Giải Toán 10 - Tập 2 trang 10
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 10–11
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa hàm số:
- Hàm số là quy tắc đặt tương ứng mỗi giá trị x thuộc tập D với một và chỉ một giá trị y.
- Ký hiệu: y = f(x), trong đó x là biến số độc lập, y là biến số phụ thuộc.
2. Tập xác định (TXĐ):
- Là tập hợp tất cả các giá trị x để hàm số có nghĩa.
3. Tập giá trị:
- Là tập hợp tất cả các giá trị y mà hàm số nhận được.
4. Hàm số đồng biến và nghịch biến:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
5. Các hàm số cơ bản:
- Hàm bậc nhất y = ax + b: đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0
- Hàm bậc hai y = ax²: đồng biến và nghịch biến tùy dấu của a và khoảng xét
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3
Đề bài: Vẽ đồ thị của hàm số y = 3x + 1 và y = -2x². Hãy cho biết:
- a) Hàm số y = 3x + 1 đồng biến hay nghịch biến trên ℝ.
- b) Hàm số y = -2x² đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng: (-∞; 0) và (0; +∞).
Câu a)
Đề bài: Hàm số y = 3x + 1 đồng biến hay nghịch biến trên ℝ?
Cách 1 — Dựa vào hệ số góc của hàm bậc nhất
Hàm số y = 3x + 1 là hàm bậc nhất với hệ số góc a = 3.
Quy tắc: Hàm bậc nhất y = ax + b:
- Đồng biến trên ℝ khi a > 0
- Nghịch biến trên ℝ khi a < 0
Vì a = 3 > 0 nên hàm số y = 3x + 1 đồng biến trên ℝ.
Cách 2 — Dùng định nghĩa
Lấy x₁ < x₂ bất kỳ thuộc ℝ.
Ta có: f(x₁) - f(x₂) = (3x₁ + 1) - (3x₂ + 1) = 3(x₁ - x₂)
Vì x₁ < x₂ nên x₁ - x₂ < 0, suy ra 3(x₁ - x₂) < 0.
Do đó f(x₁) < f(x₂).
Kết luận: Hàm số y = 3x + 1 đồng biến trên ℝ.
Câu b)
Đề bài: Hàm số y = -2x² đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (0; +∞)?
Cách 1 — Dựa vào tính chất hàm bậc hai
Hàm số y = -2x² có dạng y = ax² với a = -2 < 0.
Tính chất hàm y = ax² (a ≠ 0):
- Nếu a > 0: nghịch biến trên (-∞; 0), đồng biến trên (0; +∞)
- Nếu a < 0: đồng biến trên (-∞; 0), nghịch biến trên (0; +∞)
Vì a = -2 < 0 nên:
- Trên khoảng (-∞; 0): hàm số đồng biến
- Trên khoảng (0; +∞): hàm số nghịch biến
Cách 2 — Dùng định nghĩa
Xét trên (-∞; 0): Lấy x₁ < x₂ < 0.
f(x₁) - f(x₂) = -2x₁² - (-2x₂²) = -2(x₁² - x₂²) = -2(x₁ - x₂)(x₁ + x₂)
- x₁ < x₂ nên x₁ - x₂ < 0
- x₁ < 0 và x₂ < 0 nên x₁ + x₂ < 0
Suy ra: (x₁ - x₂)(x₁ + x₂) > 0, do đó -2(x₁ - x₂)(x₁ + x₂) < 0.
Vậy f(x₁) < f(x₂) → Hàm số đồng biến trên (-∞; 0).
Xét trên (0; +∞): Lấy 0 < x₁ < x₂.
Tương tự: f(x₁) - f(x₂) = -2(x₁ - x₂)(x₁ + x₂)
- x₁ - x₂ < 0
- x₁ + x₂ > 0
Suy ra: (x₁ - x₂)(x₁ + x₂) < 0, do đó -2(x₁ - x₂)(x₁ + x₂) > 0.
Vậy f(x₁) > f(x₂) → Hàm số nghịch biến trên (0; +∞).
💡 Mẹo nhớ: Hàm y = ax² có đỉnh tại gốc O. Parabol "ngửa" (a > 0) thì đi xuống rồi đi lên. Parabol "úp" (a < 0) thì đi lên rồi đi xuống.
Vận dụng 2
Đề bài: Quan sát bảng giá cước taxi bốn chỗ trong Hình 6.7.
- Giá mở cửa: 10.000 đ/0,6km
- Giá km tiếp theo (từ km thứ 1 đến km 25): 13.000 đ/km
- Từ km thứ 25 trở đi: 11.000 đ/km
a) Tính số tiền phải trả khi di chuyển 25 km.
b) Lập công thức tính số tiền cước taxi phải trả theo số kilômét di chuyển.
c) Vẽ đồ thị và cho biết hàm số đồng biến trên khoảng nào, nghịch biến trên khoảng nào.
Câu a)
Đề bài: Tính số tiền phải trả khi di chuyển 25 km.
Cách 1 — Tính trực tiếp theo từng mức giá
Phân tích quãng đường:
- 0,6 km đầu: giá mở cửa = 10.000 đ
- Từ km 0,6 đến km 25: còn 25 - 0,6 = 24,4 km với giá 13.000 đ/km
Tính tiền:
- Tiền mở cửa: 10.000 đ
- Tiền 24,4 km tiếp theo: 24,4 × 13.000 = 317.200 đ
Tổng cộng: 10.000 + 317.200 = 327.200 đồng
Cách 2 — Lập công thức rồi thế
Với x ≤ 25 km, ta có công thức (sẽ lập ở câu b):
T(x) = 10.000 + (x - 0,6) × 13.000 = 13.000x + 2.200
Thế x = 25:
T(25) = 13.000 × 25 + 2.200 = 325.000 + 2.200 = 327.200 đồng
Câu b)
Đề bài: Lập công thức tính số tiền cước taxi phải trả theo số kilômét di chuyển.
Cách giải
Gọi x (km) là quãng đường di chuyển, T(x) (đồng) là số tiền phải trả.
Trường hợp 1: 0 < x ≤ 0,6 km
T(x) = 10.000 đ (giá mở cửa)
Trường hợp 2: 0,6 < x ≤ 25 km
T(x) = 10.000 + (x - 0,6) × 13.000
T(x) = 10.000 + 13.000x - 7.800
T(x) = 13.000x + 2.200
Trường hợp 3: x > 25 km
- Tiền cho 25 km đầu: T(25) = 327.200 đ
- Tiền cho phần vượt quá 25 km: (x - 25) × 11.000
T(x) = 327.200 + (x - 25) × 11.000
T(x) = 327.200 + 11.000x - 275.000
T(x) = 11.000x + 52.200
Công thức tổng quát:
⎧ 10.000 nếu 0 < x ≤ 0,6
T(x) = ⎨ 13.000x + 2.200 nếu 0,6 < x ≤ 25
⎩ 11.000x + 52.200 nếu x > 25Câu c)
Đề bài: Vẽ đồ thị và cho biết hàm số đồng biến trên khoảng nào, nghịch biến trên khoảng nào.
Cách giải
Nhận xét về tính đơn điệu:
- Trên (0; 0,6]: T(x) = 10.000 (hằng số) → không đồng biến, không nghịch biến
- Trên (0,6; 25]: T(x) = 13.000x + 2.200 có hệ số góc 13.000 > 0 → đồng biến
- Trên (25; +∞): T(x) = 11.000x + 52.200 có hệ số góc 11.000 > 0 → đồng biến
Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0,6; +∞)
- Hàm số không nghịch biến trên khoảng nào
💡 Nhận xét thực tế: Đồ thị là đường gấp khúc đi lên, thể hiện việc đi càng xa thì trả tiền càng nhiều. Độ dốc giảm sau 25 km (từ 13.000 xuống 11.000 đ/km) phản ánh chính sách giảm giá cho quãng đường dài.
Bài 6.1
Đề bài: Xét hai đại lượng x, y phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì y là hàm số của x?
a) x + y = 1
b) y = x²
c) y² = x
d) x² - y² = 0
Câu a) x + y = 1
Cách giải
Từ x + y = 1, ta suy ra: y = 1 - x
Với mỗi giá trị x ∈ ℝ, ta xác định được duy nhất một giá trị y = 1 - x.
Kết luận: y là hàm số của x.
Câu b) y = x²
Cách giải
Với mỗi giá trị x ∈ ℝ, ta xác định được duy nhất một giá trị y = x².
Ví dụ: x = 2 → y = 4; x = -3 → y = 9
Kết luận: y là hàm số của x.
Câu c) y² = x
Cách giải
Từ y² = x, ta suy ra: y = ±√x (với x ≥ 0)
Với mỗi giá trị x > 0, có hai giá trị y tương ứng.
Ví dụ: x = 4 → y = 2 hoặc y = -2
Điều này vi phạm định nghĩa hàm số (mỗi x chỉ tương ứng với một y duy nhất).
Kết luận: y không là hàm số của x.
Câu d) x² - y² = 0
Cách giải
Ta có: x² - y² = 0 ⇔ (x - y)(x + y) = 0 ⇔ y = x hoặc y = -x
Với mỗi giá trị x ≠ 0, có hai giá trị y tương ứng.
Ví dụ: x = 3 → y = 3 hoặc y = -3
Kết luận: y không là hàm số của x.
⚠️ Lưu ý thi: Để y là hàm số của x, mỗi giá trị x chỉ được tương ứng với đúng một giá trị y. Nếu có nhiều giá trị y → không phải hàm số.
Bài 6.2
Đề bài: Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.
Cách giải
Ví dụ: Bảng điểm kiểm tra của 5 học sinh
| Học sinh (x) | An | Bình | Cường | Dũng | Em |
|---|---|---|---|---|---|
| Điểm (y) | 8 | 7 | 9 | 6 | 10 |
Hoặc có thể viết:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 8 | 7 | 9 | 6 | 10 |
Tập xác định: D = {1; 2; 3; 4; 5} (các số thứ tự học sinh)
Tập giá trị: T = {6; 7; 8; 9; 10} (các điểm số)
💡 Gợi ý: Có thể lấy ví dụ khác như: nhiệt độ theo giờ trong ngày, doanh thu theo tháng, số học sinh theo lớp...
Bài 6.3
Đề bài: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = 2x³ + 3x + 1
b) y = (x - 1)/(x² - 3x + 2)
c) y = √(x + 1) + √(1 - x)
Câu a) y = 2x³ + 3x + 1
Cách 1 — Nhận dạng hàm đa thức
Hàm số y = 2x³ + 3x + 1 là hàm đa thức.
Quy tắc: Hàm đa thức xác định với mọi x ∈ ℝ.
Tập xác định: D = ℝ
Cách 2 — Phân tích điều kiện
Biểu thức 2x³ + 3x + 1 luôn có nghĩa với mọi x ∈ ℝ (không có phép chia, không có căn).
Tập xác định: D = ℝ
Câu b) y = (x - 1)/(x² - 3x + 2)
Cách 1 — Tìm điều kiện mẫu số khác 0
Hàm số có nghĩa khi mẫu số khác 0:
x² - 3x + 2 ≠ 0
Phân tích: x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
(x - 1)(x - 2) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ 2
Tập xác định: D = ℝ \ {1; 2} hay D = (-∞; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞)
Cách 2 — Giải phương trình mẫu = 0
x² - 3x + 2 = 0
Dùng công thức nghiệm: Δ = 9 - 8 = 1
x = (3 ± 1)/2 → x = 2 hoặc x = 1
Loại hai giá trị này khỏi ℝ.
Tập xác định: D = ℝ \ {1; 2}
💡 Mẹo bấm máy: Casio fx-580VN X: Bấm MODE → 5 (EQN) → 3 (ax² + bx + c = 0), nhập a = 1, b = -3, c = 2 để tìm nghiệm.
Câu c) y = √(x + 1) + √(1 - x)
Cách 1 — Lập hệ điều kiện
Hàm số có nghĩa khi cả hai biểu thức trong căn đều không âm:
⎧ x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1
⎨
⎩ 1 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1Kết hợp hai điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1
Tập xác định: D = [-1; 1]
Cách 2 — Biểu diễn trên trục số
Vẽ trục số:
- x + 1 ≥ 0: lấy từ -1 sang phải [─────────→
- 1 - x ≥ 0: lấy từ 1 sang trái ←─────────]
Giao của hai miền: đoạn [-1; 1]
Tập xác định: D = [-1; 1]
⚠️ Lưu ý thi: Với hàm chứa nhiều căn, phải lập hệ bất phương trình và tìm giao các tập nghiệm.
Bài 6.4
Đề bài: Tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm số sau:
a) y = 2x + 3
b) y = 2x²
Câu a) y = 2x + 3
Cách giải
Tập xác định:
Hàm số y = 2x + 3 là hàm bậc nhất, xác định với mọi x ∈ ℝ.
D = ℝ
Tập giá trị:
Khi x chạy trên ℝ, giá trị y = 2x + 3 cũng chạy trên toàn bộ ℝ.
- Khi x → -∞ thì y → -∞
- Khi x → +∞ thì y → +∞
T = ℝ
💡 Mẹo nhớ: Hàm bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) luôn có TXĐ = ℝ và tập giá trị = ℝ.
Câu b) y = 2x²
Cách giải
Tập xác định:
Hàm số y = 2x² là hàm đa thức, xác định với mọi x ∈ ℝ.
D = ℝ
Tập giá trị:
Ta có x² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ, do đó 2x² ≥ 0.
- Giá trị nhỏ nhất: y = 0 khi x = 0
- Khi |x| → +∞ thì y → +∞
Mọi giá trị y ≥ 0 đều đạt được (với x = ±√(y/2))
T = [0; +∞)
💡 Mẹo nhớ: Hàm y = ax² có tập giá trị là [0; +∞) nếu a > 0, và (-∞; 0] nếu a < 0.
Bài 6.5
Đề bài: Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
a) y = -2x + 1
b) y = -1/2 × x²
Câu a) y = -2x + 1
Cách giải
Bảng giá trị:
| x | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 1 | -1 | -3 |
Đồ thị: Đường thẳng đi qua hai điểm (0; 1) và (1; -1).
Tính đơn điệu:
Hàm số y = -2x + 1 là hàm bậc nhất với hệ số góc a = -2 < 0.
Kết luận: Hàm số nghịch biến trên ℝ.
Câu b) y = -1/2 × x²
Cách giải
Bảng giá trị:
| x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 |
Đồ thị: Parabol có đỉnh tại gốc O(0; 0), bề lõm quay xuống dưới (vì a = -1/2 < 0).
Tính đơn điệu:
Vì a = -1/2 < 0 nên:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)
💡 Mẹo bấm máy: Để kiểm tra, dùng chức năng TABLE: MODE → 7 (TABLE), nhập hàm f(x) = -0.5x², chọn Start = -4, End = 4, Step = 1.
Bài 6.6
Đề bài: Giá thuê xe ô tô tự lái là 1,2 triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và 900 nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền T phải trả là một hàm số của số ngày x mà khách thuê xe.
a) Viết công thức của hàm số T = T(x).
b) Tính T(2), T(3), T(5) và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.
Câu a)
Đề bài: Viết công thức của hàm số T = T(x).
Cách giải
Gọi x (ngày) là số ngày thuê xe, T(x) (triệu đồng) là tổng tiền phải trả.
Trường hợp 1: 1 ≤ x ≤ 2 (thuê từ 1 đến 2 ngày)
Mỗi ngày giá 1,2 triệu đồng.
T(x) = 1,2x (triệu đồng)
Trường hợp 2: x > 2 (thuê từ 3 ngày trở lên)
- Tiền 2 ngày đầu: 1,2 × 2 = 2,4 triệu đồng
- Tiền các ngày còn lại: (x - 2) × 0,9 triệu đồng
T(x) = 2,4 + 0,9(x - 2) = 2,4 + 0,9x - 1,8 = 0,9x + 0,6
T(x) = 0,9x + 0,6 (triệu đồng)
Công thức tổng quát:
⎧ 1,2x nếu 1 ≤ x ≤ 2
T(x) = ⎨
⎩ 0,9x + 0,6 nếu x > 2(Đơn vị: triệu đồng, với x là số nguyên dương)
Câu b)
Đề bài: Tính T(2), T(3), T(5) và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.
Cách giải
Tính T(2): (x = 2 ≤ 2, dùng công thức T(x) = 1,2x)
T(2) = 1,2 × 2 = 2,4 triệu đồng
Ý nghĩa: Thuê xe 2 ngày thì phải trả 2,4 triệu đồng = 2.400.000 đồng.
Tính T(3): (x = 3 > 2, dùng công thức T(x) = 0,9x + 0,6)
T(3) = 0,9 × 3 + 0,6 = 2,7 + 0,6 = 3,3 triệu đồng
Ý nghĩa: Thuê xe 3 ngày thì phải trả 3,3 triệu đồng = 3.300.000 đồng.
Kiểm tra: 2 ngày đầu: 2,4 triệu; ngày thứ 3: 0,9 triệu → Tổng: 3,3 triệu ✓
Tính T(5): (x = 5 > 2, dùng công thức T(x) = 0,9x + 0,6)
T(5) = 0,9 × 5 + 0,6 = 4,5 + 0,6 = 5,1 triệu đồng
Ý nghĩa: Thuê xe 5 ngày thì phải trả 5,1 triệu đồng = 5.100.000 đồng.
Kiểm tra: 2 ngày đầu: 2,4 triệu; 3 ngày sau: 3 × 0,9 = 2,7 triệu → Tổng: 5,1 triệu ✓
💡 Nhận xét: Bài toán này là ví dụ về hàm số cho bởi nhiều công thức (hàm từng khúc). Đây là dạng phổ biến trong thực tế khi có các mức giá khác nhau.
Ví dụ trong sách (Trang 11)
Đề bài: Bác An dù