HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán 10 - Tập 2 trang 80

Lời giải chi tiết SGK Lớp 10 · Môn ToĂ¡n · Trang 80–81

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Biến cố đối

  • Biến cố đối của biến cố E là biến cố "E không xảy ra"
  • Ký hiệu: E̅ (E gạch ngang)
  • Nếu E là tập con của không gian mẫu Ω thì E̅ = C_Ω(E) (phần bù của E trong Ω)

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

  • Các kết quả có thể của phép thử T gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau
  • Công thức xác suất:

P(E) = n(E) / n(Ω)

Trong đó:

  • n(Ω): số phần tử của không gian mẫu
  • n(E): số phần tử của tập E (số kết quả thuận lợi)

3. Tính chất xác suất

  • 0 ≤ P(E) ≤ 1 với mọi biến cố E
  • P(Ω) = 1 (biến cố chắc chắn)
  • P(∅) = 0 (biến cố không thể)

⚙️ Bài tập

Luyện tập 1

Đề bài: Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một siêu thị là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Ông Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi D là biến cố: "Ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện". Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?

Cách 1 — Phương pháp liệt kê trực tiếp

a) Mô tả không gian mẫu:

Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các kết quả có thể khi chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.

Ω = {ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa}

Số phần tử: n(Ω) = 6

b) Xác định tập D:

Đồ điện là các thiết bị sử dụng điện, bao gồm: ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ.

D = {ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ}

Số phần tử: n(D) = 4

Cách 2 — Phương pháp phân loại

a) Liệt kê 6 mặt hàng được đề cập → Ω có 6 phần tử

b) Phân loại theo tiêu chí "dùng điện":

  • Dùng điện: ti vi ✓, tủ lạnh ✓, máy tính ✓, bếp từ ✓
  • Không dùng điện: bàn ghế ✗, bộ bát đĩa ✗

→ D = {ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ} ⊂ Ω

💡 Mẹo nhớ: Khi xác định biến cố, cần đọc kỹ điều kiện và phân loại từng phần tử xem có thỏa mãn hay không.

Luyện tập 2

Đề bài: Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố".

a) Biến cố: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" có là biến cố K̅ không?

b) Biến cố K và K̅ là tập con nào của không gian mẫu?

Cách 1 — Phương pháp liệt kê và so sánh

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Bước 2: Xác định biến cố K

Số nguyên tố trong tập {1; 2; 3; 4; 5; 6} là: 2, 3, 5

→ K = {2; 3; 5}

Bước 3: Xác định biến cố đối K̅

K̅ là biến cố "K không xảy ra" = "Số chấm xuất hiện KHÔNG phải là số nguyên tố"

K̅ = Ω \ K = {1; 4; 6}

a) Kiểm tra:

  • Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải số nguyên tố
  • Trong tập {1; 2; 3; 4; 5; 6}, các hợp số là: 4, 6
  • Tập hợp số là hợp số = {4; 6}

So sánh: {4; 6} ≠ {1; 4; 6} = K̅

Kết luận: Biến cố "Số chấm xuất hiện là một hợp số" KHÔNG là biến cố K̅.

⚠️ Lưu ý: Số 1 không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số. Đây là lỗi sai thường gặp!

b) Kết quả:

  • K = {2; 3; 5} ⊂ Ω
  • K̅ = {1; 4; 6} ⊂ Ω
Cách 2 — Phương pháp dùng phần bù

a)

  • K = {số nguyên tố} = {2; 3; 5}
  • K̅ = C_Ω(K) = {số không phải nguyên tố} = {1; 4; 6}
  • Tập hợp số = {4; 6} (không chứa số 1)

Vì 1 ∈ K̅ nhưng 1 ∉ {hợp số} → Hai biến cố khác nhau

b) K = {2; 3; 5}; K̅ = {1; 4; 6}

💡 Mẹo nhớ: - Số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11, 13... - Số 1 KHÔNG phải số nguyên tố, KHÔNG phải hợp số - Hợp số: 4, 6, 8, 9, 10, 12...

H03 (Hoạt động 3)

Đề bài: Một hộp chứa 12 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12. Rút ngẫu nhiên từ hộp đó một tấm thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu Ω. Các kết quả có đồng khả năng không?

b) Xét biến cố E: "Rút được thẻ ghi số nguyên tố". Biến cố E là tập con nào của không gian mẫu?

c) Phép thử có bao nhiêu kết quả có thể? Biến cố E có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó, hãy tính xác suất của biến cố E.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

a) Không gian mẫu:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

n(Ω) = 12

Vì các thẻ được rút ngẫu nhiên và mỗi thẻ có cùng khả năng được chọn → Các kết quả đồng khả năng.

b) Biến cố E:

Các số nguyên tố trong tập {1; 2; ...; 12} là: 2, 3, 5, 7, 11

E = {2; 3; 5; 7; 11} ⊂ Ω

c) Tính xác suất:

  • Số kết quả có thể: n(Ω) = 12
  • Số kết quả thuận lợi cho E: n(E) = 5

Áp dụng công thức xác suất cổ điển:

P(E) = n(E) / n(Ω) = 5/12

Cách 2 — Phương pháp nhanh

Liệt kê nhanh số nguyên tố ≤ 12: 2, 3, 5, 7, 11 (5 số)

→ P(E) = 5/12

💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Để kiểm tra n có phải số nguyên tố không: - Dùng phép chia: nếu n chỉ chia hết cho 1 và chính nó → nguyên tố
⚠️ Lưu ý thi: Nhớ rằng 1 không phải số nguyên tố! Các số nguyên tố đầu tiên: 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Ví dụ 4 (Trong SGK - cần hiểu cách giải)

Đề bài: Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp ba lần. Gọi E là biến cố: "Có hai lần xuất hiện mặt sấp và một lần xuất hiện mặt ngửa". Tính xác suất của biến cố E.

Cách 1 — Phương pháp liệt kê

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Ký hiệu: S = mặt sấp, N = mặt ngửa

Gieo 3 lần, mỗi lần có 2 kết quả → Tổng số kết quả = 2³ = 8

Ω = {SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN}

n(Ω) = 8

Bước 2: Xác định biến cố E

E = "2 mặt sấp và 1 mặt ngửa"

Liệt kê: SSN, SNS, NSS

E = {SSN; SNS; NSS}

n(E) = 3

Bước 3: Tính xác suất

Do đồng xu cân đối → các kết quả đồng khả năng

P(E) = n(E) / n(Ω) = 3/8

Cách 2 — Phương pháp tổ hợp

Số cách chọn vị trí cho 2 lần sấp trong 3 lần gieo = C(3,2) = 3

→ n(E) = 3

→ P(E) = 3/8

💡 Mẹo nhớ: Khi gieo đồng xu n lần: - Tổng số kết quả = 2^n - Số kết quả có đúng k lần sấp = C(n,k)
💡 Mẹo bấm máy (Casio fx-580VN X): Tính C(3,2): Bấm 3 → SHIFT → ÷ (nCr) → 2 → = Kết quả: 3

🎯 Ghi nhớ

  1. Biến cố đối E̅ của E là biến cố "E không xảy ra", E̅ = Ω \ E
  1. Công thức xác suất cổ điển: P(E) = n(E) / n(Ω)
  • Điều kiện: các kết quả phải đồng khả năng
  1. Tính chất quan trọng:
  • 0 ≤ P(E) ≤ 1
  • P(Ω) = 1, P(∅) = 0
  • P(E) + P(E̅) = 1
  1. Lưu ý về số học:
  • Số 1 không phải số nguyên tố, không phải hợp số
  • Số nguyên tố nhỏ nhất là 2
Chế độ đọc sách →