Giải Toán 10 - Tập 2 trang 62

Tóm tắt lý thuyết

Quy tắc cộng

Một công việc thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau: - Phương án 1 có $n_1$ cách, - Phương án 2 có $n_2$ cách. Khi đó số cách thực hiện công việc là $n_1 + n_2$ cách.

Lưu ý quan trọng: quy tắc cộng chỉ dùng khi các phương án rời nhau (không trùng lặp, độc lập với nhau).

Sơ đồ hình cây giúp phân chia trường hợp rõ ràng, tránh đếm thừa hoặc bỏ sót.

---

HĐ1: Chọn chuyến đi

Đề: Từ Hà Nội vào Vinh mỗi ngày có 7 chuyến tàu hỏa và 2 chuyến máy bay. Bạn An muốn đi từ Hà Nội vào Vinh bằng tàu hỏa hoặc máy bay. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn chuyến đi?

Lời giải:

An có hai phương án rời nhau:

• Đi tàu hỏa: 7 cách,
• Đi máy bay: 2 cách.

Theo quy tắc cộng, số cách chọn chuyến đi là:

$$7 + 2 = 9 \text{ (cách)}.$$

---

HĐ2: Chọn vé tàu

Đề: Trên tàu SE7 có toa ngồi (ngồi cứng, ngồi mềm) và toa nằm. Toa nằm có khoang 4 giường (tầng 1, tầng 2) và khoang 6 giường (tầng 1, tầng 2, tầng 3).

a) Có bao nhiêu loại vé ghế ngồi và bao nhiêu loại vé giường nằm?

Vậy có 2 loại vé ghế ngồi và 5 loại vé giường nằm.

b) Có bao nhiêu loại vé để An lựa chọn?

Hai nhóm vé rời nhau, theo quy tắc cộng:

$$2 + 5 = 7 \text{ (loại vé)}.$$

---

Ví dụ 1: Chọn món ăn sáng (lời giải trong sách)

Quán có phở (2 loại: bò, gà) và bún (3 loại: bò, riêu cua, cá). Số cách chọn một món:

$$2 + 3 = 5 \text{ (cách)}.$$

---

Ví dụ 2: Đếm quân cờ vua (lời giải trong sách)

a) Số quân tốt: tốt trắng 8 quân + tốt đen 8 quân $= 8+8 = 16$ (quân).

b) Quân trắng 16 + quân tốt 16, nhưng 8 quân tốt trắng đã đếm hai lần nên:

$$16 + 16 - 8 = 24 \text{ (quân cờ)}.$$

Nhận xét quan trọng: vì tập hợp quân trắng $A$ và tập hợp quân tốt $B$ có phần chung ($A \cap B \neq \varnothing$ — chính là 8 quân tốt trắng) nên không áp dụng quy tắc cộng trực tiếp được. Đây là lý do phải trừ đi phần đếm trùng.

---

Luyện tập 1

Đề: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35?

Lời giải:

Phân tích $35 = 5 \times 7$.

Một số không nguyên tố cùng nhau với 35 khi nó có ước chung lớn hơn 1 với 35, tức là chia hết cho 5 hoặc chia hết cho 7.

Đếm theo hai phương án:

• Các số từ 1 đến 30 chia hết cho 5: $5, 10, 15, 20, 25, 30$ → 6 số.
• Các số từ 1 đến 30 chia hết cho 7: $7, 14, 21, 28$ → 4 số.

Kiểm tra trùng lặp: số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 7 phải chia hết cho 35, mà bội nhỏ nhất là 35 > 30 nên không có số nào trùng. Hai phương án rời nhau.

Theo quy tắc cộng:

$$6 + 4 = 10 \text{ (số)}.$$

Vậy có 10 số tự nhiên từ 1 đến 30 không nguyên tố cùng nhau với 35.

Mẹo: nhờ kiểm tra phần trùng (bội của 35) mà ta yên tâm cộng thẳng, đúng tinh thần "phương án phải rời nhau".

---

HĐ3: Mở đầu Quy tắc nhân

Đề: Thầy Trung đi từ Hà Nội vào Huế (3 cách: ô tô, tàu hỏa, máy bay), rồi từ Huế vào Quảng Nam (2 cách: ô tô, tàu hỏa). Hỏi thầy Trung có bao nhiêu cách chọn phương tiện để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam?

Lời giải:

Đây là công việc gồm hai công đoạn liên tiếp (khác với quy tắc cộng):

• Chặng Hà Nội → Huế: 3 cách.
• Với mỗi cách trên, chặng Huế → Quảng Nam: 2 cách.

Liệt kê để dễ hiểu (ô tô, tàu, máy bay × ô tô, tàu):

Tổng số cách:
$$3 \times 2 = 6 \text{ (cách)}.$$

Đây chính là ý tưởng dẫn vào quy tắc nhân ở phần tiếp theo: khi công việc gồm nhiều công đoạn nối tiếp, ta nhân số cách của từng công đoạn.

---

Nếu em gửi đúng ảnh trang 63 (phần nội dung chi tiết quy tắc nhân và các ví dụ tiếp theo), cô sẽ giải nốt phần đó cho em nhé.