Giải Toán 10 - Tập 2 trang 8
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 8–9
(Lưu ý nhỏ: ảnh em gửi thực ra là trang 7 và trang 8 của sách, mình vẫn giải đầy đủ theo đúng yêu cầu.)
Tóm tắt lý thuyết
1. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x; f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ với mọi $x$ thuộc $D$.
Nghĩa là: một điểm nằm trên đồ thị khi và chỉ khi tung độ của nó bằng giá trị hàm số tại hoành độ tương ứng.
2. Đồng biến – nghịch biến
- Hàm số $y = f(x)$ đồng biến (tăng) trên $(a; b)$ nếu:
$$\forall x_1, x_2 \in (a;b),\ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$
- Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến (giảm) trên $(a; b)$ nếu:
$$\forall x_1, x_2 \in (a;b),\ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$
Về đồ thị: đồng biến thì đường "đi lên" từ trái sang phải; nghịch biến thì "đi xuống".
Bài HĐ4: Điểm nào nằm trên đồ thị
Đề: Quan sát Hình 6.2, cho biết những điểm nào sau đây nằm trên đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$:
$$(0; 0),\ (2; 2),\ (-2; 2),\ (1; 2),\ (-1; 2)$$
Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ của các điểm nằm trên đồ thị.
Lời giải: Ta thay hoành độ vào công thức $y = \dfrac{1}{2}x^2$ và so với tung độ.
| Điểm | Tính $\frac{1}{2}x^2$ | Tung độ cho | Kết luận |
|---|---|---|---|
| $(0;0)$ | $\frac{1}{2}\cdot 0 = 0$ | $0$ | Nằm trên ✓ |
| $(2;2)$ | $\frac{1}{2}\cdot 4 = 2$ | $2$ | Nằm trên ✓ |
| $(-2;2)$ | $\frac{1}{2}\cdot 4 = 2$ | $2$ | Nằm trên ✓ |
| $(1;2)$ | $\frac{1}{2}\cdot 1 = 0{,}5$ | $2$ | Không ✗ |
| $(-1;2)$ | $\frac{1}{2}\cdot 1 = 0{,}5$ | $2$ | Không ✗ |
Vậy các điểm nằm trên đồ thị là: $(0;0),\ (2;2),\ (-2;2)$.
Nhận xét: Với mỗi điểm $M(x; y)$ nằm trên đồ thị thì tung độ luôn bằng giá trị hàm số tại hoành độ, tức là $y = \dfrac{1}{2}x^2$.
Bài Luyện tập 2
Câu a) Dựa vào đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$ (H.6.2), tìm $x$ sao cho $y = 8$.
Lời giải: Cho $y = 8$:
$$\frac{1}{2}x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \ \text{hoặc}\ x = -4$$
Vậy $x = 4$ hoặc $x = -4$ (trên đồ thị là hai điểm $(4; 8)$ và $(-4; 8)$ đối xứng nhau qua trục $Oy$).
Câu b) Vẽ đồ thị các hàm số $y = 2x + 1$ và $y = 2x^2$ trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
Hướng dẫn vẽ:
Với $y = 2x + 1$ (đường thẳng), lập bảng:
| $x$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $1$ |
|---|---|---|---|
| $y$ | $1$ | $0$ | $3$ |
Đường thẳng đi qua $(0; 1)$ và $\left(-\frac{1}{2}; 0\right)$.
Với $y = 2x^2$ (parabol đỉnh $O$, hướng lên), lập bảng:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ |
Vẽ parabol đối xứng qua trục $Oy$, đỉnh tại gốc toạ độ. Hai đồ thị cắt nhau tại các điểm thoả $2x^2 = 2x + 1$.
Bài Vận dụng 1
Đề: Nếu lượng điện tiêu thụ từ trên 50 đến 100 kWh ($50 < x \le 100$) thì số tiền phải trả là:
$$y = 1{,}678\cdot 50 + 1{,}734(x - 50) = 83{,}9 + 1{,}734(x - 50) = 1{,}734x - 2{,}8 \ (\text{nghìn đồng})$$
Hãy vẽ tiếp đồ thị hàm số $y = 1{,}734x - 2{,}8$ trên $D = (50; 100]$ vào cùng Hình 6.3.
Lời giải: Đây là một đoạn thẳng. Ta tính hai đầu mút:
- Tại $x = 50$: $y = 1{,}734\cdot 50 - 2{,}8 = 86{,}7 - 2{,}8 = 83{,}9$
- Tại $x = 100$: $y = 1{,}734\cdot 100 - 2{,}8 = 173{,}4 - 2{,}8 = 170{,}6$
Vậy đồ thị là đoạn thẳng nối điểm $(50; 83{,}9)$ với điểm $(100; 170{,}6)$.
Điểm $(50; 83{,}9)$ chính là điểm cuối của đoạn thẳng cũ $y = 1{,}678x$, nên hai đoạn nối liền nhau (đồ thị liên tục), chỉ khác độ dốc. Tập giá trị trên khoảng này là $(83{,}9; 170{,}6]$.
Bài HĐ5: Lập bảng và xét tăng/giảm
Đề: Cho hai hàm số $y = -x + 1$ và $y = x$. Tính $y$ theo $x$ để hoàn thành bảng. Khi $x$ tăng, giá trị $y$ của mỗi hàm tăng hay giảm?
Lời giải:
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = -x + 1$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
| $y = x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
Cách tính:
- $y = -x + 1$: thay $x = -2 \Rightarrow 2 + 1 = 3$; $x = -1 \Rightarrow 2$; $x = 0 \Rightarrow 1$; $x = 1 \Rightarrow 0$; $x = 2 \Rightarrow -1$.
- $y = x$: giá trị $y$ đúng bằng $x$.
Kết luận: Khi $x$ tăng dần:
- Hàm $y = -x + 1$ có $y$ giảm dần ($3 \to 2 \to 1 \to 0 \to -1$).
- Hàm $y = x$ có $y$ tăng dần ($-2 \to -1 \to 0 \to 1 \to 2$).
Bài HĐ6: Đọc đồ thị $y = -x^2$
Đề: Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x) = -x^2$ trên $\mathbb{R}$ (H.6.5). Hỏi:
- a) Giá trị $f(x)$ tăng hay giảm khi $x$ tăng trên khoảng $(-\infty; 0)$?
- b) Giá trị $f(x)$ tăng hay giảm khi $x$ tăng trên khoảng $(0; +\infty)$?
Lời giải: Đồ thị $y = -x^2$ là parabol đỉnh $O$, mở xuống dưới.
a) Trên $(-\infty; 0)$, đồ thị "đi lên" từ trái sang phải. Lấy ví dụ $x = -2 \Rightarrow y = -4$, $x = -1 \Rightarrow y = -1$; khi $x$ tăng thì $y$ tăng ($-4 \to -1$). Vậy $f(x)$ tăng (hàm đồng biến trên $(-\infty; 0)$).
b) Trên $(0; +\infty)$, đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải. Lấy $x = 1 \Rightarrow y = -1$, $x = 2 \Rightarrow y = -4$; khi $x$ tăng thì $y$ giảm ($-1 \to -4$). Vậy $f(x)$ giảm (hàm nghịch biến trên $(0; +\infty)$).
Tóm lại, hai trang này cho em hai ý cốt lõi: một điểm thuộc đồ thị khi tung độ khớp công thức, và muốn biết hàm tăng hay giảm thì nhìn đồ thị "đi lên" hay "đi xuống" theo chiều $x$ tăng. Nếu em muốn mình vẽ chi tiết đồ thị nào ở phần Luyện tập 2 hay Vận dụng 1, cứ nói nhé.