Giải Toán 10 - Tập 2 trang 78

Tóm tắt lý thuyết

Phần 1 – Biến cố giới thiệu các khái niệm nền tảng:

Ghi nhớ thêm:

• Chỉ xét các phép thử mà $\Omega$ có hữu hạn kết quả.
• Biến cố chắc chắn là tập $\Omega$; biến cố không thể là tập rỗng $\varnothing$.

Bài toán mở đầu (trang 77)

Đề: Trò chơi bốc thăm trúng thưởng. Mỗi người chọn bộ 6 số đôi một khác nhau từ 45 số $\{1; 2; \dots; 45\}$. An chọn bộ $\{5; 13; 20; 31; 32; 35\}$. Người quản trò bốc ngẫu nhiên 6 quả bóng (không hoàn lại) từ thùng 45 quả. Trùng cả 6 số $\Rightarrow$ giải độc đắc; trùng 5 số $\Rightarrow$ giải nhất. Tính xác suất An trúng giải độc đắc, giải nhất.

Gợi ý (sách để dành giải sau khi học định nghĩa cổ điển, cô tính trước cho em tham khảo):

Tổng số bộ 6 số có thể bốc ra:
$$n(\Omega) = C_{45}^{6} = 8\,145\,060$$

Trúng độc đắc (trùng cả 6 số) chỉ có 1 cách:
$$P(\text{độc đắc}) = \frac{1}{C_{45}^{6}} = \frac{1}{8\,145\,060} \approx 1,23\cdot 10^{-7}$$

Trúng giải nhất (trùng đúng 5 trong 6 số của An, số còn lại nằm ngoài 6 số):

• Chọn 5 số trùng từ 6 số của An: $C_6^5 = 6$ cách.
• Số thứ 6 lấy trong $45 - 6 = 39$ số còn lại: $39$ cách.

$$P(\text{giải nhất}) = \frac{C_6^5 \cdot 39}{C_{45}^{6}} = \frac{6\cdot 39}{8\,145\,060} = \frac{234}{8\,145\,060} \approx 2,87\cdot 10^{-5}$$

Ví dụ 1 (trang 78)

Đề: Tổ lớp 10A có ba nữ là Hương, Hồng, Dung và bốn nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ để kiểm tra vở. Phép thử ngẫu nhiên là gì? Mô tả không gian mẫu.

Lời giải:

• Phép thử ngẫu nhiên: chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ để kiểm tra vở bài tập.
• Không gian mẫu là tập hợp tất cả học sinh trong tổ:

$$\Omega = \{\text{Hương; Hồng; Dung; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến}\}$$

Vì có 7 học sinh nên $n(\Omega) = 7$.

HĐ1 (trang 78)

Đề: Trở lại Ví dụ 1, xét hai biến cố:

• $A$: "Học sinh được gọi là một bạn nữ".
• $B$: "Học sinh được gọi có tên bắt đầu bằng chữ H".

Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$, $B$.

Lời giải:

Biến cố $A$ gồm các bạn nữ trong tổ:
$$A = \{\text{Hương; Hồng; Dung}\}$$
Vì ba bạn nữ là Hương, Hồng, Dung nên có 3 kết quả thuận lợi.

Biến cố $B$ gồm các bạn có tên bắt đầu bằng chữ H. Rà danh sách: Hương, Hồng, Hoàng đều bắt đầu bằng H (Dung, Sơn, Tùng, Tiến thì không), nên:
$$B = \{\text{Hương; Hồng; Hoàng}\}$$
Có 3 kết quả thuận lợi.

Nhận xét: Mỗi biến cố chính là một tập con của $\Omega$, gồm đúng các kết quả làm biến cố xảy ra.

Ví dụ 2 (trang 78)

Đề: Trở lại tình huống mở đầu về trò chơi bốc thăm trúng thưởng.

a) Phép thử là gì? Mô tả không gian mẫu $\Omega$.
b) Gọi $F$ là biến cố "Bạn An trúng giải độc đắc". Hỏi $F$ là tập con nào của không gian mẫu?
c) Gọi $G$ là biến cố "Bạn An trúng giải nhất". Hãy chỉ ra ba phần tử của tập $G$. Từ đó mô tả $G$ bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.

Lời giải:

a) Phép thử là chọn ngẫu nhiên 6 số trong 45 số $\{1; 2; \dots; 45\}$. Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có sáu phần tử của tập $\{1; 2; \dots; 44; 45\}$.

b) Trúng độc đắc nghĩa là bộ số bốc ra trùng khít bộ số của An, nên biến cố $F$ chỉ có một phần tử:
$$F = \{5; 13; 20; 31; 32; 35\}$$

c) Trúng giải nhất nghĩa là bộ 6 số bốc ra trùng đúng 5 trong 6 số của An, số còn lại khác. Ba phần tử minh họa của $G$ (thay lần lượt một số của An bằng một số khác):

• $\{13; 20; 31; 32; 35; 1\}$ (bỏ số 5, thêm số 1)
• $\{5; 20; 31; 32; 35; 2\}$ (bỏ số 13, thêm số 2)
• $\{5; 13; 31; 32; 35; 4\}$ (bỏ số 20, thêm số 4)

Mô tả $G$ bằng tính chất đặc trưng:
$$G = \{\, M \subset \{1;2;\dots;45\} \mid |M| = 6 \text{ và } M \text{ chứa đúng 5 phần tử của tập } \{5;13;20;31;32;35\} \,\}$$

Tức $G$ là tập hợp các bộ 6 số có chung đúng 5 số với bộ số của An.

Em nắm chắc ý cốt lõi nhé: biến cố luôn là một tập con của không gian mẫu, và việc liệt kê kết quả thuận lợi chính là liệt kê phần tử của tập con đó. Nếu em muốn cô giải tiếp các trang sau (định nghĩa cổ điển và công thức tính xác suất), gửi ảnh cho cô là được.