Giải Toán 10 - Tập 2 trang 66
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 66–67
Hai trang này nằm ở phần cuối Bài 23 (phần Bài tập) và phần mở đầu Bài 24. Mình sẽ giải hết các bài tập và hướng dẫn nội dung lý thuyết nhé.
Phần Vận dụng (cuối Bài 23)
Đề: Khối 10 có ba lớp 10A (30 bạn), 10B (35 bạn), 10C (32 bạn). Chọn 4 bạn lập đội cờ đỏ sao cho có đủ đại diện cả ba lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Lời giải:
Chọn 4 bạn từ 3 lớp mà đủ đại diện cả ba lớp thì số bạn mỗi lớp phải là 2 – 1 – 1 (một lớp có 2 bạn, hai lớp còn lại mỗi lớp 1 bạn).
Có 3 trường hợp tùy theo lớp nào góp 2 bạn:
| Lớp góp 2 bạn | Số cách |
|---|---|
| 10A | $C_{30}^2 \cdot 35 \cdot 32 = 435 \cdot 1120 = 487\,200$ |
| 10B | $C_{35}^2 \cdot 30 \cdot 32 = 595 \cdot 960 = 571\,200$ |
| 10C | $C_{32}^2 \cdot 30 \cdot 35 = 496 \cdot 1050 = 520\,800$ |
Theo quy tắc cộng:
$$487\,200 + 571\,200 + 520\,800 = 1\,579\,200 \text{ (cách)}.$$
Bài 8.1: Chọn một cuốn để đọc
Đề: Trên giá có 8 truyện ngắn, 7 tiểu thuyết, 5 tập thơ (đều khác nhau). Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc cuối tuần?
Lời giải:
Việc chọn 1 cuốn rơi vào một trong ba nhóm rời nhau, nên dùng quy tắc cộng:
$$8 + 7 + 5 = 20 \text{ (cách)}.$$
Sơ đồ hình cây: từ gốc tỏa ra 3 nhánh (Truyện ngắn → 8 lá, Tiểu thuyết → 7 lá, Thơ → 5 lá), tổng cộng 20 lá.
Đáp số: 20 cách.
Bài 8.2: Gieo đồng xu 3 lần
Đề: Gieo đồng xu, mỗi lần ghi sấp (S) hay ngửa (N). Gieo 3 lần thì có bao nhiêu khả năng xảy ra?
Lời giải:
Mỗi lần gieo có 2 khả năng. Theo quy tắc nhân:
$$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \text{ (khả năng)}.$$
Cụ thể: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN.
Đáp số: 8 khả năng.
Bài 8.3: Gen trội, gen lặn
Đề: A là gen trội (hoa kép), a là gen lặn (hoa đơn).
a) Sự tổ hợp hai gen tạo ra mấy kiểu gen? Viết các kiểu gen.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau?
Lời giải:
a) Mỗi kiểu gen gồm 2 gen lấy từ {A, a}, không phân biệt thứ tự (Aa và aA là một). Có 3 kiểu gen:
$$AA, \quad Aa, \quad aa.$$
b) Một kiểu giao phối là một cặp kiểu gen (bố × mẹ), không phân biệt thứ tự. Từ 3 kiểu gen:
- Hai cá thể cùng kiểu gen: 3 cách (AA×AA, Aa×Aa, aa×aa).
- Hai cá thể khác kiểu gen: $C_3^2 = 3$ cách (AA×Aa, AA×aa, Aa×aa).
Tổng: $3 + 3 = 6$ kiểu giao phối.
Đáp số: 6 kiểu giao phối.
Bài 8.4: Đếm số tự nhiên
Đề: Có bao nhiêu số tự nhiên...
a) có 3 chữ số khác nhau?
Chữ số hàng trăm: ≠ 0 → 9 cách. Hàng chục: ≠ chữ số đã chọn → 9 cách. Hàng đơn vị: → 8 cách.
$$9 \cdot 9 \cdot 8 = 648 \text{ (số)}.$$
b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
Chọn hàng đơn vị lẻ trước: {1,3,5,7,9} → 5 cách. Hàng trăm: ≠ 0, ≠ chữ số cuối → 8 cách. Hàng chục: ≠ 2 chữ đã chọn → 8 cách.
$$5 \cdot 8 \cdot 8 = 320 \text{ (số)}.$$
c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
Hàng đơn vị ∈ {0, 5} → 2 cách. Hàng trăm: ≠ 0 → 9 cách. Hàng chục: → 10 cách.
$$2 \cdot 9 \cdot 10 = 180 \text{ (số)}.$$
d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Xét theo chữ số cuối:
- Cuối = 0: hàng trăm 9 cách, hàng chục 8 cách → $9 \cdot 8 = 72$.
- Cuối = 5: hàng trăm ≠ 0, ≠ 5 → 8 cách; hàng chục ≠ 5, ≠ hàng trăm → 8 cách → $8 \cdot 8 = 64$.
Tổng: $72 + 64 = 136$ (số).
Bài 8.5: Mật khẩu
Đề:
a) Mật khẩu gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
b) Quy định mới: kí tự đầu là chữ cái in hoa (26 chữ A–Z), 2 kí tự sau là chữ số (0–9). Quy định mới tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu?
Lời giải:
a) Mỗi kí tự có 10 lựa chọn (0–9), theo quy tắc nhân:
$$10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 \text{ (mật khẩu)}.$$
b) Quy định mới:
$$26 \cdot 10 \cdot 10 = 2600 \text{ (mật khẩu)}.$$
Nhiều hơn quy định cũ:
$$2600 - 1000 = 1600 \text{ (mật khẩu)}.$$
Bài 24: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP (mở đầu trang 66)
Tóm tắt mục tiêu bài học:
- Biết tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Tính được các số này bằng máy tính cầm tay.
Bài toán mở đầu (đội tuyển bóng đá):
23 cầu thủ gồm 3 thủ môn, 7 hậu vệ, 8 tiền vệ, 5 tiền đạo. Đội đá sơ đồ 3–4–3 (3 hậu vệ, 4 tiền vệ, 3 tiền đạo, 1 thủ môn). Nếu đã biết trước thủ môn, hỏi phải xét bao nhiêu đội hình?
Hướng tiếp cận (sẽ dùng tổ hợp học trong bài): chọn 3 hậu vệ từ 7, 4 tiền vệ từ 8, 3 tiền đạo từ 5:
$$C_7^3 \cdot C_8^4 \cdot C_5^3 = 35 \cdot 70 \cdot 10 = 24\,500 \text{ (đội hình)}.$$
HĐ1: Sắp xếp bốn bạn
Đề: Bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng từ trái sang phải để phỏng vấn.
a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp.
Ví dụ:
- Hà – Mai – Nam – Đạt
- Mai – Hà – Đạt – Nam
- Nam – Đạt – Hà – Mai
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp?
- Chỗ thứ nhất: 4 cách chọn.
- Chỗ thứ hai: 3 cách.
- Chỗ thứ ba: 2 cách.
- Chỗ thứ tư: 1 cách.
$$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \text{ (cách)}.$$
Nhận xét: Mỗi cách sắp xếp thứ tự bốn bạn được gọi là một hoán vị. Số hoán vị của 4 phần tử là $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.