Giải Toán 10 - Tập 2 trang 68

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Hoán vị

• Định nghĩa: Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là số tự nhiên, n ≥ 1).
• Công thức: Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Pₙ:
• Pₙ = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 = n!
• Quy ước: 0! = 1

2. Chỉnh hợp

• Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).
• Công thức: Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là Aₙᵏ:
• Aₙᵏ = n × (n-1) × ... × (n-k+1) = n!/(n-k)!

3. Tổ hợp

• Định nghĩa: Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n). Không quan tâm thứ tự.
• Công thức: Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là Cₙᵏ:
• Cₙᵏ = n!/[(n-k)! × k!] = Aₙᵏ/k!

💡 Mẹo nhớ: - Chỉnh hợp = Chọn CÓ thứ tự (sắp xếp) - Tổ hợp = Chọn KHÔNG thứ tự (chỉ chọn ra) - Cₙᵏ = Aₙᵏ/k! (vì mỗi tổ hợp ứng với k! chỉnh hợp)

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 1

Đề bài: Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

---

Cách 1 — Sử dụng công thức hoán vị

Phân tích bài toán:

• Có 6 vận động viên và 6 đường chạy
• Mỗi vận động viên chạy trên một đường chạy khác nhau
• Cần sắp xếp có thứ tự 6 vận động viên vào 6 vị trí → Đây là bài toán hoán vị

Lời giải:

Mỗi cách xếp 6 vận động viên vào 6 đường chạy là một hoán vị của 6 vận động viên.

Số cách xếp là:
$$P_6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720$$

Đáp số: 720 cách

---

Cách 2 — Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải:

Xếp lần lượt vận động viên vào từng đường chạy:

• Đường chạy 1: có 6 cách chọn vận động viên
• Đường chạy 2: còn 5 vận động viên → 5 cách chọn
• Đường chạy 3: còn 4 vận động viên → 4 cách chọn
• Đường chạy 4: còn 3 vận động viên → 3 cách chọn
• Đường chạy 5: còn 2 vận động viên → 2 cách chọn
• Đường chạy 6: còn 1 vận động viên → 1 cách chọn

Theo quy tắc nhân:
$$\text{Số cách} = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720$$

Đáp số: 720 cách

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Bấm: 6 → SHIFT → × (hiện x!) → = Kết quả: 720

---

Luyện tập 2

Đề bài: Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3 con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

---

Cách 1 — Sử dụng công thức chỉnh hợp

Phân tích bài toán:

• Có 12 con ngựa
• Chọn ra 3 con ngựa để xếp vào vị trí: nhất, nhì, ba
• Có phân biệt thứ tự (nhất ≠ nhì ≠ ba) → Đây là bài toán chỉnh hợp chập 3 của 12

Lời giải:

Số kết quả có thể xảy ra là số chỉnh hợp chập 3 của 12:

$$A_{12}^3 = 12 × 11 × 10 = 1320$$

Đáp số: 1320 kết quả

---

Cách 2 — Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải:

Chọn lần lượt ngựa cho từng vị trí:

• Vị trí nhất: có 12 cách chọn (12 con ngựa)
• Vị trí nhì: còn 11 con ngựa → 11 cách chọn
• Vị trí ba: còn 10 con ngựa → 10 cách chọn

Theo quy tắc nhân:
$$\text{Số kết quả} = 12 × 11 × 10 = 1320$$

Đáp số: 1320 kết quả

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Bấm: 12 → SHIFT → × → ÷ → ( → 12 → - → 3 → ) → SHIFT → × → = Tức là tính: 12!/(12-3)! = 12!/9! Hoặc đơn giản: 12 → × → 11 → × → 10 → = Kết quả: 1320

---

HĐ3 (Hoạt động 3)

Đề bài: Trở lại HĐ2.
a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.
b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.

Nhắc lại HĐ2:

• Có 4 bạn: Tuấn, Hương, Việt, Dung
• HĐ2a: Chọn ra 2 bạn phụ trách nhóm
• HĐ2b: Chọn 2 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó

---

Câu a)

Lời giải:

Sự khác biệt:

---

Câu b)

Lời giải:

Từ HĐ2b (chỉnh hợp):
$$A_4^2 = 4 × 3 = 12 \text{ cách}$$

Mỗi cách chọn 2 bạn ở HĐ2a (không phân biệt thứ tự) sẽ ứng với 2! = 2 cách sắp xếp có thứ tự ở HĐ2b.

Vì vậy, số cách chọn ở HĐ2a là:
$$C_4^2 = \frac{A_4^2}{2!} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cách}$$

Kết luận:

• HĐ2a có 6 cách chọn (tổ hợp)
• HĐ2b có 12 cách chọn (chỉnh hợp)

⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng bài hay ra thi để phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp! - Nếu đề nói "chọn", "lập nhóm", "chọn ra" → Tổ hợp - Nếu đề nói "sắp xếp", "xếp vào vị trí", "phân công chức vụ" → Chỉnh hợp

---

Ví dụ 3

Đề bài: Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?

---

Cách 1 — Sử dụng công thức tổ hợp

Phân tích bài toán:

• Có 7 bạn học sinh
• Chọn ra 4 bạn để chơi
• Không phân biệt thứ tự (ai chơi trước sau không quan trọng) → Đây là bài toán tổ hợp chập 4 của 7

Lời giải:

Số cách chọn 4 bạn từ 7 bạn là:
$$C_7^4 = \frac{7!}{(7-4)! × 4!} = \frac{7!}{3! × 4!}$$

Tính chi tiết:
$$C_7^4 = \frac{7 × 6 × 5 × 4!}{3! × 4!} = \frac{7 × 6 × 5}{3 × 2 × 1} = \frac{210}{6} = 35$$

Đáp số: 35 cách

---

Cách 2 — Sử dụng tính chất Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ

Lời giải:

Chọn 4 bạn để chơi tương đương với chọn 3 bạn không được chơi.

$$C_7^4 = C_7^3 = \frac{7 × 6 × 5}{3 × 2 × 1} = \frac{210}{6} = 35$$

Đáp số: 35 cách

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Bấm: 7 → SHIFT → ÷ (hiện nCr) → 4 → = Kết quả: 35

💡 Mẹo nhớ: - Tính Cₙᵏ nhanh: Lấy k số liên tiếp giảm dần từ n, chia cho k! - Ví dụ: C₇⁴ = (7×6×5×4)/(4×3×2×1) = 35 - Hoặc dùng: C₇⁴ = C₇³ = (7×6×5)/(3×2×1) = 35

---

🎯 Ghi nhớ

Mối quan hệ quan trọng:

• Pₙ = Aₙⁿ (hoán vị là chỉnh hợp chập n của n)
• Cₙᵏ = Aₙᵏ/k! (tổ hợp = chỉnh hợp chia cho k!)
• Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ (tính chất đối xứng)