Giải Toán 10 - Tập 2 trang 46
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 46–47
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình đường tròn
- Dạng chính tắc: (x - a)² + (y - b)² = R² với tâm I(a; b), bán kính R
- Dạng khai triển: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 với điều kiện a² + b² - c > 0
- Tâm I(a; b), bán kính R = √(a² + b² - c)
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
- Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn (C): (x - a)² + (y - b)² = R²
- Tiếp tuyến tại M có vectơ pháp tuyến: MI = (a - x₀; b - y₀)
- Phương trình tiếp tuyến: (a - x₀)(x - x₀) + (b - y₀)(y - y₀) = 0
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3
Đề bài: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8).
Cách 1 — Phương pháp lập hệ phương trình
Bước 1: Gọi phương trình đường tròn có dạng: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Bước 2: Thay tọa độ ba điểm vào phương trình:
- Điểm M(4; -5): 16 + 25 + 4D - 5E + F = 0 → 4D - 5E + F = -41 ... (1)
- Điểm N(2; -1): 4 + 1 + 2D - E + F = 0 → 2D - E + F = -5 ... (2)
- Điểm P(3; -8): 9 + 64 + 3D - 8E + F = 0 → 3D - 8E + F = -73 ... (3)
Bước 3: Giải hệ phương trình:
Từ (1) - (2): 2D - 4E = -36 → D - 2E = -18 ... (4)
Từ (2) - (3): -D + 7E = 68 ... (5)
Từ (4) + (5): 5E = 50 → E = 10
Thay vào (4): D - 20 = -18 → D = 2
Thay D = 2, E = 10 vào (2): 4 - 10 + F = -5 → F = 1
Bước 4: Kiểm tra điều kiện:
- a = -D/2 = -1, b = -E/2 = -5
- a² + b² - F = 1 + 25 - 1 = 25 > 0 ✓
Kết quả: Phương trình đường tròn (C): x² + y² + 2x + 10y + 1 = 0
Hay dạng chính tắc: (x + 1)² + (y + 5)² = 25
Cách 2 — Phương pháp tìm tâm qua đường trung trực
Bước 1: Tâm I nằm trên đường trung trực của MN và NP
Đường trung trực của MN:
- Trung điểm MN: ((4+2)/2; (-5-1)/2) = (3; -3)
- Vectơ MN = (-2; 4), nhận làm vectơ pháp tuyến
- Phương trình: -2(x - 3) + 4(y + 3) = 0 → -2x + 4y + 18 = 0 → x - 2y - 9 = 0 ... (d₁)
Đường trung trực của NP:
- Trung điểm NP: ((2+3)/2; (-1-8)/2) = (5/2; -9/2)
- Vectơ NP = (1; -7), nhận làm vectơ pháp tuyến
- Phương trình: 1(x - 5/2) - 7(y + 9/2) = 0 → x - 7y - 34 = 0 ... (d₂)
Bước 2: Tìm giao điểm d₁ và d₂:
Từ hệ: x - 2y = 9 và x - 7y = 34
Trừ hai phương trình: 5y = -25 → y = -5
Thay lại: x = 9 + 2(-5) = -1
Tâm I(-1; -5)
Bước 3: Tính bán kính: R = IM = √[(4-(-1))² + (-5-(-5))²] = √25 = 5
Kết quả: (x + 1)² + (y + 5)² = 25
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Dùng chức năng giải hệ 3 ẩn: MODE → 5 (EQN) → 2 (anX + bnY + cnZ = dn) Nhập các hệ số từ hệ phương trình (1), (2), (3)
Bài Vận dụng (Hồ bơi)
Đề bài: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π = 3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Cách 1 — Sử dụng phương pháp đường tròn tiếp xúc đường thẳng
Bước 1: Đặt ẩn
- Gọi x (m) là bán kính bể hình tròn (x > 0)
- Gọi y (m) là bán kính mỗi bể nửa hình tròn (y > 0)
Bước 2: Lập phương trình ràng buộc chu vi
Tổng chu vi = Chu vi hình tròn + 2 × (Nửa chu vi hình tròn + đường kính)
= 2πx + 2 × (πy + 2y) = 2πx + 2πy + 4y
Theo đề: 2 × 3,14 × x + 2 × 3,14 × y + 4y = 32
→ 6,28x + 6,28y + 4y = 32
→ 6,28x + 10,28y = 32
Rút gọn: 1,57x + 2,57y - 8 = 0 ... (Δ)
Bước 3: Biểu diễn tổng diện tích
Tổng diện tích S = πx² + 2 × (πy²/2) = πx² + πy² = 3,14(x² + y²)
Vậy: x² + y² = S/3,14
Bước 4: Bài toán tối ưu hóa
Trong mặt phẳng Oxy, xét:
- Đường tròn (C): x² + y² = S/3,14 có tâm O(0; 0), bán kính R = √(S/3,14)
- Đường thẳng Δ: 1,57x + 2,57y - 8 = 0
Để S nhỏ nhất thì R nhỏ nhất, tức (C) và Δ có ít nhất một điểm chung với hoành độ và tung độ dương.
Bước 5: Tìm R nhỏ nhất
R nhỏ nhất khi (C) tiếp xúc với Δ tại điểm có x > 0, y > 0
Khoảng cách từ O đến Δ: d = |1,57 × 0 + 2,57 × 0 - 8| / √(1,57² + 2,57²)
= 8 / √(2,4649 + 6,6049) = 8 / √9,0698 ≈ 8 / 3,012 ≈ 2,66
Vậy R_min ≈ 2,66 m
Bước 6: Tìm x và y (tọa độ tiếp điểm)
Tiếp điểm H nằm trên đường thẳng OH vuông góc với Δ và đi qua O.
Phương trình OH: y/x = 2,57/1,57 → y = (2,57/1,57)x ≈ 1,637x
Thay vào Δ: 1,57x + 2,57 × 1,637x = 8
→ 1,57x + 4,207x = 8
→ 5,777x = 8
→ x ≈ 1,38 m
y ≈ 1,637 × 1,38 ≈ 2,26 m
Kết quả:
- Bán kính bể hình tròn: x ≈ 1,38 m
- Bán kính mỗi bể nửa hình tròn: y ≈ 2,26 m
Cách 2 — Phương pháp thế trực tiếp và đạo hàm (tham khảo)
Từ ràng buộc: x = (8 - 2,57y)/1,57
Thay vào S = 3,14(x² + y²) và tìm cực tiểu bằng đạo hàm.
⚠️ Lưu ý: Bài này yêu cầu áp dụng kiến thức hình học tọa độ để giải bài toán tối ưu - dạng thường gặp trong đề thi.
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 25 và điểm M(4; -2).
a) Chứng minh điểm M(4; -2) thuộc đường tròn (C)
Giải:
Thay tọa độ M(4; -2) vào vế trái phương trình (C):
VT = (4 - 1)² + (-2 - 2)² = 3² + (-4)² = 9 + 16 = 25 = VP ✓
Kết luận: Điểm M(4; -2) thuộc đường tròn (C).
b) Xác định tâm và bán kính của (C)
Giải:
So sánh với dạng chính tắc (x - a)² + (y - b)² = R²:
- Tâm I(a; b) = I(1; 2)
- Bán kính R = √25 = 5
c) Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại M
Giải:
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến
Tiếp tuyến tại M vuông góc với bán kính IM, nên vectơ IM là vectơ pháp tuyến của Δ.
IM = (4 - 1; -2 - 2) = (3; -4)
Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyến Δ đi qua M(4; -2) với vectơ pháp tuyến (3; -4):
3(x - 4) + (-4)(y - (-2)) = 0
3(x - 4) - 4(y + 2) = 0
3x - 12 - 4y - 8 = 0
Phương trình tiếp tuyến Δ: 3x - 4y - 20 = 0
💡 Mẹo nhớ: Vectơ IM (từ tâm đến tiếp điểm) luôn là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại điểm đó.
Luyện tập 4
Đề bài: Cho đường tròn (C): x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm N(1; 0).
Cách 1 — Sử dụng vectơ pháp tuyến
Bước 1: Tìm tâm và kiểm tra điểm N thuộc (C)
Phương trình (C): x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0
Viết lại: (x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 1 - 1 + 4 = 4
→ (x - 1)² + (y + 2)² = 4
Tâm I(1; -2), bán kính R = 2
Kiểm tra: (1 - 1)² + (0 + 2)² = 0 + 4 = 4 ✓ → N ∈ (C)
Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến
IN = (1 - 1; 0 - (-2)) = (0; 2)
Có thể chọn vectơ pháp tuyến đơn giản hơn: n = (0; 1)
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyến Δ qua N(1; 0) với vectơ pháp tuyến (0; 1):
0(x - 1) + 1(y - 0) = 0
Phương trình tiếp tuyến Δ: y = 0
Cách 2 — Sử dụng công thức tiếp tuyến
Áp dụng công thức: (a - x₀)(x - x₀) + (b - y₀)(y - y₀) = 0
Với tâm I(1; -2), tiếp điểm N(1; 0):
(1 - 1)(x - 1) + (-2 - 0)(y - 0) = 0
0 - 2y = 0
y = 0
💡 Nhận xét: Tiếp tuyến là đường thẳng nằm ngang (trùng trục Ox) vì IN thẳng đứng.
Bài 7.13
Đề bài: Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn (x + 3)² + (y - 3)² = 36.
Cách 1 — So sánh với dạng chính tắc
Phương trình đường tròn dạng chính tắc: (x - a)² + (y - b)² = R²
So sánh với (x + 3)² + (y - 3)² = 36:
- (x + 3)² = (x - (-3))² → a = -3
- (y - 3)² → b = 3
- R² = 36 → R = 6
Kết quả:
- Tâm I(-3; 3)
- Bán kính R = 6
Cách 2 — Nhận dạng trực tiếp
Từ (x + 3)² + (y - 3)² = 36:
Tâm có tọa độ là nghịch dấu của các hằng số trong ngoặc:
- Hoành độ tâm: -3 (vì x + 3)
- Tung độ tâm: 3 (vì y - 3)
Bán kính = √36 = 6
Tâm I(-3; 3), bán kính R = 6
💡 Mẹo nhớ: Với dạng (x + m)² + (y + n)² = R², tâm là (-m; -n).
Bài 7.14
Đề bài: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) x² + y² + xy + 4x - 2 = 0
Giải:
Phương trình đường tròn có dạng: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Phương trình này chứa số hạng xy (tích chéo), không phải dạng chuẩn của đường tròn.
Kết luận: Phương trình này không phải là phương trình đường tròn.
⚠️ Lưu ý thi: Phương trình đường tròn KHÔNG chứa số hạng xy.
b) x² + y² - 2x - 4y + 5 = 0
Giải:
Bước 1: Đưa về dạng chính tắc
x² - 2x + y² - 4y + 5 = 0
(x² - 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + 5 - 1 - 4 = 0
(x - 1)² + (y - 2)² = 0
Bước 2: Kiểm tra điều kiện
R² = 0 → R = 0
Kết luận: Phương trình này không phải là phương trình đường tròn (bán kính bằng 0, chỉ biểu diễn một điểm duy nhất (1; 2)).
c) x² + y² + 6x - 8y + 1 = 0
Giải:
Bước 1: Đưa về dạng chính tắc
x² + 6x + y² - 8y + 1 = 0
(x² + 6x + 9) + (y² - 8y + 16) + 1 - 9 - 16 = 0
(x + 3)² + (y - 4)² = 24
Bước 2: Kiểm tra điều kiện
R² = 24 > 0 ✓
Bước 3: Xác định tâm và bán kính
- Tâm I(-3; 4)
- Bán kính R = √24 = √(4 × 6) = 2√6
Kết luận: Đây là phương trình đường tròn với:
- Tâm I(-3; 4)
- Bán kính R = 2√6 ≈ 4,90
💡 Mẹo bấm máy: Để kiểm tra nhanh, tính a² + b² - c với a = -D/2, b = -E/2, c = F - Nếu > 0: Là đường tròn - Nếu = 0: Một điểm - Nếu < 0: Không biểu diễn gì
🎯 Ghi nhớ: 1. Phương trình đường tròn dạng khai triển: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 với D² + E² - 4F > 0 2. Tâm I(-D/2; -E/2), bán kính R = (1/2)√(D² + E² - 4F) 3. Tiếp tuyến tại M có vectơ pháp tuyến là IM 4. Phương trình đường tròn KHÔNG chứa số hạng xy