Giải Toán 10 - Tập 2 trang 60
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 60–61
Lưu ý: Trang 59 chứa các bài tập 7.35, 7.36, 7.37 về elip và hypebol. Trang 60 là trang mở đầu Chương VIII: Đại số tổ hợp và Bài 23: Quy tắc đếm (chỉ có phần giới thiệu lý thuyết, chưa có bài tập).
🔍 Kiến thức cần nhớ
Elip
- Phương trình chính tắc: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)
- Giao điểm với trục hoành (trục lớn): A₁(-a; 0), A₂(a; 0)
- Giao điểm với trục tung (trục nhỏ): B₁(0; -b), B₂(0; b)
- Độ dài trục lớn: 2a, độ dài trục nhỏ: 2b
Hypebol
- Phương trình chính tắc: x²/a² - y²/b² = 1
- Giao điểm với trục hoành: A₁(-a; 0), A₂(a; 0)
- Nhánh trái: x ≤ -a; Nhánh phải: x ≥ a
⚙️ Bài tập
Bài 7.35
Đề bài: Cho elip (E): x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0).
a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của (E) với trục hoành và các giao điểm B₁, B₂ của (E) với trục tung. Tính A₁A₂, B₁B₂.
b) Xét một điểm bất kì M(x₀, y₀) thuộc (E). Chứng minh rằng b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a² và b ≤ OM ≤ a.
Câu a)
Đề bài: Tìm giao điểm của elip với các trục tọa độ và tính độ dài A₁A₂, B₁B₂.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Tìm giao điểm với trục hoành (Ox)
Trục hoành có phương trình y = 0. Thay y = 0 vào phương trình elip:
x²/a² + 0²/b² = 1
⟹ x²/a² = 1
⟹ x² = a²
⟹ x = ±a
Vậy: A₁(-a; 0) và A₂(a; 0)
Bước 2: Tìm giao điểm với trục tung (Oy)
Trục tung có phương trình x = 0. Thay x = 0 vào phương trình elip:
0²/a² + y²/b² = 1
⟹ y²/b² = 1
⟹ y² = b²
⟹ y = ±b
Vậy: B₁(0; -b) và B₂(0; b)
Bước 3: Tính độ dài A₁A₂ và B₁B₂
- A₁A₂ = |a - (-a)| = |2a| = 2a (độ dài trục lớn)
- B₁B₂ = |b - (-b)| = |2b| = 2b (độ dài trục nhỏ)
Cách 2 — Nhận xét nhanh từ định nghĩa
Từ định nghĩa elip:
- Trục lớn nằm trên Ox, có độ dài 2a, hai đầu mút là A₁(-a; 0), A₂(a; 0)
- Trục nhỏ nằm trên Oy, có độ dài 2b, hai đầu mút là B₁(0; -b), B₂(0; b)
Kết quả:
- A₁(-a; 0), A₂(a; 0), A₁A₂ = 2a
- B₁(0; -b), B₂(0; b), B₁B₂ = 2b
Câu b)
Đề bài: Xét điểm M(x₀, y₀) ∈ (E). Chứng minh: b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a² và b ≤ OM ≤ a.
Cách 1 — Biến đổi đại số
Bước 1: Từ M(x₀, y₀) ∈ (E), ta có:
x₀²/a² + y₀²/b² = 1
⟹ y₀² = b²(1 - x₀²/a²) = b² - b²x₀²/a²
Bước 2: Tính x₀² + y₀²
x₀² + y₀² = x₀² + b² - b²x₀²/a²
= x₀²(1 - b²/a²) + b²
= x₀² × (a² - b²)/a² + b²
Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức
Vì M ∈ (E) nên -a ≤ x₀ ≤ a, tức là 0 ≤ x₀² ≤ a².
Đặt t = x₀², với 0 ≤ t ≤ a².
Ta có: x₀² + y₀² = t × (a² - b²)/a² + b²
Vì a > b > 0 nên (a² - b²)/a² > 0.
- Khi t = 0 (x₀ = 0): x₀² + y₀² = b² (đạt giá trị nhỏ nhất)
- Khi t = a² (x₀ = ±a): x₀² + y₀² = a² × (a² - b²)/a² + b² = a² - b² + b² = a² (đạt giá trị lớn nhất)
Vậy: b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a²
Bước 4: Suy ra bất đẳng thức cho OM
OM² = x₀² + y₀²
Từ b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a², lấy căn bậc hai (các số đều dương):
b ≤ OM ≤ a (đpcm)
Cách 2 — Dùng tham số góc
Đặt x₀ = a·cos(t), y₀ = b·sin(t) với t ∈ [0; 2π).
OM² = x₀² + y₀² = a²cos²(t) + b²sin²(t)
= a²cos²(t) + b²(1 - cos²(t))
= b² + (a² - b²)cos²(t)
Vì 0 ≤ cos²(t) ≤ 1 và a² - b² > 0:
- Giá trị nhỏ nhất: b² (khi cos²(t) = 0)
- Giá trị lớn nhất: b² + (a² - b²) = a² (khi cos²(t) = 1)
Vậy b² ≤ OM² ≤ a², suy ra b ≤ OM ≤ a.
💡 Mẹo nhớ: Điểm trên elip gần gốc O nhất khi nằm trên trục nhỏ (khoảng cách = b), xa O nhất khi nằm trên trục lớn (khoảng cách = a).
Bài 7.36
Đề bài: Cho hypebol có phương trình: x²/a² - y²/b² = 1.
a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁ nhỏ hơn của A₂).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ -a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.
c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M₁M₂ nhỏ nhất.
Câu a)
Đề bài: Tìm giao điểm A₁, A₂ với trục hoành.
Cách 1 — Thay trực tiếp
Trục hoành: y = 0. Thay vào phương trình hypebol:
x²/a² - 0²/b² = 1
⟹ x²/a² = 1
⟹ x² = a²
⟹ x = ±a
Vì hoành độ A₁ < hoành độ A₂, nên:
A₁(-a; 0) và A₂(a; 0)
Cách 2 — Nhận xét từ định nghĩa
Hai đỉnh của hypebol chính là giao điểm với trục hoành, có tọa độ (±a; 0).
Kết quả: A₁(-a; 0), A₂(a; 0)
Câu b)
Đề bài: Chứng minh điểm thuộc nhánh trái thì x ≤ -a, thuộc nhánh phải thì x ≥ a.
Cách 1 — Biến đổi từ phương trình
Bước 1: Từ phương trình hypebol:
x²/a² - y²/b² = 1
⟹ x²/a² = 1 + y²/b²
Bước 2: Vì y² ≥ 0 với mọi y, nên:
x²/a² = 1 + y²/b² ≥ 1
⟹ x² ≥ a²
⟹ |x| ≥ a
⟹ x ≤ -a hoặc x ≥ a
Bước 3: Kết luận
- Nhánh bên trái trục tung: x < 0, kết hợp với |x| ≥ a, suy ra x ≤ -a
- Nhánh bên phải trục tung: x > 0, kết hợp với |x| ≥ a, suy ra x ≥ a
Cách 2 — Phân tích hình học
Hypebol x²/a² - y²/b² = 1 không có điểm nào trong khoảng -a < x < a vì:
- Nếu |x| < a thì x²/a² < 1
- Mà y²/b² ≥ 0, nên x²/a² - y²/b² < 1, không thỏa mãn phương trình.
Vậy hypebol chỉ tồn tại ở miền x ≤ -a (nhánh trái) và x ≥ a (nhánh phải).
⚠️ Lưu ý thi: Đây là tính chất quan trọng của hypebol - không có điểm nào giữa hai đỉnh.
Câu c)
Đề bài: Tìm M₁, M₂ thuộc hai nhánh sao cho M₁M₂ nhỏ nhất.
Cách 1 — Phân tích hình học
Bước 1: Nhận xét
M₁M₂ nhỏ nhất khi đoạn thẳng M₁M₂ ngắn nhất.
Với hai điểm M₁ thuộc nhánh trái, M₂ thuộc nhánh phải:
- x₁ ≤ -a và x₂ ≥ a
- Khoảng cách nhỏ nhất xảy ra khi M₁M₂ nằm trên trục đối xứng (trục hoành).
Bước 2: Xét trường hợp M₁, M₂ nằm trên trục hoành
Khi y = 0:
- M₁ = A₁ = (-a; 0)
- M₂ = A₂ = (a; 0)
Khoảng cách: M₁M₂ = A₁A₂ = 2a
Bước 3: Chứng minh đây là khoảng cách nhỏ nhất
Với M₁(x₁; y₁) và M₂(x₂; y₂) bất kỳ thuộc hai nhánh:
M₁M₂² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
Vì x₂ ≥ a và x₁ ≤ -a, nên:
x₂ - x₁ ≥ a - (-a) = 2a
Do đó: M₁M₂² ≥ (2a)² = 4a²
⟹ M₁M₂ ≥ 2a
Dấu "=" xảy ra khi x₁ = -a, x₂ = a và y₁ = y₂ = 0.
Kết quả: M₁(-a; 0), M₂(a; 0) và M₁M₂ nhỏ nhất = 2a
Cách 2 — Dùng tính chất đối xứng
Do hypebol đối xứng qua gốc O, khoảng cách ngắn nhất giữa hai nhánh là đoạn nối hai đỉnh A₁A₂ = 2a.
💡 Mẹo nhớ: Khoảng cách ngắn nhất giữa hai nhánh hypebol chính là độ dài trục thực = 2a.
Bài 7.37
Đề bài: Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1 m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
Cách 1 — Thiết lập hệ tọa độ và phương trình hypebol
Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ
- Gốc O đặt tại tâm cột (chỗ nhỏ nhất, ở giữa chiều cao)
- Trục Ox theo phương ngang
- Trục Oy theo phương thẳng đứng
Bước 2: Xác định các thông số
- Chiều cao cột: 6 m → từ y = -3 đến y = 3
- Chỗ nhỏ nhất (y = 0): rộng 0,8 m → bán kính = 0,4 m
- Đỉnh và đáy (y = ±3): rộng 1 m → bán kính = 0,5 m
Bước 3: Lập phương trình hypebol
Đường biên cột có dạng hypebol: x²/a² - y²/b² = 1
Tại y = 0: x = 0,4 (điểm trên nhánh phải)
⟹ (0,4)²/a² - 0 = 1
⟹ a² = 0,16
⟹ a = 0,4
Tại y = 3: x = 0,5
⟹ (0,5)²/(0,16) - 9/b² = 1
⟹ 0,25/0,16 - 9/b² = 1
⟹ 25/16 - 9/b² = 1
⟹ 9/b² = 25/16 - 1 = 25/16 - 16/16 = 9/16
⟹ b² = 16
⟹ b = 4
Phương trình hypebol: x²/0,16 - y²/16 = 1
Hay: x²/(0,4)² - y²/4² = 1
Bước 4: Tính độ rộng tại độ cao 5 m
Độ cao 5 m tính từ đáy cột. Vì gốc O ở giữa (độ cao 3 m từ đáy), nên:
y = 5 - 3 = 2
Thay y = 2 vào phương trình:
x²/0,16 - 4/16 = 1
x²/0,16 - 1/4 = 1
x²/0,16 = 1 + 0,25 = 1,25 = 5/4
x² = 0,16 × 5/4 = 0,16 × 1,25 = 0,2
x = √0,2 ≈ 0,4472
Độ rộng = 2x ≈ 2 × 0,4472 ≈ 0,89 m
Cách 2 — Tính trực tiếp
Với a = 0,4 và b = 4, phương trình: x² = a²(1 + y²/b²) = 0,16(1 + y²/16)
Tại y = 2:
x² = 0,16 × (1 + 4/16) = 0,16 × 1,25 = 0,2
x = √0,2 ≈ 0,4472
Độ rộng = 2 × 0,4472 ≈ 0,89 m
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Tính √0,2: Bấm√0.2=→ Kết quả: 0,4472135955 - Nhân 2:× 2 =→ 0,894427191 - Làm tròn 2 chữ số: 0,89
⚠️ Lưu ý thi: Bài toán thực tế về hypebol thường yêu cầu: 1. Thiết lập hệ tọa độ hợp lý 2. Xác định a, b từ điều kiện đề bài 3. Thay tọa độ cần tìm vào phương trình
Trang 60 — Chương VIII: Đại số tổ hợp, Bài 23: Quy tắc đếm
Trang này không có bài tập. Đây là trang giới thiệu chương mới.
Tóm tắt nội dung:
Chương VIII: Đại số tổ hợp cung cấp các kiến thức cơ bản về:
- Quy tắc cộng và quy tắc nhân
- Các khái niệm và công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
- Công thức khai triển nhị thức Newton trong trường hợp số mũ thấp
Bài 23: Quy tắc đếm
Thuật ngữ:
- Quy tắc cộng
- Quy tắc nhân
- Sơ đồ hình cây
Kiến thức, kĩ năng:
- Vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để tính toán số cách thực hiện một công việc hoặc đếm số phần tử của một tập hợp
- Vận dụng sơ đồ hình cây trong các bài toán đếm đơn giản
Bài toán mở đầu: Mỗi mật khẩu của một trang web là một dãy có từ 2 tới 3 kí tự, trong đó kí tự đầu tiên là một trong 26 chữ cái in thường trong bảng chữ cái tiếng Anh (từ a đến z), mỗi kí tự còn lại là một chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
🎯 Ghi nhớ: - Elip: Giao với Ox tại (±a; 0), giao với Oy tại (0; ±b). Khoảng cách từ điểm trên elip đến tâm nằm trong đoạn [b; a]. - Hypebol: Chỉ tồn tại ở miền |x| ≥ a. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai nhánh = 2a. - Bài toán thực tế hypebol: Chọn gốc tọa độ tại tâm đối xứng, xác định a từ điểm hẹp nhất, b từ điều kiện biên.