Giải Toán 10 - Tập 2 trang 70

Hai trang này tiếp nối phần Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp, đi vào ứng dụng vào bài toán đếm và hướng dẫn dùng máy tính cầm tay. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các phần luyện tập, vận dụng và bài tập nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Ba khái niệm gắn chặt với phép đếm:

Mẹo phân biệt: nếu đổi vị trí mà ra kết quả khác (xếp lịch trình, xếp tranh, lập số) thì dùng hoán vị/chỉnh hợp; nếu chỉ là một nhóm không cần thứ tự thì dùng tổ hợp.

Phần máy tính cầm tay (mục 5):

• Tính $n!$: ấn $n$ → SHIFT x! → =. Ví dụ $9! = 362\,880$.
• Tính $A_n^k$: ấn $n$ → SHIFT × → $k$ → =. Ví dụ $A_{15}^2 = 210$.
• Tính $C_n^k$: ấn $n$ → SHIFT ÷ → $k$ → =. Ví dụ $C_{20}^5 = 15\,504$.

---

Luyện tập 3

Đề: Ngân hàng đề Vật lí có 20 câu lí thuyết và 40 câu bài tập. Chọn ra 2 câu lí thuyết và 3 câu bài tập để tạo một đề thi gồm 5 câu. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề?

Lời giải:

Chọn câu hỏi vào đề không cần thứ tự nên dùng tổ hợp.

• Chọn 2 câu lí thuyết trong 20: $C_{20}^2 = \dfrac{20\cdot 19}{2} = 190$ cách.
• Chọn 3 câu bài tập trong 40: $C_{40}^3 = \dfrac{40\cdot 39\cdot 38}{6} = 9\,880$ cách.

Theo quy tắc nhân, số cách lập đề là:
$$190 \cdot 9\,880 = 1\,877\,200 \text{ (cách).}$$

---

Vận dụng

Đề: Một câu lạc bộ có 20 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
b) Có bao nhiêu cách chọn 1 Trưởng ban, 1 Phó ban và 4 thành viên khác vào Ban quản lí?

Lời giải:

a) Chọn 6 thành viên (vai trò như nhau, không phân biệt thứ tự) là một tổ hợp chập 6 của 20:
$$C_{20}^6 = \dfrac{20!}{6!\,14!} = 38\,760 \text{ (cách).}$$

b) Lần này có chức vụ riêng nên thứ tự ở Trưởng ban và Phó ban là quan trọng. Ta đếm theo 3 công đoạn:

• Chọn Trưởng ban: 20 cách.
• Chọn Phó ban (trong 19 người còn lại): 19 cách.
• Chọn 4 thành viên khác trong 18 người còn lại: $C_{18}^4 = \dfrac{18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}{24} = 3\,060$ cách.

Theo quy tắc nhân:
$$20 \cdot 19 \cdot 3\,060 = 1\,162\,800 \text{ (cách).}$$

Lưu ý: Trưởng ban và Phó ban dùng quy tắc nhân (có thứ tự), còn 4 thành viên còn lại dùng tổ hợp (cùng vai trò).

---

Bài 8.6

Đề: Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau theo hàng là một hoán vị của 10 phần tử:
$$P_{10} = 10! = 3\,628\,800 \text{ (cách).}$$

---

Bài 8.7

Đề: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ với các chữ số khác nhau. Đếm theo từng vị trí:

• Chữ số hàng trăm $a \ne 0$: có 4 cách (chọn từ 1, 2, 3, 4).
• Chữ số hàng chục $b$: khác $a$, được phép là 0, nên còn 4 cách.
• Chữ số hàng đơn vị $c$: khác $a$ và $b$, còn 3 cách.

Theo quy tắc nhân:
$$4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 \text{ (số).}$$

Vì sao tách hàng trăm ra trước? Vì điều kiện $a \ne 0$ ràng buộc riêng cho vị trí đầu, nên ta chọn vị trí "khó" này trước rồi mới đếm các vị trí còn lại.

---

Bài 8.8

Đề: Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Lời giải:

Các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là $1, 2, \dots, 99$, tất cả có 99 số. Vì là "tập hợp" nên các phần tử không cần thứ tự → dùng tổ hợp.

• Tập gồm 2 số: $C_{99}^2 = \dfrac{99\cdot 98}{2} = 4\,851$ cách.
• Tập gồm 3 số: $C_{99}^3 = \dfrac{99\cdot 98\cdot 97}{6} = 156\,849$ cách.

---

Bài 8.9

Đề: Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Lời giải:

"Khác màu" nghĩa là 1 viên xanh và 1 viên đỏ. Đếm theo 2 công đoạn:

• Chọn 1 viên xanh trong 5: 5 cách.
• Chọn 1 viên đỏ trong 7: 7 cách.

Theo quy tắc nhân:
$$5 \cdot 7 = 35 \text{ (cách).}$$

Ở đây mỗi màu chỉ lấy 1 viên nên không phát sinh thứ tự, dùng quy tắc nhân là đủ, không cần tổ hợp.

---

Nắm chắc một câu hỏi mấu chốt khi làm dạng này: "Đổi thứ tự có ra kết quả khác không?" Nếu có thì hoán vị/chỉnh hợp, nếu không thì tổ hợp. Có chỗ nào em muốn mình giải kỹ hơn không?