Giải Toán 10 - Tập 2 trang 50

🔍 Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa Elip

• Cho hai điểm cố định F₁, F₂ với F₁F₂ = 2c > 0. Cho số thực a > c.
• Elip là tập hợp các điểm M sao cho: MF₁ + MF₂ = 2a
• F₁, F₂ gọi là hai tiêu điểm, F₁F₂ = 2c gọi là tiêu cự

Phương trình chính tắc của Elip

• Với O là trung điểm F₁F₂, Ox trùng tia OF₂:

x²/a² + y²/b² = 1, với a > b > 0 và b = √(a² - c²)

• Tiêu điểm: F₁(-c; 0), F₂(c; 0) với c = √(a² - b²)
• Tiêu cự: 2c = 2√(a² - b²)

Định nghĩa Hypebol

• Cho hai điểm F₁, F₂ với F₁F₂ = 2c. Cho số thực dương a < c.
• Hypebol là tập hợp các điểm M sao cho: |MF₁ - MF₂| = 2a
• Điều kiện: a < c

---

⚙️ Bài tập

---

Câu hỏi: Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện a > c?

Đề bài: Giải thích tại sao định nghĩa elip yêu cầu a > c.

Cách 1 — Lập luận hình học

Bước 1: Xét điểm M bất kỳ và hai tiêu điểm F₁, F₂.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

• Trong tam giác MF₁F₂, ta có: MF₁ + MF₂ > F₁F₂

Bước 3: Thay số:

• MF₁ + MF₂ = 2a
• F₁F₂ = 2c

Do đó: 2a > 2c ⟹ a > c

Bước 4: Nếu a ≤ c thì không tồn tại điểm M nào thỏa mãn (vì vi phạm bất đẳng thức tam giác).

Cách 2 — Lập luận đại số

Nếu a = c: MF₁ + MF₂ = F₁F₂, tức M nằm trên đoạn F₁F₂ → không tạo thành đường cong.

Nếu a < c: Không tồn tại điểm M vì tổng hai cạnh nhỏ hơn cạnh thứ ba.

🎯 Ghi nhớ: Điều kiện a > c đảm bảo elip là một đường cong khép kín bao quanh hai tiêu điểm.

---

Luyện tập 1

Đề bài: Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gây chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Cách 1 — Dùng định nghĩa elip

Bước 1: Gọi hai tiêu điểm của bàn bida elip là F₁ và F₂.

• Bi xuất phát từ F₁
• Lỗ thu đặt tại F₂

Bước 2: Gọi M là điểm bi va vào thành bàn (M thuộc elip).

Bước 3: Quãng đường bi đi:

• Từ F₁ đến M: MF₁
• Từ M đến F₂: MF₂
• Tổng quãng đường = MF₁ + MF₂

Bước 4: Theo định nghĩa elip:

• Với mọi điểm M thuộc elip: MF₁ + MF₂ = 2a (không đổi)

Kết luận: Độ dài quãng đường bi lăn KHÔNG phụ thuộc vào đường đi của bi. Dù bi va vào thành bàn ở vị trí nào, tổng quãng đường luôn bằng 2a (hằng số).

Cách 2 — Giải thích vật lý

Tính chất phản xạ của elip: Tia sáng (hoặc quỹ đạo bi) xuất phát từ một tiêu điểm, sau khi phản xạ trên elip sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Do MF₁ + MF₂ = 2a với mọi M trên elip, nên tổng đường đi luôn không đổi.

💡 Mẹo nhớ: Tính chất này được ứng dụng trong thiết kế phòng thì thầm (whispering gallery) - nói nhỏ ở một tiêu điểm, người ở tiêu điểm kia nghe rõ.

⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài vận dụng định nghĩa elip vào thực tế, thường xuất hiện trong đề thi.

---

HĐ2 (Hoạt động 2)

Đề bài: Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.21).

a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂.

b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi:

√((x+c)² + y²) + √((x-c)² + y²) = 2a ... (1)

---

Câu a)

Cách 1 — Xác định trực tiếp từ hệ trục

Bước 1: O là trung điểm của F₁F₂ và O là gốc tọa độ.

Bước 2: Tia Ox trùng tia OF₂, nghĩa là F₂ nằm trên tia Ox dương.

Bước 3: Vì F₁F₂ = 2c và O là trung điểm nên:

• OF₁ = OF₂ = c
• F₂ nằm phía x dương: F₂(c; 0)
• F₁ nằm phía x âm: F₁(-c; 0)

Đáp án:

• F₁(-c; 0)
• F₂(c; 0)

---

Câu b)

Cách 1 — Dùng công thức khoảng cách

Bước 1: Điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi: MF₁ + MF₂ = 2a

Bước 2: Tính MF₁ (khoảng cách từ M đến F₁(-c; 0)):

MF₁ = √((x - (-c))² + (y - 0)²) = √((x + c)² + y²)

Bước 3: Tính MF₂ (khoảng cách từ M đến F₂(c; 0)):

MF₂ = √((x - c)² + (y - 0)²) = √((x - c)² + y²)

Bước 4: Thay vào định nghĩa elip:

MF₁ + MF₂ = 2a

⟺ √((x + c)² + y²) + √((x - c)² + y²) = 2a

Kết luận: Đây chính là phương trình (1), điều cần chứng minh.

💡 Mẹo nhớ: Công thức khoảng cách giữa hai điểm A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂): AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

---

Luyện tập 2

Đề bài: Cho elip có phương trình chính tắc x²/100 + y²/64 = 1. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Cách 1 — Áp dụng công thức trực tiếp

Bước 1: Nhận dạng phương trình chính tắc x²/a² + y²/b² = 1

So sánh với x²/100 + y²/64 = 1:

• a² = 100 ⟹ a = 10
• b² = 64 ⟹ b = 8

Bước 2: Kiểm tra điều kiện: a = 10 > b = 8 > 0 ✓

Bước 3: Tính c:

c = √(a² - b²) = √(100 - 64) = √36 = 6

Bước 4: Xác định tiêu điểm:

• F₁(-6; 0)
• F₂(6; 0)

Bước 5: Tính tiêu cự:

2c = 2 × 6 = 12

Cách 2 — Công thức nhanh

Với phương trình x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0):

• c² = a² - b² = 100 - 64 = 36
• c = 6

Đáp án:

• Tiêu điểm: F₁(-6; 0) và F₂(6; 0)
• Tiêu cự: 2c = 12

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Tính √(100 - 64): Bấm √ ( 100 - 64 ) = → Kết quả: 6

⚠️ Lưu ý thi: Nhớ công thức c² = a² - b² (không phải c² = a² + b²). Đây là lỗi sai phổ biến!

---

Vận dụng 1

Đề bài: Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình:

x²/16 + y²/4 = 1

Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

Cách 1 — Giải từng bước

Bước 1: Xác định tỉ lệ

• 1 đơn vị bản vẽ = 30 cm thực tế
• 75 cm thực tế = 75/30 = 2.5 đơn vị trên bản vẽ

Bước 2: Điểm chính giữa đế ô thoáng là gốc O (điểm (0; 0))

• Điểm cần tính cách O một khoảng 2.5 đơn vị theo trục x
• Tọa độ điểm cần tìm: x = 2.5 (hoặc x = -2.5)

Bước 3: Thay x = 2.5 vào phương trình elip để tìm y:

(2.5)²/16 + y²/4 = 1

6.25/16 + y²/4 = 1

y²/4 = 1 - 6.25/16 = 16/16 - 6.25/16 = 9.75/16

y² = 4 × 9.75/16 = 39/16

y = √(39/16) = √39/4 ≈ 1.56 (đơn vị bản vẽ)

Bước 4: Đổi sang cm thực tế:

h = (√39/4) × 30 = 30√39/4 = 7.5√39 cm ≈ 46.8 cm

Cách 2 — Tính nhanh

Từ x²/16 + y²/4 = 1 với x = 2.5:

y² = 4(1 - 6.25/16) = 4 × (9.75/16) = 39/16

y = √39/4

h = 30 × √39/4 = 7.5√39 cm ≈ 46.84 cm

Đáp án: Chiều cao h = 7.5√39 cm (hoặc ≈ 46.84 cm)

💡 Mẹo bấm máy: Bấm: 7.5 × √ 39 = → Kết quả: 46.837...

---

Câu hỏi: Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Đề bài: Giải thích tại sao định nghĩa hypebol yêu cầu a < c.

Cách 1 — Lập luận hình học

Bước 1: Xét điểm M và hai tiêu điểm F₁, F₂ với F₁F₂ = 2c.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác MF₁F₂:

|MF₁ - MF₂| < F₁F₂

Bước 3: Theo định nghĩa hypebol: |MF₁ - MF₂| = 2a

Do đó: 2a < 2c ⟹ a < c

Bước 4: Nếu a ≥ c thì không tồn tại điểm M thỏa mãn (vì vi phạm bất đẳng thức tam giác).

Cách 2 — Phân tích trường hợp

• Nếu a = c: |MF₁ - MF₂| = F₁F₂, tức M nằm trên đường thẳng F₁F₂ kéo dài (ngoài đoạn F₁F₂) → không tạo thành đường cong.
• Nếu a > c: Không tồn tại điểm M vì hiệu hai cạnh không thể lớn hơn cạnh thứ ba.

🎯 Ghi nhớ: - Elip: a > c (tổng khoảng cách > tiêu cự) - Hypebol: a < c (hiệu khoảng cách < tiêu cự)

⚠️ Lưu ý thi: Đây là điểm khác biệt quan trọng giữa elip và hypebol, thường được hỏi trong câu hỏi lý thuyết!

---

🎯 Tổng kết

🎯 Ghi nhớ quan trọng: - Elip: Tổng khoảng cách không đổi, a > c - Hypebol: Hiệu khoảng cách không đổi, a < c - Công thức tiêu cự elip: c = √(a² - b²)