Giải Toán 10 - Tập 2 trang 64

Hai trang này thuộc bài "Quy tắc đếm" (Toán 10 – Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các hoạt động, ví dụ và bài luyện tập có trên trang.

Tóm tắt lý thuyết

Quy tắc nhân: Một công việc hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp.

• Công đoạn 1 có $m_1$ cách thực hiện.
• Với mỗi cách của công đoạn 1, công đoạn 2 có $m_2$ cách thực hiện.

Khi đó số cách thực hiện công việc là $m_1 \cdot m_2$ cách.

Phân biệt hai quy tắc:

• Quy tắc cộng: dùng khi công việc chia thành các phương án phân biệt (chỉ cần làm một trong các phương án).
• Quy tắc nhân: dùng khi công việc có nhiều công đoạn nối tiếp (phải làm hết tất cả các công đoạn).

HĐ4: Gắn nhãn ghế phòng chiếu phim

Đề: Mỗi ghế được gắn nhãn gồm một chữ cái in hoa (26 chữ từ A đến Z) đứng trước và một số nguyên từ 1 đến 20, chẳng hạn X15, Z2,... Hỏi có thể gắn nhãn tối đa cho bao nhiêu ghế?

Lời giải: Việc gắn nhãn gồm 2 công đoạn:

• Chọn chữ cái: có 26 cách.
• Chọn số: có 20 cách.

Theo quy tắc nhân:
$$26 \times 20 = 520 \text{ (ghế)}.$$

Đáp số: tối đa 520 ghế.

Ví dụ 3: Mua vé tàu (đã giải trong sách)

Người mua vé thực hiện 2 công đoạn: chọn chuyến tàu (3 cách: SE5, SE7, SE35) rồi chọn loại vé (2 cách: cứng, mềm).

Theo quy tắc nhân: $3 \times 2 = 6$ loại vé. Dùng quy tắc cộng cũng được kết quả: $2+2+2 = 6$.

Luyện tập 2: Số trận đấu vòng bảng World Cup 2018

Đề: 32 đội chia vào 8 bảng, mỗi bảng 4 đội đấu vòng tròn (mỗi đội gặp tất cả các đội khác trong cùng bảng đúng một lần). Hỏi vòng bảng có tổng cộng bao nhiêu trận?

Lời giải:

Số trận trong một bảng 4 đội chính là số cách chọn 2 đội từ 4 đội (mỗi cặp 1 trận):
$$\binom{4}{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6 \text{ (trận)}.$$

Có 8 bảng nên tổng số trận:
$$8 \times 6 = 48 \text{ (trận)}.$$

Đáp số: 48 trận.

Ví dụ 4: Thiết kế thực đơn (đã giải trong sách)

Thực đơn gồm 3 công đoạn, mỗi công đoạn dùng quy tắc cộng để đếm số món:

• Khai vị: $2 + 3 = 5$ cách.
• Món chính: $4 + 3 + 3 = 10$ cách.
• Tráng miệng: $5 + 3 = 8$ cách.

Theo quy tắc nhân, số thực đơn:
$$5 \times 10 \times 8 = 400 \text{ (cách)}.$$

Luyện tập 3: Lập số từ các chữ số 0, 1, 2, 3

a) Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau

Gọi số cần lập là $\overline{abc}$.

• Chữ số hàng trăm $a \ne 0$: chọn từ $\{1,2,3\}$ có 3 cách.
• Chữ số hàng chục $b$: khác $a$, chọn từ 3 chữ số còn lại có 3 cách.
• Chữ số hàng đơn vị $c$: khác $a, b$, có 2 cách.

Theo quy tắc nhân:
$$3 \times 3 \times 2 = 18 \text{ (số)}.$$

b) Số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau

Số chẵn nên chữ số cuối $c$ phải là 0 hoặc 2. Ta xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: $c = 0$.

• $a$: khác 0, chọn từ $\{1,2,3\}$ có 3 cách.
• $b$: khác $a$ và khác 0, còn lại 2 cách.

Số cách: $3 \times 2 = 6$.

Trường hợp 2: $c = 2$.

• $a$: khác 0 và khác 2, chọn từ $\{1,3\}$ có 2 cách.
• $b$: khác $a$ và khác 2, còn lại 2 chữ số (trong đó có thể là 0) nên có 2 cách.

Số cách: $2 \times 2 = 4$.

Áp dụng quy tắc cộng cho hai trường hợp:

$$6 + 4 = 10 \text{ (số)}.$$

Đáp số: a) 18 số; b) 10 số.

Ví dụ 5: Đếm số mật khẩu (đã giải trong sách)

Mật khẩu dài 2 hoặc 3 kí tự (chữ cái thường đứng đầu, sau là chữ số).

• Trường hợp 2 kí tự: $26 \times 10 = 260$ cách.
• Trường hợp 3 kí tự: $26 \times 10^2 = 2600$ cách.

Tổng số mật khẩu (quy tắc cộng): $260 + 2600 = 2860$ cách.