Giải Toán 10 - Tập 2 trang 56

Tóm tắt lý thuyết (trang 55): Một số ứng dụng của ba đường conic

Ba đường conic (elip, parabol, hypebol) xuất hiện rất nhiều trong khoa học và đời sống:

• Parabol: tia nước phun, đường bay của quả bóng, anten vệ tinh (tín hiệu hội tụ về tiêu điểm), đèn pha ô tô (ánh sáng từ tiêu điểm hắt ra thành chùm song song), gương trong kính thiên văn.
• Elip: mặt nước trong cốc nghiêng, bóng quả bóng dưới nắng, quỹ đạo hành tinh quanh Mặt Trời (định luật Kepler), gương tán sỏi thận (tia laser từ một tiêu điểm hội tụ về tiêu điểm kia).
• Hypebol: nhánh sáng đèn LED hắt lên tường, tháp giải nhiệt nhà máy điện.

Điểm cốt lõi: tính chất phản xạ qua tiêu điểm chính là lý do các đường conic được ứng dụng nhiều như vậy.

Vận dụng 3: Máy tán sỏi thận

Đề: Gương elip của máy tán sỏi thận ứng với elip có phương trình chính tắc
$$\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{76}=1 \quad (\text{đơn vị cm}).$$
Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng đến vị trí sỏi thận cần tán.

Lời giải:

Đầu phát sóng và sỏi thận đặt tại hai tiêu điểm của gương elip (theo tính chất phản xạ của elip). Vậy khoảng cách cần tìm chính là tiêu cự $2c$.

• $a^2 = 400,\ b^2 = 76$
• $c^2 = a^2 - b^2 = 400 - 76 = 324 \Rightarrow c = 18$

$$2c = 2 \cdot 18 = 36 \text{ (cm)}.$$

Khoảng cách từ đầu phát sóng đến sỏi thận là 36 cm.

Bài 7.19: Tiêu điểm và tiêu cự của elip

Đề: Cho elip $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự.

Lời giải:

• $a^2 = 36,\ b^2 = 9$
• $c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 9 = 27 \Rightarrow c = 3\sqrt{3}$

Tiêu điểm: $F_1(-3\sqrt{3};\,0)$, $F_2(3\sqrt{3};\,0)$.

Tiêu cự: $2c = 6\sqrt{3}$.

Bài 7.20: Tiêu điểm và tiêu cự của hypebol

Đề: Cho hypebol $\dfrac{x^2}{7}-\dfrac{y^2}{9}=1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự.

Lời giải:

Với hypebol thì $c^2 = a^2 + b^2$ (khác với elip).

• $a^2 = 7,\ b^2 = 9$
• $c^2 = 7 + 9 = 16 \Rightarrow c = 4$

Tiêu điểm: $F_1(-4;\,0)$, $F_2(4;\,0)$.

Tiêu cự: $2c = 8$.

Bài 7.21: Tiêu điểm và đường chuẩn của parabol

Đề: Cho parabol $y^2 = 8x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn.

Lời giải:

Dạng chính tắc $y^2 = 2px$. So sánh:
$$2p = 8 \Rightarrow p = 4.$$

• Tiêu điểm: $F\left(\dfrac{p}{2};\,0\right) = (2;\,0)$
• Đường chuẩn: $x = -\dfrac{p}{2} = -2$

Bài 7.22: Lập phương trình chính tắc của elip

Đề: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm $A(5;0)$ và có một tiêu điểm $F_2(3;0)$.

Lời giải:

Điểm $A(5;0)$ nằm trên trục $Ox$ nên đây chính là đỉnh của elip, suy ra
$$a = 5 \Rightarrow a^2 = 25.$$

Tiêu điểm $F_2(3;0)$ cho $c = 3$. Khi đó:

$$b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16.$$

Phương trình chính tắc:
$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$$

Bài 7.23: Lập phương trình chính tắc của parabol

Đề: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2;4)$.

Lời giải:

Parabol chính tắc dạng $y^2 = 2px$. Thay tọa độ $M(2;4)$:
$$4^2 = 2p \cdot 2 \Rightarrow 16 = 4p \Rightarrow 2p = 8.$$

Phương trình chính tắc:
$$y^2 = 8x.$$

Bài 7.24: Bài toán hai trạm phát tín hiệu (hypebol)

Đề: Hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại $A$, $B$ cách nhau 300 km. Hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn từ $B$ là 0,0005 s. Xác định tàu thủy thuộc hypebol nào và viết phương trình chính tắc (đơn vị km).

Lời giải:

Gọi $M$ là vị trí tàu thủy. Hiệu khoảng cách:

$$MB - MA = v \cdot t = 292000 \times 0{,}0005 = 146 \text{ (km)}.$$

Vì tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn nên tàu gần $A$ hơn, $MB - MA = 146 > 0$ không đổi → $M$ thuộc một nhánh hypebol nhận $A$, $B$ làm tiêu điểm.

• $2a = 146 \Rightarrow a = 73 \Rightarrow a^2 = 5329$
• $2c = AB = 300 \Rightarrow c = 150 \Rightarrow c^2 = 22500$
• $b^2 = c^2 - a^2 = 22500 - 5329 = 17171$

Phương trình chính tắc:
$$\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{17171}=1.$$

Bài 7.25: Khúc cua hình parabol

Đề: Khúc cua có dạng parabol, điểm đầu $A$, điểm cuối $B$, $AB = 400$ m. Đỉnh parabol $(P)$ cách đường thẳng $AB$ một khoảng 20 m và cách đều $A$, $B$.

Chọn hệ trục: đỉnh parabol trùng gốc tọa độ $O$, trục $Ox$ là trục đối xứng (hướng về phía $AB$). Khi đó parabol có dạng $y^2 = 2px$.

Vì đỉnh cách $AB$ là 20 m và $AB = 400$ m (chia đôi do cách đều), nên $A$, $B$ có tọa độ:
$$A(20;\,-200),\quad B(20;\,200).$$

a) Đơn vị đo tương ứng 1 m

Thay điểm $B(20;200)$ vào $y^2 = 2px$:
$$200^2 = 2p \cdot 20 \Rightarrow 40000 = 40p \Rightarrow 2p = 2000.$$

Phương trình chính tắc:
$$y^2 = 2000x.$$

b) Đơn vị đo tương ứng 1 km

Đổi sang km: $AB = 0{,}4$ km, đỉnh cách $AB$ là $0{,}02$ km. Khi đó $B(0{,}02;\,0{,}2)$.

Thay vào $y^2 = 2px$:
$$0{,}2^2 = 2p \cdot 0{,}02 \Rightarrow 0{,}04 = 0{,}04p \Rightarrow 2p = 2.$$

Phương trình chính tắc:
$$y^2 = 2x.$$

Nhận xét: đổi đơn vị từ m sang km (chia 1000) làm hệ số $2p$ giảm đúng 1000 lần, kết quả hoàn toàn nhất quán.

Bảng tổng hợp đáp số

Mẹo nhớ cho các em: với elip dùng $c^2 = a^2 - b^2$, còn hypebol thì ngược lại $c^2 = a^2 + b^2$. Đây là chỗ rất hay nhầm khi làm bài 7.19 và 7.20.