Giải Toán 10 - Tập 2 trang 44
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 44–45
🔍 Kiến thức cần nhớ
Phương trình đường tròn
Dạng 1 - Phương trình chính tắc:
Đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R có phương trình:
(x - a)² + (y - b)² = R²
Dạng 2 - Phương trình tổng quát:
x² + y² - 2ax - 2by + c = 0
Điều kiện để là phương trình đường tròn: a² + b² - c > 0
Khi đó:
- Tâm I(a; b)
- Bán kính R = √(a² + b² - c)
Các trường hợp:
- Nếu a² + b² - c > 0: Phương trình biểu diễn đường tròn
- Nếu a² + b² - c = 0: Tập hợp điểm chỉ gồm một điểm I(a; b)
- Nếu a² + b² - c < 0: Tập hợp điểm là tập rỗng
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): (x + 2)² + (y - 4)² = 7.
Cách 1 — So sánh với phương trình chính tắc
Bước 1: Viết phương trình chính tắc chuẩn
- Phương trình chính tắc: (x - a)² + (y - b)² = R²
Bước 2: So sánh với phương trình đã cho
- (x + 2)² + (y - 4)² = 7
- Viết lại: (x - (-2))² + (y - 4)² = (√7)²
Bước 3: Xác định tâm và bán kính
- Tâm I(-2; 4)
- Bán kính R = √7
Cách 2 — Khai triển về dạng tổng quát
Bước 1: Khai triển phương trình
- (x + 2)² + (y - 4)² = 7
- x² + 4x + 4 + y² - 8y + 16 = 7
- x² + y² + 4x - 8y + 13 = 0
Bước 2: So sánh với dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0
- -2a = 4 → a = -2
- -2b = -8 → b = 4
- c = 13
Bước 3: Tính bán kính
- R = √(a² + b² - c) = √(4 + 16 - 13) = √7
Kết luận: Tâm I(-2; 4), bán kính R = √7
💡 Mẹo nhớ: Với dạng (x + m)² + (y + n)² = R², tâm là (-m; -n). Dấu trong ngoặc đổi thành dấu ngược lại!
Luyện tập 2
Đề bài: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) x² - y² - 2x + 4y - 1 = 0
b) x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0
c) x² + y² + 6x - 4y + 2 = 0
Câu a) x² - y² - 2x + 4y - 1 = 0
Cách 1 — Kiểm tra dạng phương trình
Phân tích: Phương trình đường tròn dạng tổng quát có dạng:
x² + y² - 2ax - 2by + c = 0
Trong đó hệ số của x² và y² đều bằng 1 (cùng dấu và cùng giá trị).
Kiểm tra phương trình đã cho:
- Hệ số của x² là +1
- Hệ số của y² là -1
Hai hệ số này khác dấu nên phương trình KHÔNG là phương trình đường tròn.
Kết luận: Phương trình x² - y² - 2x + 4y - 1 = 0 không phải là phương trình đường tròn.
⚠️ Lưu ý thi: Bước đầu tiên luôn kiểm tra hệ số của x² và y² phải bằng nhau và cùng dấu dương!
Câu b) x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0
Cách 1 — Kiểm tra điều kiện a² + b² - c > 0
Bước 1: Xác định a, b, c
So sánh với x² + y² - 2ax - 2by + c = 0:
- -2a = -2 → a = 1
- -2b = 4 → b = -2
- c = 6
Bước 2: Kiểm tra điều kiện
- a² + b² - c = 1² + (-2)² - 6 = 1 + 4 - 6 = -1 < 0
Kết luận: Vì a² + b² - c = -1 < 0 nên phương trình không phải là phương trình đường tròn (tập hợp điểm là tập rỗng).
Cách 2 — Biến đổi về dạng chính tắc
Bước 1: Nhóm và biến đổi
- x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0
- (x² - 2x) + (y² + 4y) + 6 = 0
- (x² - 2x + 1) - 1 + (y² + 4y + 4) - 4 + 6 = 0
- (x - 1)² + (y + 2)² + 1 = 0
- (x - 1)² + (y + 2)² = -1
Nhận xét: Vế trái là tổng hai bình phương nên luôn ≥ 0, không thể bằng -1.
Kết luận: Phương trình không phải là phương trình đường tròn.
💡 Mẹo bấm máy: Tính nhanh a² + b² - c bằng cách nhập trực tiếp: 1² + (-2)² - 6 = được kết quả -1.
Câu c) x² + y² + 6x - 4y + 2 = 0
Cách 1 — Kiểm tra điều kiện và tìm tâm, bán kính
Bước 1: Xác định a, b, c
So sánh với x² + y² - 2ax - 2by + c = 0:
- -2a = 6 → a = -3
- -2b = -4 → b = 2
- c = 2
Bước 2: Kiểm tra điều kiện
- a² + b² - c = (-3)² + 2² - 2 = 9 + 4 - 2 = 11 > 0 ✓
Bước 3: Xác định tâm và bán kính
- Tâm I(a; b) = I(-3; 2)
- Bán kính R = √(a² + b² - c) = √11
Kết luận: Phương trình là phương trình đường tròn với tâm I(-3; 2) và bán kính R = √11.
Cách 2 — Biến đổi về dạng chính tắc
Bước 1: Nhóm và hoàn thiện bình phương
- x² + y² + 6x - 4y + 2 = 0
- (x² + 6x) + (y² - 4y) + 2 = 0
- (x² + 6x + 9) - 9 + (y² - 4y + 4) - 4 + 2 = 0
- (x + 3)² + (y - 2)² - 11 = 0
- (x + 3)² + (y - 2)² = 11
Bước 2: So sánh với dạng chính tắc
- (x - (-3))² + (y - 2)² = (√11)²
Kết luận: Tâm I(-3; 2), bán kính R = √11.
Tổng kết Luyện tập 2
| Phương trình | Là đường tròn? | Tâm | Bán kính |
|---|---|---|---|
| a) x² - y² - 2x + 4y - 1 = 0 | Không (hệ số x², y² khác dấu) | — | — |
| b) x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0 | Không (a² + b² - c < 0) | — | — |
| c) x² + y² + 6x - 4y + 2 = 0 | Có | I(-3; 2) | √11 |
🎯 Ghi nhớ: Để kiểm tra phương trình đường tròn: 1. Hệ số x² và y² phải bằng nhau (thường quy về 1) 2. Tính a² + b² - c với: a = -(hệ số x)/2, b = -(hệ số y)/2, c = hằng số 3. Điều kiện: a² + b² - c > 0 Công thức nhanh: - Tâm I(a; b) với a = -(hệ số x)/2, b = -(hệ số y)/2 - Bán kính R = √(a² + b² - c)