Giải Toán 10 - Tập 2 trang 36

🔍 Kiến thức cần nhớ

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ:

• Δ₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0
• Δ₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ là nghiệm của hệ phương trình:

a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0

Mối quan hệ:

---

⚙️ Bài tập

Bài tập từ trang 35 (phần cuối)

Đề bài: Cho hệ phương trình mô tả vị trí máy bay:

x = 21,2 − (153/40)t
y = 105,8 + (9/5)t

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa?

---

Câu a

Đề bài: Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Phân tích:

• Đà Nẵng có tọa độ địa lý khoảng (108°E; 16°N), tức x ≈ 108 (kinh độ)
• Máy bay xuất phát từ Hà Nội và bay đến Đà Nẵng
• Cần tìm t sao cho x = 108 (đến Đà Nẵng)

Lời giải:

Từ phương trình: x = 21,2 − (153/40)t

Khi máy bay đến Đà Nẵng, ta cần xác định điều kiện dừng. Tuy nhiên, nhìn vào phương trình:

• x giảm dần theo t (vì hệ số của t âm)
• y tăng dần theo t

Xét thời điểm ban đầu t = 0:

• x(0) = 21,2
• y(0) = 105,8

Đây là tọa độ tương đối (có thể đã được chuyển đổi từ tọa độ địa lý).

Giả sử máy bay đến Đà Nẵng khi x = 0:

21,2 − (153/40)t = 0

(153/40)t = 21,2

t = 21,2 × 40/153 = 848/153 ≈ 5,54 giờ

Đáp án: Chuyến bay mất khoảng 5,5 giờ (5 giờ 32 phút)

Cách 2 — Phương pháp tính nhanh

t = 21,2 ÷ (153/40) = 21,2 × 40 ÷ 153 ≈ 5,54 giờ

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X Bấm: 21.2 × 40 ÷ 153 = → Kết quả ≈ 5,54

---

Câu b

Đề bài: Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa?

Cách 1 — Thay giá trị trực tiếp

Lời giải:

Tại t = 1 giờ, tính tọa độ y:

y = 105,8 + (9/5) × 1 = 105,8 + 1,8 = 107,6

Vĩ tuyến 17 tương ứng với y = 17 (theo hệ tọa độ địa lý chuẩn).

Tuy nhiên, trong hệ tọa độ này, y đại diện cho kinh độ hoặc một đại lượng đã chuyển đổi.

Phân tích theo ngữ cảnh:

• Nếu y biểu thị vĩ độ và máy bay bay từ Bắc vào Nam (Hà Nội → Đà Nẵng)
• Hà Nội ở khoảng vĩ độ 21°N, Đà Nẵng ở khoảng 16°N
• Vĩ tuyến 17 nằm giữa hai thành phố

Với y(1) = 107,6 và cần so sánh với giá trị tương ứng vĩ tuyến 17:

Nếu quy đổi: vĩ tuyến 17 tương ứng y = 17 trong hệ tọa độ chuẩn, nhưng theo phương trình đề bài có y ban đầu = 105,8 (giá trị lớn), ta cần xác định quy ước của đề.

Kết luận: Với y(1) = 107,6, so với y(0) = 105,8, máy bay đang di chuyển theo hướng y tăng. Cần thêm thông tin về quy ước tọa độ để kết luận chính xác.

Đáp án: Cần xem xét quy ước tọa độ trong bài toán gốc để xác định chính xác.

---

HĐ1 (Hoạt động 1 - Trang 36)

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng:

• Δ₁: x − 2y + 3 = 0
• Δ₂: 3x − y − 1 = 0

a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ:

x − 2y + 3 = 0
3x − y − 1 = 0

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ với nghiệm của hệ phương trình trên.

---

Câu a

Đề bài: Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

Cách 1 — Thay tọa độ vào phương trình

Lời giải:

Kiểm tra M(1; 2) có thuộc Δ₁ không:

Thay x = 1, y = 2 vào Δ₁: x − 2y + 3 = 0

VT = 1 − 2(2) + 3 = 1 − 4 + 3 = 0 = VP ✓

→ M(1; 2) thuộc Δ₁

Kiểm tra M(1; 2) có thuộc Δ₂ không:

Thay x = 1, y = 2 vào Δ₂: 3x − y − 1 = 0

VT = 3(1) − 2 − 1 = 3 − 2 − 1 = 0 = VP ✓

→ M(1; 2) thuộc Δ₂

Kết luận: Điểm M(1; 2) thuộc cả hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂.

Cách 2 — Nhận xét nhanh

Điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng đó.

Tính nhanh:

• Δ₁: 1 − 4 + 3 = 0 ✓
• Δ₂: 3 − 2 − 1 = 0 ✓

→ M thuộc cả hai đường thẳng.

---

Câu b

Đề bài: Giải hệ phương trình:

x − 2y + 3 = 0
3x − y − 1 = 0

Cách 1 — Phương pháp thế

Lời giải:

Từ phương trình (1): x − 2y + 3 = 0

→ x = 2y − 3 ... (*)

Thay (*) vào phương trình (2): 3x − y − 1 = 0

3(2y − 3) − y − 1 = 0

6y − 9 − y − 1 = 0

5y − 10 = 0

5y = 10

y = 2

Thay y = 2 vào (*):

x = 2(2) − 3 = 4 − 3 = 1

Đáp án: Nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 2)

Cách 2 — Phương pháp cộng đại số

Lời giải:

(1): x − 2y + 3 = 0   →  x − 2y = −3
(2): 3x − y − 1 = 0   →  3x − y = 1

Nhân (2) với (−2):

−6x + 2y = −2 ... (2')

Cộng (1) và (2'):

(x − 2y) + (−6x + 2y) = −3 + (−2)

−5x = −5

x = 1

Thay x = 1 vào (1):

1 − 2y = −3

−2y = −4

y = 2

Đáp án: (x; y) = (1; 2)

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X - Bấm: MENU → 5 (Equation) - Chọn 1 (Simultaneous) → 2 (2 unknowns) - Nhập: a₁ = 1, b₁ = −2, c₁ = −3 - Nhập: a₂ = 3, b₂ = −1, c₂ = 1 - Bấm = để xem kết quả: x = 1, y = 2

---

Câu c

Đề bài: Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Lời giải

Phân tích:

• Từ câu a: Điểm M(1; 2) thuộc cả Δ₁ và Δ₂
• Từ câu b: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 2)

Mối quan hệ:

Giao điểm của hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ là điểm thuộc cả hai đường thẳng, tức là điểm có tọa độ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình.

→ Tọa độ giao điểm của Δ₁ và Δ₂ chính là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng đó.

Kết luận: Tọa độ giao điểm M(1; 2) của Δ₁ và Δ₂ trùng khớp với nghiệm (1; 2) của hệ phương trình. Điều này cho thấy: Tìm giao điểm của hai đường thẳng tương đương với việc giải hệ phương trình gồm phương trình của hai đường thẳng đó.

---

🎯 Ghi nhớ: 1. Điểm thuộc đường thẳng khi tọa độ điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng. 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định qua nghiệm của hệ phương trình: - Hệ có nghiệm duy nhất → Hai đường thẳng cắt nhau - Hệ vô nghiệm → Hai đường thẳng song song - Hệ vô số nghiệm → Hai đường thẳng trùng nhau 3. Tọa độ giao điểm = Nghiệm của hệ phương trình

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng rất hay xuất hiện trong đề thi. Cần nhớ cách lập hệ và phân loại nghiệm nhanh chóng.