Giải Toán 10 - Tập 2 trang 38

Tóm tắt lý thuyết

Vị trí tương đối của hai đường thẳng (qua vectơ chỉ phương $\vec{u}$ hoặc vectơ pháp tuyến $\vec{n}$):

• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau $\Leftrightarrow$ $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ cùng phương.
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau $\Leftrightarrow$ $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ không cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ không cùng phương.

Khi $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ (hay $\vec{n_1}, \vec{n_2}$) cùng phương:

• Nếu có điểm chung thì hai đường trùng nhau.
• Nếu có điểm thuộc đường này nhưng không thuộc đường kia thì song song.

Góc giữa hai đường thẳng: là góc không tù trong bốn góc tạo thành (từ $0^\circ$ đến $90^\circ$). Hai đường song song hoặc trùng nhau thì góc bằng $0^\circ$.

Công thức tính góc với $\Delta_1: a_1x+b_1y+c_1=0$, $\Delta_2: a_2x+b_2y+c_2=0$:

$$\cos\varphi = \left|\cos\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)\right| = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} = \frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

Đặc biệt: $\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0$.

Luyện tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng

Câu a) $\Delta_1: x+4y-3=0$ và $\Delta_2: x-4y-3=0$

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_1}=(1;4)$, $\vec{n_2}=(1;-4)$.

Xét tích chéo:

$$1\cdot(-4) - 4\cdot 1 = -8 \neq 0$$

Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương.

Kết luận: $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.

(Tìm giao điểm: cộng hai phương trình được $2x-6=0 \Rightarrow x=3$, suy ra $4y=0 \Rightarrow y=0$. Giao điểm là $(3;0)$.)

Câu b) $\Delta_1: x+2y-\sqrt5=0$ và $\Delta_2: 2x+4y-3\sqrt5=0$

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n_1}=(1;2)$, $\vec{n_2}=(2;4)$.

Xét tích chéo:

$$1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0$$

Hai vectơ pháp tuyến cùng phương (vì $\vec{n_2}=2\vec{n_1}$), nên hai đường song song hoặc trùng nhau.

Kiểm tra một điểm: lấy điểm $M(\sqrt5; 0)$ thuộc $\Delta_1$ (vì $\sqrt5 - \sqrt5 = 0$). Thay vào $\Delta_2$:

$$2\sqrt5 + 0 - 3\sqrt5 = -\sqrt5 \neq 0$$

Điểm $M$ không thuộc $\Delta_2$.

Kết luận: $\Delta_1$ song song với $\Delta_2$.

HĐ2: Quan hệ giữa bốn góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Khi $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau, chúng tạo thành bốn góc (hình 7.6). Các góc này có quan hệ:

• Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau (góc $\alpha$ bằng góc đối diện nó, góc $\varphi$ bằng góc đối diện nó).
• Hai góc kề bù thì bù nhau: $\alpha + \varphi = 180^\circ$.

Như vậy bốn góc gồm hai cặp góc bằng nhau, một cặp có số đo $\alpha$ và một cặp có số đo $\varphi = 180^\circ - \alpha$.

HĐ3: Quan hệ giữa góc $\varphi$ và góc $\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1, \Delta_2$ (nên $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$), còn $\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$ là góc giữa hai vectơ pháp tuyến (có thể từ $0^\circ$ đến $180^\circ$).

Câu a) Quan hệ giữa $\varphi$ và góc $\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$

Nhìn hình 7.7, có hai trường hợp:

• Nếu $\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$ là góc nhọn hoặc vuông thì $\varphi = \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$.
• Nếu $\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$ là góc tù thì $\varphi = 180^\circ - \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$.

Tức là $\varphi$ bằng góc $\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$ hoặc bằng góc bù của nó, sao cho $\varphi$ không tù.

Câu b) Quan hệ giữa $\cos\varphi$ và $\cos\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$

Vì $\varphi$ luôn không tù nên $\cos\varphi \ge 0$. Từ hai trường hợp trên:

• Trường hợp 1: $\cos\varphi = \cos\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$.
• Trường hợp 2: $\cos\varphi = \cos\left(180^\circ - \left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)\right) = -\cos\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)$.

Gộp cả hai lại:
$$\cos\varphi = \left|\cos\left(\vec{n_1},\vec{n_2}\right)\right|$$

Đây chính là cơ sở để xây dựng công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong khung lý thuyết.

Tham khảo: Ví dụ trong sách

Ví dụ 1 (trang 37) minh họa cách xét vị trí: $\Delta$ và $\Delta_1$ trùng nhau (cùng một phương trình sau khi nhân $\sqrt3$), còn $\Delta$ song song với $\Delta_2$.

Ví dụ 2 (trang 38) tính góc giữa $\Delta_1: \sqrt3x-y+2=0$ và $\Delta_2: x-\sqrt3y-2=0$:
$$\cos\varphi = \frac{|\sqrt3\cdot1+(-1)(-\sqrt3)|}{\sqrt{3+1}\cdot\sqrt{1+3}} = \frac{2\sqrt3}{4} = \frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow \varphi = 30^\circ$$

Em nắm vững công thức $\cos\varphi = \dfrac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ là làm tốt phần này. Có chỗ nào chưa rõ cứ hỏi mình nhé!