Giải Toán 10 - Tập 2 trang 54

Mình thấy ảnh thực tế là hai trang số 53 và 54 của sách. Mình sẽ giải đúng theo nội dung có trong ảnh nhé.

Tóm tắt lý thuyết: Phương trình chính tắc của parabol

Xét parabol $(P)$ có tiêu điểm $F$, đường chuẩn $\Delta$. Chọn hệ trục $Oxy$ với gốc $O$ là trung điểm của $HF$ (với $H$ là hình chiếu của $F$ lên $\Delta$), tia $Ox$ trùng tia $OF$. Khi đó $(P)$ có phương trình:

$$y^2 = 2px \quad (p > 0) \tag{5}$$

Đây gọi là phương trình chính tắc của parabol. Ngược lại, mỗi phương trình dạng $(5)$ là phương trình chính tắc của parabol với:

• Tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$
• Đường chuẩn $\Delta: x = -\dfrac{p}{2}$

Điểm cốt lõi cần nhớ: mọi điểm $M$ trên parabol đều cách đều tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $\Delta$, tức $MF = d(M, \Delta)$.

Ví dụ 5: Parabol $(P): y^2 = x$

Đề bài:
a) Tìm tiêu điểm $F$, đường chuẩn $\Delta$ của $(P)$.
b) Tìm những điểm trên $(P)$ có khoảng cách tới $F$ bằng 3.

Lời giải:

a) So sánh $y^2 = x$ với dạng chính tắc $y^2 = 2px$:

$$2p = 1 \;\Rightarrow\; p = \frac{1}{2}$$

Suy ra:

• Tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right) = F\left(\dfrac{1}{4}; 0\right)$
• Đường chuẩn $\Delta: x = -\dfrac{p}{2} = -\dfrac{1}{4}$

b) Gọi $M(x_0; y_0)$ thuộc $(P)$, nên $y_0^2 = x_0$.

Điểm $M$ có khoảng cách tới $F$ bằng 3, tức $MF = 3$. Vì $M$ nằm trên parabol nên theo định nghĩa $MF = d(M, \Delta)$, do đó:

$$d(M, \Delta) = 3$$

Đường chuẩn là $\Delta: x + \dfrac{1}{4} = 0$. Vì $x_0 = y_0^2 \ge 0$ nên:

$$3 = d(M, \Delta) = \left| x_0 + \frac{1}{4} \right| = x_0 + \frac{1}{4}$$

(dấu giá trị tuyệt đối bỏ được vì $x_0 + \tfrac14 > 0$).

Giải ra:

$$x_0 = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$$

Từ $y_0^2 = x_0 = \dfrac{11}{4}$, ta có:

$$y_0 = \frac{\sqrt{11}}{2} \quad \text{hoặc} \quad y_0 = -\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Vậy có hai điểm thỏa mãn:

$$M_1\left(\frac{11}{4}; \frac{\sqrt{11}}{2}\right), \qquad M_2\left(\frac{11}{4}; -\frac{\sqrt{11}}{2}\right)$$

Lý do dùng cách này: thay vì tính trực tiếp khoảng cách $MF$ bằng công thức căn (sẽ phức tạp), ta khai thác tính chất "điểm trên parabol cách đều tiêu điểm và đường chuẩn". Khoảng cách tới đường chuẩn (đường thẳng đứng) tính rất gọn, nên bài toán đơn giản hơn nhiều.

Vận dụng 2: Đường ranh giới trên biển

Đề bài: Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất liền là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Đặt mô hình:

• Bờ biển đất liền là đường thẳng $\Delta$.
• Đảo là hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ (trong hình $A$ là điểm trên đường tròn gần ranh giới).

Gọi $M$ là một điểm bất kỳ trên đường ranh giới. "Cách đều đất liền và đảo" nghĩa là khoảng cách từ $M$ tới bờ biển bằng khoảng cách từ $M$ tới đảo (đường tròn):

$$d(M, \Delta) = d(M, \text{đường tròn}) = MO - R$$

Khoảng cách từ $M$ tới bờ biển, gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $\Delta$:

$$d(M, \Delta) = MH$$

Vậy điều kiện ranh giới là:

$$MH = MO - R$$

Bây giờ ta dời đường thẳng $\Delta$ ra xa đảo một đoạn $R$, được đường thẳng $\Delta'$ song song với $\Delta$. Khi đó khoảng cách từ $M$ tới $\Delta'$ là:

$$d(M, \Delta') = MH + R$$

Thay $MH = MO - R$ vào:

$$d(M, \Delta') = (MO - R) + R = MO$$

Như vậy:

$$MO = d(M, \Delta')$$

Tức là điểm $M$ luôn cách đều một điểm cố định $O$ (tâm đảo) và một đường thẳng cố định $\Delta'$. Theo định nghĩa, đó chính là parabol nhận $O$ làm tiêu điểm và $\Delta'$ làm đường chuẩn.

Kết luận: Đường ranh giới có hình một parabol, với tiêu điểm là tâm $O$ của đảo và đường chuẩn là đường thẳng song song với bờ biển, cách bờ biển đúng bằng bán kính $R$ của đảo (lùi về phía đất liền).

Trang 54 – Một số ứng dụng của ba đường conic (Tính chất quang học)

Trang này là phần lý thuyết, không có bài tập. Nội dung chính như sau.

Tương tự gương cầu lồi hay đặt ở khúc cua, người ta cũng làm gương elip, hypebol, parabol. Tia sáng gặp các gương này phản xạ theo quy tắc hình học xác định:

• Gương elip, hypebol lõm (Hình 7.29): Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm, sau khi gặp mặt gương sẽ phản xạ theo tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại.

• Gương elip, hypebol lồi (Hình 7.30): Tia sáng hướng tới một tiêu điểm, khi gặp gương sẽ bị hắt lại theo tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại.

• Gương parabol lõm (Hình 7.31): Tia sáng phát ra từ tiêu điểm $F$, sau khi gặp gương sẽ phản xạ thành tia vuông góc với đường chuẩn (tức các tia phản xạ song song với nhau). Ngược lại, tia tới vuông góc với đường chuẩn (chùm tia song song) thì phản xạ hội tụ về tiêu điểm $F$.

Ý nghĩa thực tế: tính chất quang học này giúp tạo ánh sáng mạnh hơn khi các tia hội tụ (đèn pin, đèn pha, lò mặt trời) và đổi hướng ánh sáng khi cần. Điều tương tự cũng áp dụng cho tín hiệu âm thanh và tín hiệu truyền từ vệ tinh (chảo parabol thu sóng hội tụ về đầu thu đặt ở tiêu điểm).

Nếu bạn muốn mình giải thêm bài tập ở các trang tiếp theo, cứ gửi ảnh nhé.