Giải Toán 10 - Tập 2 trang 52
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 52–53
Hai trang này thuộc bài về ba đường conic, phần Hypebol (tiếp) và mở đầu Parabol. Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các bài luyện tập có trên trang nhé.
Tóm tắt lý thuyết
Phương trình chính tắc của hypebol
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành, $O$ là trung điểm đoạn nối hai tiêu điểm, có phương trình:
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad a, b > 0$$
Với phương trình này:
- Hai tiêu điểm: $F_1\left(-\sqrt{a^2+b^2}\,;\,0\right)$, $F_2\left(\sqrt{a^2+b^2}\,;\,0\right)$
- Tiêu cự: $2c = 2\sqrt{a^2+b^2}$, tức $c = \sqrt{a^2+b^2}$
- Giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ mỗi điểm trên hypebol đến hai tiêu điểm bằng $2a$.
Định nghĩa parabol
Cho điểm $F$ cố định và đường thẳng $\Delta$ cố định không đi qua $F$. Tập hợp các điểm $M$ cách đều $F$ và $\Delta$ gọi là parabol. Khi đó:
- $F$ là tiêu điểm
- $\Delta$ là đường chuẩn
- Khoảng cách từ $F$ đến $\Delta$ là tham số tiêu $p$
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $y^2 = 2px$.
Luyện tập 3: Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một hypebol
Đề: Cho hình chữ nhật $ABCD$ và $M$, $N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$ (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là $M$ và $N$.
Lời giải
Đặt các kích thước của hình chữ nhật:
- $AB = CD = 2p$ nên $MA = MB = NC = ND = p$ (vì $M$, $N$ là trung điểm)
- $AD = BC = q$ chính là khoảng cách $MN = q$
Ta tính hiệu khoảng cách từ mỗi đỉnh đến hai tiêu điểm $M$, $N$.
Xét đỉnh $A$:
- $MA = p$ (vì $M$ là trung điểm $AB$)
- $NA$ là cạnh huyền của tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $q$ và $p$:
$$NA = \sqrt{q^2 + p^2}$$
Do đó:
$$\big|\,MA - NA\,\big| = \sqrt{q^2 + p^2} - p$$
Làm tương tự cho các đỉnh còn lại:
| Đỉnh | Khoảng cách tới $M$ | Khoảng cách tới $N$ | $\big | d_M - d_N\big | $ |
|---|---|---|---|---|---|
| $A$ | $p$ | $\sqrt{q^2+p^2}$ | $\sqrt{q^2+p^2}-p$ | ||
| $B$ | $p$ | $\sqrt{q^2+p^2}$ | $\sqrt{q^2+p^2}-p$ | ||
| $C$ | $\sqrt{q^2+p^2}$ | $p$ | $\sqrt{q^2+p^2}-p$ | ||
| $D$ | $\sqrt{q^2+p^2}$ | $p$ | $\sqrt{q^2+p^2}-p$ |
Vậy cả bốn điểm đều thỏa:
$$\big|\,d_M - d_N\,\big| = \sqrt{q^2+p^2} - p = 2a \ (\text{hằng số})$$
Kiểm tra điều kiện hypebol: cần $2a < MN = q$:
$$\sqrt{q^2+p^2} - p < q \iff \sqrt{q^2+p^2} < q + p \iff q^2 + p^2 < q^2 + 2pq + p^2 \iff 0 < 2pq$$
Bất đẳng thức này luôn đúng vì $p, q > 0$.
Kết luận: Vì hiệu (theo trị tuyệt đối) các khoảng cách từ mỗi đỉnh đến $M$, $N$ là một hằng số dương nhỏ hơn $MN$, nên bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc một hypebol nhận $M$, $N$ làm hai tiêu điểm. $\blacksquare$
Luyện tập 4: Tìm tiêu điểm và tiêu cự
Đề: Cho $(H)$: $\dfrac{x^2}{144} - \dfrac{y^2}{25} = 1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của $(H)$.
Lời giải
Từ phương trình chính tắc, ta có:
$$a^2 = 144, \qquad b^2 = 25$$
Tính $c$:
$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$
Vậy:
- Hai tiêu điểm: $F_1(-13\,;\,0)$ và $F_2(13\,;\,0)$
- Tiêu cự: $2c = 2 \cdot 13 = 26$
Về các hoạt động HĐ3, HĐ4, HĐ5
Các phần HĐ3, HĐ4, HĐ5 trên trang là hoạt động dẫn dắt xây dựng phương trình (giáo viên hướng dẫn học sinh tự chứng minh từ định nghĩa), không phải bài tập có đáp số. Ý chính:
- HĐ3: chứng minh điểm $M(x;y)$ thuộc hypebol khi và chỉ khi $\left|\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2}\right| = 2a$, từ đó biến đổi về dạng chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với $b=\sqrt{c^2-a^2}$.
- HĐ4 (parabol $y=\frac14 x^2$): với $F(0;1)$, $\Delta: y+1=0$, ta có $MF=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$ và $d(M,\Delta)=|y+1|$. Cho $MF=d(M,\Delta)$ rồi bình phương sẽ ra đúng $y=\frac14 x^2$.
- HĐ5: với tham số tiêu $p$, chọn $F\left(\frac p2;0\right)$, $\Delta: x=-\frac p2$. Điều kiện cách đều cho $\sqrt{\left(x-\frac p2\right)^2+y^2}=\left|x+\frac p2\right|$, bình phương hai vế và rút gọn được phương trình chính tắc $y^2 = 2px$.
Nếu bạn muốn mình trình bày chi tiết từng bước biến đổi đại số của HĐ3 hoặc HĐ5 thì nhắn mình nhé. (Lưu ý nhỏ: ảnh bạn gửi là trang 51 và 52, mình giải theo đúng nội dung hai trang đó.)