Giải Toán 10 - Tập 2 trang 48

Hai trang này gồm phần cuối của bài tập chương (các bài 7.15 – 7.18) và phần mở đầu Bài 22: Ba đường conic. Mình giải toàn bộ bài tập rồi tóm tắt phần lý thuyết mở đầu nhé.

Bài 7.15: Viết phương trình đường tròn (C)

Nhắc lại: đường tròn tâm $I(a;b)$, bán kính $R$ có phương trình

$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2.$$

a) Tâm $I(-2;5)$, $R=7$:

$$(x+2)^2 + (y-5)^2 = 49.$$

b) Tâm $I(1;-2)$, đi qua $A(-2;2)$. Bán kính chính là $IA$:

$$R^2 = (-2-1)^2 + (2+2)^2 = 9 + 16 = 25.$$

$$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25.$$

c) Đường kính $AB$ với $A(-1;-3)$, $B(-3;5)$. Tâm $I$ là trung điểm $AB$:
$$I\left(\frac{-1-3}{2};\frac{-3+5}{2}\right) = (-2;1).$$
Bán kính bằng nửa $AB$:

$$AB = \sqrt{(-3+1)^2 + (5+3)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68} \Rightarrow R^2 = \frac{68}{4} = 17.$$

$$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 17.$$

d) Tâm $I(1;3)$, tiếp xúc đường thẳng $x+2y+3=0$. Khi tiếp xúc thì $R = d(I, \Delta)$:

$$R = \frac{|1 + 2\cdot 3 + 3|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{10}{\sqrt5} = 2\sqrt5 \Rightarrow R^2 = 20.$$

$$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 20.$$

Bài 7.16: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đề: $A(6;-2)$, $B(4;2)$, $C(5;-5)$.

Gọi phương trình đường tròn dạng tổng quát:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Thay tọa độ ba điểm:

Lấy $B-A$: $-2D + 4E = 20 \Rightarrow -D + 2E = 10$.

Lấy $C-A$: $-D - 3E = -10 \Rightarrow D + 3E = 10$.

Cộng hai phương trình: $5E = 20 \Rightarrow E = 4$, suy ra $D = -2$.

Thay vào phương trình của $B$: $-8 + 8 + F = -20 \Rightarrow F = -20$.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp:

$$\boxed{x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0}$$

Có tâm $I(1;-2)$, bán kính $R = \sqrt{1+4+20} = 5$.

Bài 7.17: Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Đề: $(C):\ x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ tại $M(0;2)$.

Đường tròn có tâm $I(-1;2)$, bán kính $R = \sqrt{1+4-4}=1$.

Kiểm tra $M$ nằm trên $(C)$: $0 + 4 + 0 - 8 + 4 = 0$ (đúng).

Tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với bán kính $IM$. Vectơ pháp tuyến:
$$\vec{IM} = (0-(-1);\ 2-2) = (1;0).$$

Phương trình tiếp tuyến đi qua $M(0;2)$ với pháp tuyến $(1;0)$:

$$1\cdot(x-0) + 0\cdot(y-2) = 0 \Rightarrow \boxed{x = 0}.$$

Bài 7.18: Chuyển động của vật thể

Vật ở vị trí $\big(2+\sin t^\circ;\ 4+\cos t^\circ\big)$ với $0 \le t \le 180$.

a) Vị trí ban đầu và kết thúc:

• $t=0$: $(2+\sin 0^\circ;\ 4+\cos 0^\circ) = (2;\ 5)$.
• $t=180$: $(2+\sin 180^\circ;\ 4+\cos 180^\circ) = (2;\ 3)$.

b) Quỹ đạo. Đặt $x = 2+\sin t^\circ$, $y = 4+\cos t^\circ$, suy ra
$$x-2 = \sin t^\circ,\quad y-4 = \cos t^\circ.$$

Dùng hệ thức $\sin^2 t^\circ + \cos^2 t^\circ = 1$:

$$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 1.$$

Đây là đường tròn tâm $(2;4)$, bán kính $1$. Tuy nhiên vì $0 \le t \le 180$ nên $\sin t^\circ \ge 0$, tức $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.

Vậy quỹ đạo là nửa đường tròn (phía $x \ge 2$) của đường tròn tâm $(2;4)$, bán kính $1$.

Bài 22: Ba đường conic (phần mở đầu)

Tóm tắt lý thuyết:

• Ba đường conic gồm elip (ellipse), hypebol (hyperbola), parabol (parabola).
• Chúng được phát hiện từ thời Hy Lạp cổ đại, nhưng ứng dụng quan trọng mới được nhận ra gần đây, khởi đầu từ định luật Kepler về quỹ đạo các hành tinh.
• Mục tiêu của bài: nhận biết ba đường conic bằng hình học, biết phương trình chính tắc và giải các vấn đề thực tiễn liên quan.

HĐ1: Cách vẽ elip bằng sợi dây

Đính hai đầu sợi dây không đàn hồi vào hai điểm cố định $F_1, F_2$, kéo căng dây bằng đầu bút tại điểm $M$ rồi di chuyển.

a) Đường khép kín vẽ được là một elip, liên hệ với Hình 7.17b (mặt bàn bi-a hình elip).

b) Tổng các khoảng cách $MF_1 + MF_2$ không thay đổi. Lý do: tổng đó luôn bằng độ dài sợi dây, mà sợi dây không đàn hồi nên độ dài là hằng số trong suốt quá trình vẽ.

Tính chất "tổng hai khoảng cách tới hai tiêu điểm không đổi" chính là định nghĩa của elip mà em sẽ học ngay sau hoạt động này.