Giải Toán 10 - Tập 2 trang 58
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 58–59
Tóm tắt lý thuyết (trang 57)
Trang này là phần đọc thêm về bài toán Apollonius và ứng dụng định vị:
- Vị trí tàu thủy trong hệ thống LORAN được xác định là giao điểm của hai nhánh hypebol (Hình 7.35a).
- Bài toán Apollonius (Apollonius, khoảng 262 – 190 TCN): tìm đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước. Nói chung có 8 nghiệm hình.
- Định lí Descartes (1643) cho công thức tính bán kính các đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn đôi một tiếp xúc ngoài:
$$\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r^2}\right)$$
- Việc xác định tâm đường tròn nghiệm có thể quy về bài toán tìm giao của hai đường conic.
Phần A – Trắc nghiệm (trang 58)
Bài 7.26
Phương trình nào là phương trình tham số của đường thẳng?
Đáp án: B. $\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}$
Phương trình tham số có dạng $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$. Chỉ có B đúng dạng này (A, D là tổng quát/hệ số góc, C là đường tròn).
Bài 7.27
Phương trình nào là phương trình tổng quát của đường thẳng?
Đáp án: A. $-x - 2y + 3 = 0$
Dạng tổng quát là $ax + by + c = 0$ với $a^2+b^2>0$. B là tham số, C là parabol, D là elip.
Bài 7.28
Phương trình nào là phương trình của đường tròn?
Đáp án: C. $x^2 + y^2 = 2$
Dạng $x^2+y^2 = R^2$ với $R^2>0$. A là hiệu hai bình phương (hypebol), B có vế phải $-4<0$ (vô nghĩa), D là parabol.
Bài 7.29
Phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip?
Đáp án: D. $\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{1} = 1$
Elip chính tắc có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ với $a > b > 0$. Chỉ D thỏa ($a^2=2>b^2=1$). A có hai mẫu bằng nhau (đường tròn), C là hypebol, B có mẫu dưới $x$ nhỏ hơn mẫu dưới $y$ nên không ở dạng chính tắc.
Bài 7.30
Phương trình nào là phương trình chính tắc của hypebol?
Đáp án: B. $\dfrac{x^2}{1} - \dfrac{y^2}{6} = 1$
Hypebol chính tắc có dạng $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$. A và D có vế phải $-1$, C là elip.
Bài 7.31
Phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?
Đáp án: C. $y^2 = 4x$
Parabol chính tắc có dạng $y^2 = 2px$ với $p>0$. A, B có dạng $x^2 = \ldots$ (không chính tắc theo định nghĩa), D có hệ số âm.
Phần B – Tự luận (trang 58)
Bài 7.32
Cho $A(1; -1)$, $B(3; 5)$, $C(-2; 4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
Lời giải:
$$\vec{AB} = (2; 6), \qquad \vec{AC} = (-3; 5)$$
Diện tích tam giác:
$$S = \frac{1}{2}\left| x_{AB}\cdot y_{AC} - x_{AC}\cdot y_{AB} \right| = \frac{1}{2}\left| 2\cdot 5 - (-3)\cdot 6 \right| = \frac{1}{2}|10 + 18| = \frac{1}{2}\cdot 28 = 14$$
Vậy $S_{ABC} = 14$ (đơn vị diện tích).
Bài 7.33
Cho $A(-1; 0)$ và $B(3; 1)$.
a) Đường tròn tâm $A$ đi qua $B$:
Bán kính: $R = AB = \sqrt{(3+1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
$$(x+1)^2 + y^2 = 17$$
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$:
Vectơ chỉ phương $\vec{AB} = (4; 1)$ → vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; -4)$.
Đường thẳng qua $A(-1; 0)$:
$$1(x+1) - 4(y - 0) = 0 \;\Leftrightarrow\; x - 4y + 1 = 0$$
c) Đường tròn tâm $O(0;0)$ tiếp xúc với $AB$:
Bán kính bằng khoảng cách từ $O$ đến $AB$:
$$R = d(O, AB) = \frac{|0 - 4\cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$$
$$x^2 + y^2 = \frac{1}{17}$$
Bài 7.34
Cho đường tròn $(C)$: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.
a) Tìm tâm $I$ và bán kính $R$:
So với dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ ta có $a=2,\ b=-3,\ c=-12$.
- Tâm $I(2; -3)$.
- Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$.
b) Chứng minh $M(5; 1) \in (C)$ và viết tiếp tuyến tại $M$:
Thay $M$ vào vế trái:
$$5^2 + 1^2 - 4\cdot 5 + 6\cdot 1 - 12 = 25 + 1 - 20 + 6 - 12 = 0$$
Vậy $M(5;1)$ thuộc $(C)$.
Tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với $\vec{IM}$. Ta có $\vec{IM} = (5-2;\ 1+3) = (3; 4)$, chọn làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình tiếp tuyến $d$ qua $M(5;1)$:
$$3(x - 5) + 4(y - 1) = 0 \;\Leftrightarrow\; 3x + 4y - 19 = 0$$
Tóm lại trang này là phần ôn tập cuối chương VII về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Các câu trắc nghiệm 7.26–7.31 giúp em phân biệt dạng phương trình của đường thẳng và các đường conic, còn phần tự luận rèn kỹ năng viết phương trình đường tròn, đường thẳng và tiếp tuyến. Em nhớ kỹ điều kiện $a>b>0$ của elip chính tắc để không nhầm với câu 7.29 nhé.