⇔ bx + ay = ab

Bước 4: Chia cả hai vế cho ab (ab ≠ 0).

bx/(ab) + ay/(ab) = 1

⇔ x/a + y/b = 1 (đpcm)

Cách 2 — Kiểm tra trực tiếp

Phương trình x/a + y/b = 1 có dạng đường thẳng (bậc nhất theo x, y).

Kiểm tra:

• Điểm A(a; 0): a/a + 0/b = 1 + 0 = 1 ✓
• Điểm B(0; b): 0/a + b/b = 0 + 1 = 1 ✓

Vì hai điểm phân biệt A, B đều thỏa mãn phương trình, nên phương trình x/a + y/b = 1 chính là phương trình đường thẳng AB.

Kết luận: Đường thẳng đi qua A(a; 0) và B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình x/a + y/b = 1 (đpcm)

💡 Mẹo nhớ: Phương trình đoạn chắn: x/a + y/b = 1, trong đó a là hoành độ giao điểm với Ox, b là tung độ giao điểm với Oy.

⚠️ Lưu ý thi: Dạng này hay dùng để lập phương trình đường thẳng khi biết đường thẳng cắt hai trục tọa độ.

---

Bài 7.6 (Chưa hoàn chỉnh trong trang)

Đề bài: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức...

⚠️ Lưu ý: Đề bài này bị cắt ở cuối trang 34. Phần còn lại của bài tập nằm ở trang tiếp theo.

---

🎯 Ghi nhớ

1. Phương trình tham số: x = x₀ + at; y = y₀ + bt với (x₀; y₀) là điểm thuộc đường thẳng, (a; b) là vectơ chỉ phương.

1. Chuyển đổi:

• Từ phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 → vectơ chỉ phương (B; −A)
• Từ vectơ chỉ phương (a; b) → vectơ pháp tuyến (b; −a)

1. Phương trình đoạn chắn: x/a + y/b = 1 (đường thẳng cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại (0; b))

1. Đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương.

1. Đường cao từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện → vectơ cạnh đối là vectơ pháp tuyến của đường cao.