Giải Toán 10 - Tập 2 trang 42
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 42–43
Hai trang này gồm phần Vận dụng (bài toán ao cá), mục BÀI TẬP (7.7 – 7.12) và mục "Em có biết?" giới thiệu phần mềm GeoGebra. Mình giải chi tiết toàn bộ nhé.
Tóm tắt lý thuyết áp dụng
- Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}, \vec{n_2}$:
- Cắt nhau khi $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ không cùng phương; song song/trùng khi cùng phương.
- Vuông góc khi $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$.
- Góc giữa hai đường thẳng: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}$ (dùng vectơ chỉ phương cũng được).
- Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến $\Delta: ax+by+c=0$ là $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
Vận dụng: Bài toán ao cá
Hình chữ nhật $ABCD$ với $AD=15$ m (chiều dài), $AB=12$ m (chiều rộng); $AE=5$ m, $CF=6$ m. Chọn $O\equiv B$, tia $Ox\equiv BC$, tia $Oy\equiv BA$, đơn vị ứng với 1 m.
a) Xác định tọa độ và viết phương trình $EF$
Theo hình: $A$ trên, $B$ dưới (cùng cạnh trái), $C$ dưới phải, $D$ trên phải, $E$ trên cạnh $AD$, $F$ trên cạnh $CD$.
- $B=O=(0;0)$
- $C$ nằm trên $Ox$, $BC=AD=15 \Rightarrow C=(15;0)$
- $A$ nằm trên $Oy$, $BA=12 \Rightarrow A=(0;12)$
- $D=(15;12)$
- $E$ trên $AD$, $AE=5 \Rightarrow E=(5;12)$
- $F$ trên $CD$, $CF=6 \Rightarrow F=(15;6)$
Phương trình $EF$ qua $E(5;12)$ và $F(15;6)$:
Vectơ chỉ phương $\vec{EF}=(10;-6)$, suy ra vectơ pháp tuyến $(6;10)$ hay rút gọn $(3;5)$.
$$3(x-5)+5(y-12)=0 \;\Rightarrow\; 3x+5y-75=0.$$
b) Lưỡi câu có rơi vào nơi nuôi vịt không?
Nam đứng tại $B(0;0)$, quăng xa 10,7 m. Nơi nuôi vịt là tam giác $DEF$, cạnh gần $B$ nhất nằm trên đường $EF$. Khoảng cách từ $B$ đến $EF$:
$$d(B,EF)=\frac{|3\cdot0+5\cdot0-75|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{75}{\sqrt{34}}\approx 12,86 \text{ (m)}.$$
Vì $10,7 < 12,86$ nên lưỡi câu KHÔNG thể rơi vào nơi nuôi vịt.
Bài 7.7: Xét vị trí tương đối
a) $\Delta_1: 3\sqrt2\,x+\sqrt2\,y-\sqrt3=0$ và $\Delta_2: 6x+2y-\sqrt6=0$.
Nhân $\Delta_1$ với $\sqrt2$: $6x+2y-\sqrt6=0$ chính là $\Delta_2$.
→ Hai đường thẳng trùng nhau.
b) $d_1: x-\sqrt3\,y+2=0$ và $d_2: \sqrt3\,x-3y+2=0$.
Pháp tuyến $(1;-\sqrt3)$ và $(\sqrt3;-3)$. Ta có $\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{-\sqrt3}{-3}$ (cùng phương) nhưng $\dfrac{1}{\sqrt3}\neq\dfrac{2}{2}$ (hệ số tự do khác tỉ lệ).
→ Hai đường thẳng song song.
c) $m_1: x-2y+1=0$ và $m_2: 3x+y-2=0$.
Pháp tuyến $(1;-2)$ và $(3;1)$: $1\cdot3+(-2)\cdot1=1\neq0$ và không cùng phương.
→ Hai đường thẳng cắt nhau (không vuông góc).
Bài 7.8: Tính góc giữa hai đường thẳng
a) $\Delta_1:\sqrt3\,x+y-4=0$, $\Delta_2: x+\sqrt3\,y+3=0$.
$\vec{n_1}=(\sqrt3;1)$, $\vec{n_2}=(1;\sqrt3)$.
$$\cos\varphi=\frac{|\sqrt3\cdot1+1\cdot\sqrt3|}{2\cdot2}=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \varphi=30^\circ.$$
b) $d_1:\begin{cases}x=-1+2t\\y=3+4t\end{cases}$ có $\vec{u_1}=(2;4)$; $d_2:\begin{cases}x=3+s\\y=1-3s\end{cases}$ có $\vec{u_2}=(1;-3)$.
$$\cos\varphi=\frac{|2\cdot1+4\cdot(-3)|}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{200}}=\frac{1}{\sqrt2}\Rightarrow \varphi=45^\circ.$$
Bài 7.9: Điểm A(0; –2), Δ: x + y – 4 = 0
a) Khoảng cách:
$$d(A,\Delta)=\frac{|0+(-2)-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2.$$
b) Đường $a$ qua $M(-1;0)$, song song $\Delta$: dạng $x+y+c=0$. Thay $M$: $-1+0+c=0\Rightarrow c=1$.
$$a: x+y+1=0.$$
c) Đường $b$ qua $N(0;3)$, vuông góc $\Delta$: pháp tuyến của $b$ là $(1;-1)$, dạng $x-y+c=0$. Thay $N$: $0-3+c=0\Rightarrow c=3$.
$$b: x-y+3=0.$$
Bài 7.10: Tam giác ABC, A(1;0), B(3;2), C(–2;–1)
a) Đường cao từ $A$ = khoảng cách từ $A$ đến $BC$.
Đường $BC$ qua $B(3;2)$, $\vec{BC}=(-5;-3)$ → pháp tuyến $(3;-5)$:
$$3(x-3)-5(y-2)=0\Rightarrow 3x-5y+1=0.$$
$$h_A=d(A,BC)=\frac{|3\cdot1-5\cdot0+1|}{\sqrt{34}}=\frac{4}{\sqrt{34}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}.$$
b) Diện tích:
$$BC=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2}=\sqrt{34},\quad S=\frac12\cdot BC\cdot h_A=\frac12\cdot\sqrt{34}\cdot\frac{4}{\sqrt{34}}=2.$$
Diện tích tam giác $ABC$ bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 7.11: Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng
Viết lại: $d: ax-y+b=0$ có pháp tuyến $\vec{n}=(a;-1)$; $d': a'x-y+b'=0$ có $\vec{n'}=(a';-1)$.
$d\perp d'\iff \vec{n}\cdot\vec{n'}=0\iff a\cdot a'+(-1)(-1)=0\iff aa'+1=0\iff aa'=-1.$
Vậy $d\perp d'$ khi và chỉ khi $aa'=-1$ (điều phải chứng minh).
Bài 7.12: Xác định vị trí phát tín hiệu
Ba thiết bị $O(0;0)$, $A(1;0)$, $B(1;3)$ nhận tín hiệu cùng lúc → cùng cách nguồn phát một khoảng. Gọi nguồn phát $P(x;y)$ thì $PO=PA=PB$.
Từ $PO^2=PA^2$:
$$x^2+y^2=(x-1)^2+y^2\Rightarrow 0=-2x+1\Rightarrow x=\tfrac12.$$
Từ $PO^2=PB^2$:
$$x^2+y^2=(x-1)^2+(y-3)^2\Rightarrow 0=-2x+1-6y+9\Rightarrow x+3y=5.$$
Thay $x=\tfrac12$: $3y=\tfrac92\Rightarrow y=\tfrac32$.
Vậy vị trí phát tín hiệu là $P\left(\dfrac12;\dfrac32\right)$ (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$).
Em có biết? (Cơ sở toán học trong GeoGebra)
Phần này không có bài tập, chỉ minh họa: GeoGebra dựa trên đúng các công thức trong bài học để tự động tính toán.
- Vẽ ba điểm, phần mềm hiển thị tọa độ $A(2;4)$, $B(-4;1)$, $C(3;-2)$.
- Vẽ đường thẳng $\Delta$ qua $A,B$, phần mềm cho phương trình $x-2y+6=0$.
- Tính khoảng cách từ $C$ tới $\Delta$, phần mềm trả về $5,81$.
Bạn có thể kiểm tra lại bằng tay: $d(C,\Delta)=\dfrac{|3-2\cdot(-2)+6|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{13}{\sqrt5}\approx 5,81$, đúng như phần mềm tính. Đây chính là công thức khoảng cách đã học.