Giải Toán 10 - Tập 2 trang 40

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Góc giữa hai đường thẳng

• Nếu Δ₁ có vectơ pháp tuyến n₁(a₁; b₁) và Δ₂ có vectơ pháp tuyến n₂(a₂; b₂), góc φ giữa hai đường thẳng được tính:

cos φ = |cos(n₁, n₂)| = |a₁a₂ + b₁b₂| / (√(a₁² + b₁²) × √(a₂² + b₂²))

• Nếu đường thẳng cho dưới dạng tham số với vectơ chỉ phương u, ta dùng vectơ chỉ phương thay cho vectơ pháp tuyến.

2. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

• Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0

d(M, Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 2

Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng Δ₁: x + 3y + 2 = 0 và Δ₂: y = 3x + 1.

---

Cách 1 — Sử dụng vectơ pháp tuyến

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi đường thẳng.

• Đường thẳng Δ₁: x + 3y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n₁(1; 3)

• Đường thẳng Δ₂: y = 3x + 1 ⟺ 3x − y + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n₂(3; −1)

Bước 2: Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| × |n₂|)

• n₁ · n₂ = 1 × 3 + 3 × (−1) = 3 − 3 = 0

• |n₁| = √(1² + 3²) = √10

• |n₂| = √(3² + (−1)²) = √10

Bước 3: Tính cos φ.

cos φ = |0| / (√10 × √10) = 0/10 = 0

Bước 4: Kết luận.

cos φ = 0 ⟹ φ = 90°

---

Cách 2 — Sử dụng hệ số góc

Bước 1: Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng.

• Δ₁: x + 3y + 2 = 0 ⟺ y = −x/3 − 2/3 ⟹ k₁ = −1/3

• Δ₂: y = 3x + 1 ⟹ k₂ = 3

Bước 2: Kiểm tra điều kiện vuông góc.

k₁ × k₂ = (−1/3) × 3 = −1

Bước 3: Kết luận.

Vì k₁ × k₂ = −1 nên hai đường thẳng vuông góc.

φ = 90°

💡 Mẹo nhớ: Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi k₁ × k₂ = −1 (với k₁, k₂ là hệ số góc)

⚠️ Lưu ý thi: Khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0, hai đường thẳng vuông góc!

---

Luyện tập 3

Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng:

• Δ₁: x = 2 + t, y = 1 − 2t
• Δ₂: x = 1 + t, y = 5 + 3t

---

Cách 1 — Sử dụng vectơ chỉ phương

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng.

• Δ₁ có vectơ chỉ phương u₁(1; −2)

• Δ₂ có vectơ chỉ phương u₂(1; 3)

Bước 2: Áp dụng công thức tính góc.

cos φ = |u₁ · u₂| / (|u₁| × |u₂|)

• u₁ · u₂ = 1 × 1 + (−2) × 3 = 1 − 6 = −5

• |u₁| = √(1² + (−2)²) = √5

• |u₂| = √(1² + 3²) = √10

Bước 3: Tính cos φ.

cos φ = |−5| / (√5 × √10) = 5 / √50 = 5 / (5√2) = 1/√2 = √2/2

Bước 4: Kết luận.

cos φ = √2/2 ⟹ φ = 45°

---

Cách 2 — Chuyển về phương trình tổng quát

Bước 1: Viết phương trình tổng quát của mỗi đường thẳng.

• Δ₁: Từ x = 2 + t và y = 1 − 2t, ta có t = x − 2 và t = (1 − y)/2

⟹ x − 2 = (1 − y)/2 ⟹ 2x − 4 = 1 − y ⟹ 2x + y − 5 = 0

Vectơ pháp tuyến n₁(2; 1)

• Δ₂: Từ x = 1 + t và y = 5 + 3t, ta có t = x − 1 và t = (y − 5)/3

⟹ x − 1 = (y − 5)/3 ⟹ 3x − 3 = y − 5 ⟹ 3x − y + 2 = 0

Vectơ pháp tuyến n₂(3; −1)

Bước 2: Tính góc.

cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| × |n₂|)

• n₁ · n₂ = 2 × 3 + 1 × (−1) = 6 − 1 = 5

• |n₁| = √(4 + 1) = √5

• |n₂| = √(9 + 1) = √10

cos φ = 5 / (√5 × √10) = 5/√50 = √2/2

φ = 45°

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X: Nhập cos⁻¹(√2÷2) để kiểm tra kết quả: SHIFT → cos → √2 ÷ 2 → = → Kết quả: 45°

---

Luyện tập 4

Đề bài: Cho đường thẳng Δ: y = ax + b, với a ≠ 0.

a) Chứng minh rằng Δ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng Δ₀ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với Δ.

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α_Δ và α_Δ₀.

d) Gọi M là giao điểm của Δ₀ với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tan α_Δ = a.

---

Câu a) Chứng minh Δ cắt trục hoành

Cách 1 — Phương pháp đại số

Bước 1: Trục hoành có phương trình y = 0.

Bước 2: Tìm giao điểm của Δ với trục hoành.

Cho y = 0: ax + b = 0 ⟹ x = −b/a

Vì a ≠ 0 nên x = −b/a xác định.

Bước 3: Kết luận.

Giao điểm A(−b/a; 0) luôn tồn tại.

Vậy Δ luôn cắt trục hoành tại điểm A(−b/a; 0). ∎

Cách 2 — Phương pháp hình học

Đường thẳng Δ: y = ax + b có hệ số góc a ≠ 0, nên Δ không song song với trục hoành.

Do đó, Δ phải cắt trục hoành.

---

Câu b) Lập phương trình đường thẳng Δ₀

Bước 1: Xác định điều kiện của Δ₀.

• Đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
• Song song hoặc trùng với Δ: y = ax + b

Bước 2: Đường thẳng song song với Δ có cùng hệ số góc a.

Đường thẳng qua O(0; 0) với hệ số góc a có phương trình:

y − 0 = a(x − 0)

Δ₀: y = ax

---

Câu c) Mối quan hệ giữa α_Δ và α_Δ₀

Phân tích:

• α_Δ là góc tạo bởi đường thẳng Δ với tia Ox dương (phần nằm phía trên trục hoành)
• α_Δ₀ là góc tạo bởi đường thẳng Δ₀ với tia Ox dương

Nhận xét:

Vì Δ và Δ₀ song song (cùng hệ số góc a), nên chúng tạo với trục hoành những góc bằng nhau.

Kết luận: α_Δ = α_Δ₀

💡 Mẹo nhớ: Hai đường thẳng song song tạo với một đường thẳng cắt chúng những góc so le trong bằng nhau!

---

Câu d) Chứng minh tan α_Δ = a

Cách 1 — Sử dụng tọa độ điểm M

Bước 1: Xác định điểm M.

M là giao điểm của Δ₀: y = ax với đường tròn đơn vị x² + y² = 1 (phần y ≥ 0 khi a > 0, y ≤ 0 khi a < 0).

Thay y = ax vào x² + y² = 1:

x² + a²x² = 1 ⟹ x²(1 + a²) = 1 ⟹ x² = 1/(1 + a²)

⟹ x = ±1/√(1 + a²)

Bước 2: Xác định x₀ và tung độ của M.

Với nửa đường tròn đơn vị (xét trường hợp a > 0, M nằm góc phần tư thứ I):

x₀ = 1/√(1 + a²)

Tung độ của M: y₀ = ax₀ = a/√(1 + a²)

Bước 3: Tính tan α_Δ.

Từ hình vẽ, trong tam giác vuông với:

• Cạnh đối = y₀ = a/√(1 + a²)
• Cạnh kề = x₀ = 1/√(1 + a²)

tan α_Δ₀ = y₀/x₀ = [a/√(1 + a²)] / [1/√(1 + a²)] = a

Bước 4: Kết luận.

Vì α_Δ = α_Δ₀ (từ câu c), nên:

tan α_Δ = a ∎

Cách 2 — Sử dụng định nghĩa hệ số góc

Hệ số góc của đường thẳng chính là tang của góc mà đường thẳng đó tạo với chiều dương trục Ox.

Δ có hệ số góc k = a, do đó theo định nghĩa: tan α_Δ = a

⚠️ Lưu ý thi: Đây là ý nghĩa hình học quan trọng của hệ số góc: k = tan α với α là góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương trục Ox.

---

HĐ4 (Hoạt động 4)

Đề bài: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến n(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng |n · HM| = √(a² + b²) × HM.

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: n · HM = a(x₀ − x₁) + b(y₀ − y₁) = ax₀ + by₀ + c.

c) Chứng minh rằng HM = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).

---

Câu a) Chứng minh |n · HM| = √(a² + b²) × HM

Bước 1: Phân tích vị trí hình học.

H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ, nên HM ⊥ Δ.

Vì n là vectơ pháp tuyến của Δ, nên n ∥ HM (cùng vuông góc với Δ).

Bước 2: Tính tích vô hướng.

Khi hai vectơ cùng phương, góc giữa chúng là 0° hoặc 180°.

|n · HM| = |n| × |HM| × |cos(0°)| = |n| × |HM| × 1

Bước 3: Tính |n|.

|n| = √(a² + b²)

Bước 4: Kết luận.

|n · HM| = √(a² + b²) × HM ∎

---

Câu b) Chứng minh n · HM = a(x₀ − x₁) + b(y₀ − y₁) = ax₀ + by₀ + c

Bước 1: Tính n · HM.

HM = (x₀ − x₁; y₀ − y₁)

n · HM = a(x₀ − x₁) + b(y₀ − y₁)

= ax₀ − ax₁ + by₀ − by₁

= ax₀ + by₀ − (ax₁ + by₁)

Bước 2: Sử dụng điều kiện H ∈ Δ.

Vì H(x₁; y₁) nằm trên Δ: ax + by + c = 0, nên:

ax₁ + by₁ + c = 0 ⟹ ax₁ + by₁ = −c

Bước 3: Thay vào biểu thức.

n · HM = ax₀ + by₀ − (−c) = ax₀ + by₀ + c ∎

---

Câu c) Chứng minh HM = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Bước 1: Từ câu a), ta có:

|n · HM| = √(a² + b²) × HM

Bước 2: Từ câu b), ta có:

n · HM = ax₀ + by₀ + c

Bước 3: Thay vào và giải.

|ax₀ + by₀ + c| = √(a² + b²) × HM

⟹ HM = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) ∎

🎯 Ghi nhớ: Đây chính là công thức khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0: d(M, Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

---

Luyện tập 5

Đề bài: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng Δ: x = 5 + 3t, y = −5 − 4t.

---

Cách 1 — Chuyển về phương trình tổng quát

Bước 1: Chuyển phương trình tham số về dạng tổng quát.

Từ x = 5 + 3t ⟹ t = (x − 5)/3

Từ y = −5 − 4t ⟹ t = (y + 5)/(−4) = −(y + 5)/4

Cho hai biểu thức bằng nhau:

(x − 5)/3 = −(y + 5)/4

⟹ 4(x − 5) = −3(y + 5)

⟹ 4x − 20 = −3y − 15

⟹ 4x + 3y − 5 = 0

Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách.

M(1; 2), Δ: 4x + 3y − 5 = 0

d(M, Δ) = |4 × 1 + 3 × 2 − 5| / √(4² + 3²)

= |4 + 6 − 5| / √(16 + 9)

= |5| / √25

= 5/5 = 1

---

Cách 2 — Sử dụng vectơ

Bước 1: Xác định một điểm trên Δ và vectơ chỉ phương.

Khi t = 0: điểm A(5; −5) ∈ Δ

Vectơ chỉ phương u(3; −4)

Bước 2: Tính AM.

AM = (1 − 5; 2 − (−5)) = (−4; 7)

Bước 3: Sử dụng công thức diện tích.

d(M, Δ) = |AM × u| / |u|

Với AM × u = (−4) × (−4) − 7 × 3 = 16 − 21 = −5

|u| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5

Bước 4: Tính khoảng cách.

d(M, Δ) = |−5| / 5 = 5/5 = 1

💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X Nhập: |4×1+3×2−5| ÷ √(4²+3²) = Phím: SHIFT → Abs → ( 4×1+3×2−5 ) → ÷ → √ → ( 16+9 ) → =

⚠️ Lưu ý thi: Khi đề cho phương trình tham số, bước đầu tiên luôn là chuyển về dạng tổng quát ax + by + c = 0 để áp dụng công thức!

---

🎯 Tổng kết kiến thức