Giải Toán 10 - Tập 2 trang 72

🔍 Kiến thức cần nhớ

Tổ hợp

• Số tổ hợp chập k của n phần tử: C(n,k) = n! / [k! × (n-k)!]
• Tổ hợp dùng khi chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm thứ tự

Quy tắc đếm

• Quy tắc nhân: Nếu công việc gồm nhiều giai đoạn liên tiếp, số cách thực hiện bằng tích số cách của từng giai đoạn
• Quy tắc cộng: Nếu công việc có nhiều phương án loại trừ nhau, số cách thực hiện bằng tổng số cách của từng phương án

Chia hết cho 5

• Số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

---

⚙️ Bài tập

---

Bài 8.10

Đề bài: Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

---

Câu a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

Cách 1 — Áp dụng công thức tổ hợp

Phân tích:

• Có 10 bạn nam, cần chọn 4 bạn
• Việc chọn không quan tâm thứ tự → dùng tổ hợp

Lời giải:

Số cách chọn 4 bạn nam từ 10 bạn nam là:

C(10,4) = 10! / (4! × 6!) = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1) = 5040 / 24 = 210 cách

Cách 2 — Tính nhanh bằng rút gọn

C(10,4) = (10 × 9 × 8 × 7) / (1 × 2 × 3 × 4)

= (10/2) × (9/3) × 8 × 7 / 4

= 5 × 3 × 8 × 7 / 4 = 5 × 3 × 2 × 7 = 210 cách

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): - Nhấn: 10 → SHIFT → ÷ (nCr) → 4 → = - Kết quả: 210

---

Câu b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

Cách 1 — Áp dụng công thức tổ hợp

Phân tích:

• Tổng số bạn: 10 + 7 = 17 bạn
• Chọn 4 bạn bất kỳ, không phân biệt giới tính

Lời giải:

Số cách chọn 4 bạn từ 17 bạn là:

C(17,4) = 17! / (4! × 13!) = (17 × 16 × 15 × 14) / (4 × 3 × 2 × 1)

= (17 × 16 × 15 × 14) / 24

= 57120 / 24 = 2380 cách

Cách 2 — Tính từng bước rút gọn

C(17,4) = (17 × 16 × 15 × 14) / 24

• 16/4 = 4, còn lại 6
• 14/2 = 7, còn lại 3
• 15/3 = 5

Vậy: 17 × 4 × 5 × 7 = 17 × 140 = 2380 cách

💡 Mẹo bấm máy: 17 → SHIFT → ÷ (nCr) → 4 → = → Kết quả: 2380

---

Câu c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Cách 1 — Quy tắc nhân

Phân tích:

• Chọn 2 bạn nam từ 10 bạn nam: C(10,2) cách
• Chọn 2 bạn nữ từ 7 bạn nữ: C(7,2) cách
• Hai việc này độc lập → áp dụng quy tắc nhân

Lời giải:

Số cách chọn 2 bạn nam: C(10,2) = (10 × 9) / (2 × 1) = 45

Số cách chọn 2 bạn nữ: C(7,2) = (7 × 6) / (2 × 1) = 21

Theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 bạn (2 nam, 2 nữ) là:

C(10,2) × C(7,2) = 45 × 21 = 945 cách

Cách 2 — Công thức tổng quát

Số cách = C(10,2) × C(7,2) = 45 × 21 = 945 cách

💡 Mẹo bấm máy: - Bấm: 10 SHIFT ÷ 2 × 7 SHIFT ÷ 2 = - Kết quả: 945

⚠️ Lưu ý thi: Bài này hay thi dạng "chọn nhóm có điều kiện". Nhớ áp dụng quy tắc nhân khi các công việc độc lập với nhau.

---

Bài 8.11

Đề bài: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

---

Cách 1 — Phân chia trường hợp theo chữ số tận cùng

Phân tích:

• Số có 4 chữ số: từ 1000 đến 9999
• Chia hết cho 5 → chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
• Bốn chữ số khác nhau
• Chữ số đầu tiên ≠ 0

Lời giải:

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0

• Vị trí thứ 4 (hàng đơn vị): đã chọn 0
• Vị trí thứ 1 (hàng nghìn): chọn từ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → 9 cách
• Vị trí thứ 2: chọn từ 8 chữ số còn lại (trừ chữ số đã chọn ở vị trí 1 và 0) → 8 cách
• Vị trí thứ 3: chọn từ 7 chữ số còn lại → 7 cách

Số các số trong trường hợp 1: 9 × 8 × 7 = 504 số

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5

• Vị trí thứ 4: đã chọn 5
• Vị trí thứ 1: chọn từ {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} (không chọn 0 và 5) → 8 cách
• Vị trí thứ 2: chọn từ 8 chữ số còn lại (trừ chữ số vị trí 1 và 5) → 8 cách
• Vị trí thứ 3: chọn từ 7 chữ số còn lại → 7 cách

Số các số trong trường hợp 2: 8 × 8 × 7 = 448 số

Kết luận:

Tổng số các số thỏa mãn: 504 + 448 = 952 số

---

Cách 2 — Lập bảng phân tích có hệ thống

Tổng: 504 + 448 = 952 số

💡 Mẹo nhớ: - Chia hết cho 5 → tận cùng 0 hoặc 5 - Luôn xét chữ số đầu tiên riêng vì nó không được bằng 0

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài "đếm số có điều kiện" hay gặp. Cần phân chia trường hợp rõ ràng và đếm cẩn thận số chữ số còn lại ở mỗi vị trí.

---

Bài 25: NHỊ THỨC NEWTON

Trang 72 là phần mở đầu bài học mới về Nhị thức Newton

Kiến thức, kĩ năng cần đạt:

• Khai triển nhị thức Newton (a + b)^n bằng vận dụng tổ hợp với số mũ thấp (n = 4 hoặc n = 5)

Nhắc lại kiến thức lớp 8:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

---

HĐ1 (Hoạt động 1)

Đề bài: Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a + b)·(c + d)

Lời giải:

Theo sơ đồ hình cây (H.8.6):

• Từ gốc có 2 nhánh: a và b
• Từ a có 2 nhánh: c và d → cho tích a·c và a·d
• Từ b có 2 nhánh: c và d → cho tích b·c và b·d

Tổng các tích nhận được:

(a + b)·(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d = ac + ad + bc + bd

So sánh: Kết quả này trùng với khai triển đại số thông thường của (a + b)(c + d).

---

HĐ2 (Hoạt động 2)

Đề bài: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a + b)·(a + b)·(a + b).

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Lời giải:

Sơ đồ hình cây cho (a + b)³ = (a + b)·(a + b)·(a + b):

• Tầng 1: a, b
• Tầng 2: aa, ab, ba, bb (tức a², ab, ab, b²)
• Tầng 3: aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb

Các đơn thức ở tầng cuối:

• a³ (aaa): xuất hiện 1 lần
• a²b (aab, aba, baa): xuất hiện 3 lần
• ab² (abb, bab, bba): xuất hiện 3 lần
• b³ (bbb): xuất hiện 1 lần

So sánh với khai triển (a + b)³:

(a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³

Các hệ số 1, 3, 3, 1 chính là số lần xuất hiện tương ứng của mỗi đơn thức trong sơ đồ hình cây.

💡 Mẹo nhớ: Hệ số của a^(n-k)·b^k trong khai triển (a + b)^n chính là C(n,k) - số cách chọn k vị trí cho b trong n vị trí.

---

🎯 Ghi nhớ: - Bài 8.10: Chọn không thứ tự → dùng tổ hợp. Chọn có điều kiện → chia trường hợp rồi dùng quy tắc nhân. - Bài 8.11: Số chia hết cho 5 có tận cùng 0 hoặc 5. Phải xét riêng từng trường hợp vì chữ số đầu tiên ≠ 0. - Nhị thức Newton: Hệ số trong khai triển (a + b)^n liên quan đến tổ hợp C(n,k).