HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán 10 - Tập 2 trang 76

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 76–77

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Khai triển nhị thức Newton

(a + b)^n = C(n,0)×a^n + C(n,1)×a^(n-1)×b + C(n,2)×a^(n-2)×b^2 + ... + C(n,n)×b^n

Số hạng tổng quát: T(k+1) = C(n,k)×a^(n-k)×b^k

2. Công thức tổ hợp

C(n,k) = n! / [k! × (n-k)!]

3. Công thức chỉnh hợp

A(n,k) = n! / (n-k)!

4. Quy tắc nhân - cộng

  • Quy tắc nhân: Công việc gồm k giai đoạn liên tiếp → Nhân số cách
  • Quy tắc cộng: Công việc có k phương án độc lập → Cộng số cách

⚙️ Bài tập

Bài 8.15

Đề bài:

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)^5 để tính giá trị gần đúng của 1,02^5.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,02^5 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Cách 1 — Phương pháp khai triển nhị thức Newton

Câu a:

Áp dụng khai triển nhị thức Newton:

(1 + x)^n ≈ 1 + nx (khi x nhỏ, lấy 2 số hạng đầu)

Ta có: (1 + 0,02)^5

Khai triển đầy đủ:

(1 + 0,02)^5 = C(5,0)×1^5 + C(5,1)×1^4×0,02 + C(5,2)×1^3×(0,02)^2 + ...

Lấy hai số hạng đầu tiên:

  • Số hạng 1: C(5,0)×1^5 = 1
  • Số hạng 2: C(5,1)×1^4×0,02 = 5×0,02 = 0,1

Giá trị gần đúng: 1,02^5 ≈ 1 + 0,1 = 1,1

Câu b:

Dùng máy tính tính giá trị chính xác:
1,02^5 = 1,1040808032

Sai số tuyệt đối = |Giá trị chính xác - Giá trị gần đúng|

= |1,1040808032 - 1,1|
= 0,0040808032 ≈ 0,00408

Cách 2 — Tính thêm số hạng để so sánh

Nếu lấy 3 số hạng đầu:

  • Số hạng 3: C(5,2)×(0,02)^2 = 10×0,0004 = 0,004

Giá trị gần đúng (3 số hạng): 1 + 0,1 + 0,004 = 1,104

Sai số khi lấy 3 số hạng: |1,1040808032 - 1,104| ≈ 0,000081

→ Lấy thêm số hạng cho kết quả chính xác hơn nhiều.

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Nhập: 1.02 ^ 5 = → Kết quả: 1,1040808032
🎯 Ghi nhớ: Với x nhỏ, (1+x)^n ≈ 1 + nx là công thức xấp xỉ hữu ích trong tính toán nhanh.

Bài 8.16

Đề bài:
Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là P = 800×(1 + r/100)^5 (nghìn người).

b) Với r = 1,5%, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của (1 + 0,015)^5, hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Cách 1 — Phương pháp quy nạp theo năm

Câu a:

Gọi P₀ = 800 (nghìn người) là số dân hiện tại.

Sau 1 năm:
Dân số tăng thêm: 800 × r/100

Số dân sau 1 năm: P₁ = 800 + 800 × r/100 = 800 × (1 + r/100)

Sau 2 năm:

Số dân sau 2 năm: P₂ = P₁ × (1 + r/100) = 800 × (1 + r/100)^2

Quy luật tổng quát:

Sau n năm: Pₙ = 800 × (1 + r/100)^n

Sau 5 năm:

P = 800 × (1 + r/100)^5 (nghìn người) ✓

Câu b:

Với r = 1,5%, ta có: r/100 = 0,015

P = 800 × (1 + 0,015)^5 = 800 × (1,015)^5

Dùng khai triển nhị thức, lấy 2 số hạng đầu:

(1 + 0,015)^5 ≈ 1 + 5×0,015 = 1 + 0,075 = 1,075

Số dân ước tính:
P ≈ 800 × 1,075 = 860 (nghìn người)

Cách 2 — Tính chính xác bằng máy tính để so sánh

Giá trị chính xác:
(1,015)^5 = 1,07727407...

P = 800 × 1,07727407 ≈ 861,82 (nghìn người)

Sai số khi ước tính: |861,82 - 860| ≈ 1,82 nghìn người

💡 Mẹo bấm máy: Nhập: 800 × 1.015 ^ 5 = → Kết quả: 861,8192...
⚠️ Lưu ý thi: Công thức tăng trưởng P = P₀×(1+r)^n là dạng bài thực tế hay gặp trong đề thi.

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VIII (Trang 76)

A – TRẮC NGHIỆM

Câu 8.17

Đề bài: Số cách cắm 4 bông hoa khác nhau vào 4 bình hoa khác nhau (mỗi bông hoa cắm vào một bình) là

  • A. 16
  • B. 24
  • C. 8
  • D. 4
Cách 1 — Phương pháp hoán vị

Đây là bài toán sắp xếp 4 bông hoa vào 4 bình (mỗi bình 1 bông).

Số cách = Số hoán vị của 4 phần tử = 4!

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Đáp án: B. 24

Cách 2 — Quy tắc nhân
  • Bông 1: có 4 cách chọn bình
  • Bông 2: còn 3 bình → 3 cách
  • Bông 3: còn 2 bình → 2 cách
  • Bông 4: còn 1 bình → 1 cách

Số cách = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

🎯 Ghi nhớ: Sắp xếp n vật khác nhau vào n vị trí khác nhau = n! (hoán vị)

Câu 8.18

Đề bài: Số các số có ba chữ số khác nhau, trong đó các chữ số đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 5 là

  • A. 120
  • B. 60
  • C. 720
  • D. 2
Cách 1 — Phương pháp chỉnh hợp

Các chữ số thỏa mãn: 1, 2, 3, 4, 5 (5 chữ số, không có số 0)

Cần lập số có 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số này.

Số cách = Chỉnh hợp chập 3 của 5 = A(5,3)

A(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = (5×4×3×2×1)/(2×1) = 60

Đáp án: B. 60

Cách 2 — Quy tắc nhân
  • Chữ số hàng trăm: 5 cách (chọn từ 1,2,3,4,5)
  • Chữ số hàng chục: 4 cách (còn 4 số)
  • Chữ số hàng đơn vị: 3 cách (còn 3 số)

Số cách = 5 × 4 × 3 = 60

⚠️ Lưu ý thi: Đề cho "lớn hơn 0" nên không có số 0, không cần xét riêng vị trí hàng trăm.

Câu 8.19

Đề bài: Số cách chọn 3 bạn học sinh đi học bơi từ một nhóm 10 bạn học sinh là

  • A. 3 628 800
  • B. 604 800
  • C. 120
  • D. 720
Cách 1 — Phương pháp tổ hợp

Chọn 3 bạn từ 10 bạn, không phân biệt thứ tự → Tổ hợp

Số cách = C(10,3) = 10!/(3!×7!)

C(10,3) = (10×9×8)/(3×2×1) = 720/6 = 120

Đáp án: C. 120

Cách 2 — Dùng máy tính
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Nhập: 10 SHIFT ÷ (nCr) 3 = → Kết quả: 120
🎯 Ghi nhớ: Chọn k phần tử từ n phần tử (không quan tâm thứ tự) = C(n,k)

Câu 8.20

Đề bài: Bạn An gieo một con xúc xắc hai lần. Số các trường hợp để tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bằng 8 qua hai lần gieo là

  • A. 36
  • B. 6
  • C. 5
  • D. 4
Cách 1 — Liệt kê trực tiếp

Gọi (a, b) là kết quả hai lần gieo (a là lần 1, b là lần 2), với 1 ≤ a, b ≤ 6.

Điều kiện: a + b = 8

Các cặp thỏa mãn:

  • (2, 6): 2 + 6 = 8 ✓
  • (3, 5): 3 + 5 = 8 ✓
  • (4, 4): 4 + 4 = 8 ✓
  • (5, 3): 5 + 3 = 8 ✓
  • (6, 2): 6 + 2 = 8 ✓

Có 5 trường hợp

Đáp án: C. 5

Cách 2 — Phương pháp đếm hệ thống

Với a + b = 8 và 1 ≤ a, b ≤ 6:

  • a = 2 → b = 6 ✓
  • a = 3 → b = 5 ✓
  • a = 4 → b = 4 ✓
  • a = 5 → b = 3 ✓
  • a = 6 → b = 2 ✓
  • a = 1 → b = 7 ✗ (b > 6)
  • a = 7 → không hợp lệ

Số trường hợp = 5

⚠️ Lưu ý thi: Phân biệt "gieo 2 con xúc xắc" (không phân biệt thứ tự) và "gieo 1 con 2 lần" (phân biệt thứ tự).

Câu 8.21

Đề bài: Hệ số của x^4 trong khai triển nhị thức (3x − 4)^5 là

  • A. 1 620
  • B. 60
  • C. −60
  • D. −1 620
Cách 1 — Công thức số hạng tổng quát

Khai triển (3x − 4)^5 = (3x + (−4))^5

Số hạng tổng quát: T(k+1) = C(5,k) × (3x)^(5-k) × (−4)^k

Để có x^4, cần: 5 − k = 4 → k = 1

T₂ = C(5,1) × (3x)^4 × (−4)^1
= 5 × 81x^4 × (−4)
= 5 × 81 × (−4) × x^4
= −1620 × x^4

Hệ số của x^4 là: −1620

Đáp án: D. −1620

Cách 2 — Kiểm tra dấu nhanh

Vì k = 1 (lẻ), và có (−4)^1 = −4 nên hệ số âm.

|Hệ số| = C(5,1) × 3^4 × 4 = 5 × 81 × 4 = 1620
Hệ số = −1620

💡 Mẹo nhớ: Trong (a + b)^n, số hạng chứa a^(n-k) có hệ số C(n,k)×b^k

B – TỰ LUẬN

Bài 8.22

Đề bài:
a) Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm 26 chữ cái)?

b) Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa khác nhau từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm 26 chữ cái)?

Cách 1 — Quy tắc nhân

Câu a) Dãy 5 chữ cái (có thể lặp):

Mỗi vị trí có 26 cách chọn (có thể chọn lại chữ đã dùng):

  • Vị trí 1: 26 cách
  • Vị trí 2: 26 cách
  • Vị trí 3: 26 cách
  • Vị trí 4: 26 cách
  • Vị trí 5: 26 cách

Số cách = 26^5 = 11 881 376 cách

Câu b) Dãy 5 chữ cái khác nhau:

Các chữ cái không được lặp:

  • Vị trí 1: 26 cách
  • Vị trí 2: 25 cách
  • Vị trí 3: 24 cách
  • Vị trí 4: 23 cách
  • Vị trí 5: 22 cách

Số cách = 26 × 25 × 24 × 23 × 22 = A(26,5)

= 7 893 600 cách

Cách 2 — Dùng công thức

a) Chọn có lặp: 26^5 = 11 881 376

b) Chỉnh hợp chập 5 của 26:
A(26,5) = 26!/(26-5)! = 26!/21! = 7 893 600

💡 Mẹo bấm máy: - Câu a: 26 ^ 5 = - Câu b: 26 SHIFT × (nPr) 5 =

Bài 8.23

Đề bài: Từ các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
a) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
b) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Câu a) Số có 3 chữ số khác nhau:

Chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ số và sắp xếp:
= Chỉnh hợp chập 3 của 6 = A(6,3)

A(6,3) = 6 × 5 × 4 = 120 số

Câu b) Số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3:

Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3.

Tổng tất cả: 1+2+3+4+5+6 = 21 (chia hết cho 3)

Ta cần chọn 3 số từ {1,2,3,4,5,6} sao cho tổng chia hết cho 3.

Phân loại theo số dư khi chia 3:

  • Dư 0: {3, 6}
  • Dư 1: {1, 4}
  • Dư 2: {2, 5}

Để tổng chia hết cho 3, chọn:

TH1: Cả 3 số cùng dư 0: Chỉ có {3, 6} → không đủ 3 số → 0 cách

TH2: Cả 3 số cùng dư 1: Chỉ có {1, 4} → không đủ 3 số → 0 cách

TH3: Cả 3 số cùng dư 2: Chỉ có {2, 5} → không đủ 3 số → 0 cách

TH4: Mỗi nhóm lấy 1 số (dư 0 + dư 1 + dư 2):

  • Chọn 1 từ {3,6}: 2 cách
  • Chọn 1 từ {1,4}: 2 cách
  • Chọn 1 từ {2,5}: 2 cách
  • Sắp xếp 3 số: 3! = 6 cách

Số cách TH4 = 2 × 2 × 2 × 6 = 48 số

Tổng cộng: 48 số

Cách 2 — Liệt kê các bộ ba

Các bộ 3 số có tổng chia hết cho 3:

  • {1, 2, 3}: 1+2+3=6 ✓
  • {1, 2, 6}: 1+2+6=9 ✓
  • {1, 3, 5}: 1+3+5=9 ✓
  • {1, 5, 6}: 1+5+6=12 ✓
  • {2, 3, 4}: 2+3+4=9 ✓
  • {2, 4, 6}: 2+4+6=12 ✓
  • {3, 4, 5}: 3+4+5=12 ✓
  • {4, 5, 6}: 4+5+6=15 ✓

Có 8 bộ ba, mỗi bộ tạo được 3! = 6 số.

Tổng: 8 × 6 = 48 số

⚠️ Lưu ý thi: Dấu hiệu chia hết cho 3 là kiến thức cơ bản nhưng hay quên khi làm bài.

Bài 8.24

Đề bài: Tế bào A có 2n = 8 nhiễm sắc thể (NST), và nguyên phân 5 lần liên tiếp. Tế bào B có 2n = 14 NST và nguyên phân 4 lần liên tiếp. Tính và so sánh tổng số NST trong tế bào A và trong tế bào B được tạo ra.

Cách 1 — Áp dụng công thức nguyên phân

Công thức nguyên phân:

  • Sau k lần nguyên phân, 1 tế bào tạo ra 2^k tế bào con
  • Mỗi tế bào con có số NST bằng tế bào mẹ

Tế bào A:

  • Số NST: 2n = 8
  • Số lần nguyên phân: 5
  • Số tế bào con = 2^5 = 32
  • Tổng số NST trong các tế bào A = 32 × 8 = 256 NST

Tế bào B:

  • Số NST: 2n = 14
  • Số lần nguyên phân: 4
  • Số tế bào con = 2^4 = 16
  • Tổng số NST trong các tế bào B = 16 × 14 = 224 NST

So sánh:
256 > 224

Tổng số NST trong tế bào A lớn hơn tổng số NST trong tế bào B.

(Chênh lệch: 256 − 224 = 32 NST)

Cách 2 — Công thức tổng quát

Tổng số NST = 2n × 2^k

  • Tế bào A: 8 × 2^5 = 8 × 32 = 256
  • Tế bào B: 14 × 2^4 = 14 × 16 = 224
🎯 Ghi nhớ: Đây là bài tích hợp Toán - Sinh học, áp dụng lũy thừa vào nguyên phân tế bào.

Bài 8.25

Đề bài: Lớp 10B có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn tham gia vào đội thiện nguyện của trường trong mỗi trường hợp sau?
a) Ba học sinh được chọn là bất kì.
b) Ba học sinh được chọn gồm 1 nam và 2 nữ.
c) Có ít nhất một nam trong ba học sinh được chọn.

Cách 1 — Phương pháp tổ hợp

Câu a) Chọn 3 học sinh bất kì từ 40 học sinh:

Số cách = C(40,3) = 40!/(3!×37!)

C(40,3) = (40×39×38)/(3×2×1) = 59280/6 = 9880 cách

Câu b) Chọn 1 nam và 2 nữ:

  • Chọn 1 nam từ 25 nam: C(25,1) = 25 cách
  • Chọn 2 nữ từ 15 nữ: C(15,2) = (15×14)/2 = 105 cách

Số cách = 25 × 105 = 2625 cách

Câu c) Có ít nhất 1 nam:

Phương pháp bù: (Ít nhất 1 nam) = (Tổng) − (Không có nam nào)

Không có nam nào = Chọn 3 nữ từ 15 nữ = C(15,3)
C(15,3) = (15×14×13)/(3×2×1) = 2730/6 = 455 cách

Số cách có ít nhất 1 nam = 9880 − 455 = 9425 cách

Cách 2 — Phương pháp phân loại (câu c)

Có ít nhất 1 nam = (1 nam, 2 nữ) + (2 nam, 1 nữ) + (3 nam, 0 nữ)

  • 1 nam, 2 nữ: C(25,1)×C(15,2) = 25×105 = 2625
  • 2 nam, 1 nữ: C(25,2)×C(15,1) = 300×15 = 4500
  • 3 nam, 0 nữ: C(25,3)×C(15,0) = 2300×1 = 2300

Tổng = 2625 + 4500 + 2300 = 9425 cách ✓

💡 Mẹo thi: Với bài "ít nhất", dùng phương pháp bù thường nhanh hơn.

Bài 8.26

Đề bài: Trong khai triển nhị thức Newton của (2x + 3)^5, hệ số của x^4 hay hệ số của x^3 lớn hơn?

Cách 1 — Tính từng hệ số

Khai triển (2x + 3)^5

Số hạng tổng quát: T(k+1) = C(5,k) × (2x)^(5-k) × 3^k

Tìm hệ số của x^4:
5 − k = 4 → k = 1
T₂ = C(5,1) × (2x)^4 × 3^1 = 5 × 16x^4 × 3 = 240x^4
Hệ số của x^4 = 240

Tìm hệ số của x^3:
5 − k = 3 → k = 2
T₃ = C(5,2) × (2x)^3 × 3^2 = 10 × 8x^3 × 9 = 720x^3
Hệ số của x^3 = 720

So sánh: 720 > 240

Kết luận: Hệ số của x^3 lớn hơn hệ số của x^4

Cách 2 — Tính nhanh bằng công thức

Hệ số của x^(n-k) trong (ax+b)^n là: C(n,k) × a^(n-k) × b^k

  • Hệ số x^4: C(5,1) × 2^4 × 3^1 = 5 × 16 × 3 = 240
  • Hệ số x
Chế độ đọc sách →