Giải Toán 10 - Tập 2 trang 74
Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 74–75
🔍 Kiến thức cần nhớ
Công thức khai triển nhị thức Newton
Với n = 4:
(a + b)^4 = C(4,0)·a^4 + C(4,1)·a³b + C(4,2)·a²b² + C(4,3)·ab³ + C(4,4)·b^4
= a^4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b^4
Với n = 5:
(a + b)^5 = C(5,0)·a^5 + C(5,1)·a^4·b + C(5,2)·a³b² + C(5,3)·a²b³ + C(5,4)·ab^4 + C(5,5)·b^5
= a^5 + 5a^4·b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab^4 + b^5
Công thức tổng quát:
(a + b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k (với k từ 0 đến n)
💡 Mẹo nhớ: Hệ số trong khai triển chính là các số tổ hợp C(n,k). Số mũ của a giảm dần từ n về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của mỗi hạng tử luôn bằng n.
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Khai triển (x - 2)^4.
Cách 1 — Áp dụng trực tiếp công thức nhị thức Newton
Bước 1: Xác định a và b trong công thức (a + b)^4
Ta có: (x - 2)^4 = (x + (-2))^4
Vậy: a = x, b = -2
Bước 2: Áp dụng công thức khai triển
(x - 2)^4 = C(4,0)·x^4 + C(4,1)·x³·(-2) + C(4,2)·x²·(-2)² + C(4,3)·x·(-2)³ + C(4,4)·(-2)^4
Bước 3: Tính các hệ số tổ hợp và lũy thừa
- C(4,0) = 1
- C(4,1) = 4
- C(4,2) = 6
- C(4,3) = 4
- C(4,4) = 1
Bước 4: Thay số và tính
(x - 2)^4 = 1·x^4 + 4·x³·(-2) + 6·x²·4 + 4·x·(-8) + 1·16
= x^4 - 8x³ + 24x² - 32x + 16
Kết quả: (x - 2)^4 = x^4 - 8x³ + 24x² - 32x + 16
Cách 2 — Sử dụng hệ số đã biết của (a + b)^4
Ta biết: (a + b)^4 = a^4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b^4
Thay a = x, b = -2:
(x - 2)^4 = x^4 + 4·x³·(-2) + 6·x²·(-2)² + 4·x·(-2)³ + (-2)^4
= x^4 - 8x³ + 24x² - 32x + 16
💡 Mẹo nhớ: Khi b âm, các hạng tử có số mũ lẻ của b sẽ mang dấu âm, các hạng tử có số mũ chẵn của b sẽ mang dấu dương.
Luyện tập 2
Đề bài: Khai triển (3x - 2)^5.
Cách 1 — Áp dụng công thức nhị thức Newton
Bước 1: Xác định a và b
Ta có: (3x - 2)^5 = (3x + (-2))^5
Vậy: a = 3x, b = -2
Bước 2: Áp dụng công thức
(3x - 2)^5 = C(5,0)·(3x)^5 + C(5,1)·(3x)^4·(-2) + C(5,2)·(3x)³·(-2)² + C(5,3)·(3x)²·(-2)³ + C(5,4)·(3x)·(-2)^4 + C(5,5)·(-2)^5
Bước 3: Tính từng số hạng
- C(5,0)·(3x)^5 = 1·243x^5 = 243x^5
- C(5,1)·(3x)^4·(-2) = 5·81x^4·(-2) = -810x^4
- C(5,2)·(3x)³·(-2)² = 10·27x³·4 = 1080x³
- C(5,3)·(3x)²·(-2)³ = 10·9x²·(-8) = -720x²
- C(5,4)·(3x)·(-2)^4 = 5·3x·16 = 240x
- C(5,5)·(-2)^5 = 1·(-32) = -32
Kết quả: (3x - 2)^5 = 243x^5 - 810x^4 + 1080x³ - 720x² + 240x - 32
Cách 2 — Tính nhanh theo hệ số 1-5-10-10-5-1
Hệ số của (a + b)^5: 1, 5, 10, 10, 5, 1
| Vị trí | Hệ số | (3x)^k | (-2)^(5-k) | Kết quả |
|---|---|---|---|---|
| k=5 | 1 | 243x^5 | 1 | 243x^5 |
| k=4 | 5 | 81x^4 | -2 | -810x^4 |
| k=3 | 10 | 27x³ | 4 | 1080x³ |
| k=2 | 10 | 9x² | -8 | -720x² |
| k=1 | 5 | 3x | 16 | 240x |
| k=0 | 1 | 1 | -32 | -32 |
Kết quả: (3x - 2)^5 = 243x^5 - 810x^4 + 1080x³ - 720x² + 240x - 32
⚠️ Lưu ý thi: Khi tính lũy thừa của số âm, cần cẩn thận với dấu: (-2)^3 = -8, (-2)^4 = 16, (-2)^5 = -32
Vận dụng
Đề bài:
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)^4 để tính giá trị gần đúng của 1,05^4.
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,05^4 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Câu a
Bước 1: Viết khai triển (1 + 0,05)^4
Áp dụng công thức: (a + b)^4 = a^4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b^4
Với a = 1, b = 0,05:
(1 + 0,05)^4 = 1^4 + 4·1³·0,05 + 6·1²·(0,05)² + 4·1·(0,05)³ + (0,05)^4
Bước 2: Lấy xấp xỉ với hai số hạng đầu tiên
1,05^4 ≈ 1 + 4·0,05 = 1 + 0,2 = 1,2
Câu b
Bước 1: Tính giá trị chính xác bằng máy tính
1,05^4 = 1,21550625
Bước 2: Tính sai số tuyệt đối
Sai số tuyệt đối = |Giá trị chính xác - Giá trị gần đúng|
= |1,21550625 - 1,2| = 0,01550625
💡 Mẹo bấm máy: Trên Casio fx-580VN X, bấm:1.05x^y4=để được 1,21550625
💡 Nhận xét: Khi b rất nhỏ so với a, ta có thể xấp xỉ (a + b)^n ≈ a^n + n·a^(n-1)·b. Các số hạng sau đó rất nhỏ nên có thể bỏ qua.
Bài 8.12
Đề bài: Khai triển các đa thức:
a) (x - 3)^4
b) (3x - 2y)^4
c) (x + 5)^4 + (x - 5)^4
d) (x - 2y)^5
Câu a: (x - 3)^4
Cách 1 — Áp dụng công thức nhị thức Newton
Với a = x, b = -3:
(x - 3)^4 = C(4,0)·x^4 + C(4,1)·x³·(-3) + C(4,2)·x²·(-3)² + C(4,3)·x·(-3)³ + C(4,4)·(-3)^4
= 1·x^4 + 4·x³·(-3) + 6·x²·9 + 4·x·(-27) + 1·81
= x^4 - 12x³ + 54x² - 108x + 81
Cách 2 — Sử dụng hệ số 1-4-6-4-1
(x - 3)^4 = x^4 - 4·x³·3 + 6·x²·9 - 4·x·27 + 81
= x^4 - 12x³ + 54x² - 108x + 81
Câu b: (3x - 2y)^4
Cách 1 — Áp dụng công thức nhị thức Newton
Với a = 3x, b = -2y:
(3x - 2y)^4 = C(4,0)·(3x)^4 + C(4,1)·(3x)³·(-2y) + C(4,2)·(3x)²·(-2y)² + C(4,3)·(3x)·(-2y)³ + C(4,4)·(-2y)^4
Tính từng số hạng:
- 1·81x^4 = 81x^4
- 4·27x³·(-2y) = -216x³y
- 6·9x²·4y² = 216x²y²
- 4·3x·(-8y³) = -96xy³
- 1·16y^4 = 16y^4
Kết quả: (3x - 2y)^4 = 81x^4 - 216x³y + 216x²y² - 96xy³ + 16y^4
Câu c: (x + 5)^4 + (x - 5)^4
Cách 1 — Khai triển từng biểu thức rồi cộng
Khai triển (x + 5)^4:
= x^4 + 4·x³·5 + 6·x²·25 + 4·x·125 + 625
= x^4 + 20x³ + 150x² + 500x + 625
Khai triển (x - 5)^4:
= x^4 - 4·x³·5 + 6·x²·25 - 4·x·125 + 625
= x^4 - 20x³ + 150x² - 500x + 625
Cộng hai kết quả:
(x + 5)^4 + (x - 5)^4 = (x^4 + 20x³ + 150x² + 500x + 625) + (x^4 - 20x³ + 150x² - 500x + 625)
= 2x^4 + 300x² + 1250
Kết quả: (x + 5)^4 + (x - 5)^4 = 2x^4 + 300x² + 1250
Cách 2 — Nhận xét về tính chất triệt tiêu
Khi cộng (a + b)^4 + (a - b)^4, các số hạng có lũy thừa lẻ của b sẽ triệt tiêu nhau (do đối dấu), chỉ còn lại các số hạng có lũy thừa chẵn của b (nhân đôi).
(x + 5)^4 + (x - 5)^4 = 2[x^4 + 6x²·25 + 625]
= 2[x^4 + 150x² + 625]
= 2x^4 + 300x² + 1250
💡 Mẹo nhớ: (a+b)^n + (a-b)^n chỉ giữ lại các số hạng có lũy thừa chẵn của b, nhân đôi hệ số.
Câu d: (x - 2y)^5
Cách 1 — Áp dụng công thức nhị thức Newton
Với a = x, b = -2y, hệ số: 1-5-10-10-5-1
(x - 2y)^5 = C(5,0)·x^5 + C(5,1)·x^4·(-2y) + C(5,2)·x³·(-2y)² + C(5,3)·x²·(-2y)³ + C(5,4)·x·(-2y)^4 + C(5,5)·(-2y)^5
Tính từng số hạng:
- 1·x^5 = x^5
- 5·x^4·(-2y) = -10x^4·y
- 10·x³·4y² = 40x³y²
- 10·x²·(-8y³) = -80x²y³
- 5·x·16y^4 = 80xy^4
- 1·(-32y^5) = -32y^5
Kết quả: (x - 2y)^5 = x^5 - 10x^4·y + 40x³y² - 80x²y³ + 80xy^4 - 32y^5
Bài 8.13
Đề bài: Tìm hệ số của x^4 trong khai triển của (3x - 1)^5.
Cách 1 — Khai triển và xác định hệ số
Bước 1: Viết công thức khai triển tổng quát
Số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)^n là: C(n,k)·a^(n-k)·b^k
Với (3x - 1)^5: a = 3x, b = -1, n = 5
Số hạng tổng quát: C(5,k)·(3x)^(5-k)·(-1)^k
Bước 2: Tìm k để có x^4
Ta cần (3x)^(5-k) chứa x^4, tức là: 5 - k = 4 → k = 1
Bước 3: Tính hệ số của số hạng có x^4
Số hạng chứa x^4: C(5,1)·(3x)^4·(-1)^1
= 5·81x^4·(-1)
= -405x^4
Kết quả: Hệ số của x^4 là -405
Cách 2 — Sử dụng công thức trực tiếp
Hệ số của a^(n-k)·b^k trong (a + b)^n là C(n,k)
Hệ số của x^4 trong (3x - 1)^5:
- Cần (3x)^4·(-1)^1 → k = 1
- Hệ số = C(5,1)·3^4·(-1)^1 = 5·81·(-1) = -405
⚠️ Lưu ý thi: Khi tìm hệ số, nhớ tính cả hệ số của x trong (3x), không chỉ tính C(n,k).
Bài 8.14
Đề bài: Biểu diễn (3 + √2)^5 - (3 - √2)^5 dưới dạng a + b√2 với a, b là các số nguyên.
Cách 1 — Khai triển từng biểu thức
Bước 1: Khai triển (3 + √2)^5
Với a = 3, b = √2, hệ số 1-5-10-10-5-1:
(3 + √2)^5 = 3^5 + 5·3^4·√2 + 10·3³·(√2)² + 10·3²·(√2)³ + 5·3·(√2)^4 + (√2)^5
Tính các lũy thừa của √2:
- (√2)² = 2
- (√2)³ = 2√2
- (√2)^4 = 4
- (√2)^5 = 4√2
(3 + √2)^5 = 243 + 5·81·√2 + 10·27·2 + 10·9·2√2 + 5·3·4 + 4√2
= 243 + 405√2 + 540 + 180√2 + 60 + 4√2
= (243 + 540 + 60) + (405 + 180 + 4)√2
= 843 + 589√2
Bước 2: Khai triển (3 - √2)^5
(3 - √2)^5 = 3^5 - 5·3^4·√2 + 10·3³·2 - 10·3²·2√2 + 5·3·4 - 4√2
= 243 - 405√2 + 540 - 180√2 + 60 - 4√2
= (243 + 540 + 60) - (405 + 180 + 4)√2
= 843 - 589√2
Bước 3: Tính hiệu
(3 + √2)^5 - (3 - √2)^5 = (843 + 589√2) - (843 - 589√2)
= 843 + 589√2 - 843 + 589√2
= 1178√2
Kết quả: (3 + √2)^5 - (3 - √2)^5 = 0 + 1178√2 (với a = 0, b = 1178)
Cách 2 — Sử dụng tính chất triệt tiêu
Khi tính (a + b)^n - (a - b)^n:
- Các số hạng có lũy thừa chẵn của b sẽ triệt tiêu (do giống nhau, trừ đi bằng 0)
- Các số hạng có lũy thừa lẻ của b sẽ được nhân đôi
Trong (3 + √2)^5 - (3 - √2)^5, chỉ còn các số hạng với (√2)^1, (√2)^3, (√2)^5:
= 2[5·3^4·√2 + 10·3²·(√2)³ + (√2)^5]
= 2[5·81·√2 + 10·9·2√2 + 4√2]
= 2[405√2 + 180√2 + 4√2]
= 2·589√2
= 1178√2
💡 Mẹo nhớ: (a+b)^n - (a-b)^n chỉ giữ lại các số hạng có lũy thừa lẻ của b, nhân đôi hệ số.
🎯 Ghi nhớ: 1. Công thức nhị thức Newton: (a + b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k 2. Hệ số thường gặp: - n = 4: 1, 4, 6, 4, 1 - n = 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 3. Tính chất đặc biệt: - (a+b)^n + (a-b)^n: chỉ còn số hạng có lũy thừa chẵn của b (×2) - (a+b)^n - (a-b)^n: chỉ còn số hạng có lũy thừa lẻ của b (×2) 4. Khi b âm: Các số hạng đổi dấu xen kẽ (+, -, +, -, ...)